Высшая математика 1 курс кратко

Обновлено: 16.05.2024

Несмотря на то, что зачастую этот предмет в вузах преподается разное количество времени (от 1 семестра для гуманитарных специальностей, и до 3 – для технических), список тем мало отличается. Чаще всего в дисциплине рассматриваются следующие разделы высшей математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, и линии второго порядка.

Линейная алгебра Матрицы

Изучаются матрицы размерностью n на m следующих видов: квадратные, диагональные, равные, единичные, трапецевидные, и треугольные.

Среди действий, которые возможно над ними выполнять рассматривают следующие:

Сложение и вычитание матриц, сходных по размерности.
Умножение их на число, вектор, и на другую матрицу.

Определитель

Изучают понятие определителя, его основные свойства, среди которых следующие:

Для квадратных матриц А и В действует правило, что определитель произведения чисел А на В равняется определителю произведения В на А. И также равняется определителю А умноженному на определитель В. При этом произведение А на В не равняется произведению В на А.
Определитель и его транспонируемая версия равны между собой.
Если определитель содержит ряд из 0, или какие-либо 2 его ряда параллельны, то он равен нулю.
Если матрица диагональная, то ее определитель есть числа, расположенные по диагонали, умноженные между собой. То же самое правило действует и для треугольных матриц.
Если у чисел имеется общий множитель, то его можно вынести из определителя.

Изучаются основные правила теоремы Лапласа, связанной с разложением определителя.

Обратная матрица

Изучается понятие невырожденной матрицы. В связи с ним существует следующая схема, по которой вычисляется обратная матрица с положительным определителем:

Элементы матрицы последовательно заменяются на соответствующие им алгебраические дополнения. В результате этого действия возникает союзная матрица.
Происходит транспонирование.
Элементы полученной матрицы нужно разделить на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Понятие представляется как самое большое число линейно-зависимых строк матрицы и самый большой порядок, не равняющийся нулю, из миноров первоначальной матрицы.

Ранг матрицы имеет следующие два свойства:

Он не подвержен изменению после транспонирования, после убирания нулевого ряда, и после совершения преобразований.
Найти ранг можно по общему числу элементов на главной диагонали, отличающихся от нуля.

Метод Крамера

Используется для нахождения корней уравнений, в которых произведение А и Х равняется В. При этом важно, чтобы определитель А был отличным от нуля.

Если это условие совпадает, то можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Находим ak, равное определителю Ак деленному на определитель А. Ак получают из А, подставив в него столбец свободного члена из В.

Метод Гаусса

Для его понятия изучают расширенную матрицу. А также несколько видов систем уравнений: совместные, определенные, равносильные, однородные.

Алгоритм для их решений таков:

Первым делом находят ранги основной и расширенной.
Если они отличаются друг от друга, то система является несовместной и на этом решение прекращают.
Иначе сначала высчитывают базисный минор порядка, затем общее решение системы, и в итоге получают частные решения при подставлении произвольных значений в уравнения.

Векторная алгебра Векторы и операции над ними

Рассматривается основное определение вектора, его свойства, такие как длина и направления. Кроме этого изучают следующие различные векторы: противоположные, нулевые, коллинеарные и компланарные.

Существуют следующие действия над векторами:

Суммирование;
Скалярное, векторное и смешанное умножение на другой вектор, а также на другое число.

Рассматривает определения плоскостей и трехмерного пространства.

Прямая на плоскости

Изучают несколько ее основных уравнений: нормальное уравнение, с угловым коэффициентом, через точку и направление, через 2 точки, в отрезках.

Плоскость и прямая в пространстве

Рассматривают уравнения, по которым плоскость задается в пространстве. Такие как: уравнения через точку перпендикулярно к вектору, через 3 точки, нормальное, и в отрезках.

При изучении прямой важно знать каноническое и по 2 точкам, общее, векторное, с направляющими коэффициентами.

Во всех трех случаях рассматривают формулы, по которым можно найти различные углы.

Взаимное расположение плоскостей и прямых

При рассмотрении данного вопроса изучают формулы углов, параллельность, перпендикулярность, принадлежность прямой к плоскости.

Линии второго порядка

В этом разделе рассматриваются определения и свойства нескольких фигур: эллипса, гиперболы и параболы.

В связи с эллипсом изучают его каноническое уравнение, а также определения эксцентриситета и директрис.

При рассмотрении гиперболы, изучают тоже самое, что и у эллипса. Но к этому добавляются понятия фокальных радиусов, а также уравнения асимптот.

При изучении параболы рассматривают, что представляет собой полуфокальный диаметр.

Чаще всего дисциплина высшей математики для первокурсников, заканчивается на изучении вышестоящей темы, но программа предмета может несущественно изменяться в зависимости от вуза.

Если Вы хотите найти что-то конкретное, то имеет смысл сразу же воспользоваться поиском по сайту:

Поиск >>>

Не нашлось нужного материала?

Совсем-совсем дела плохи? Задайте вопрос на форуме!

Есть вопрос лично ко мне? Посмотрите часто задаваемые вопросы и если что – обращайтесь! Оставить свой отзыв можно в гостевой книге.

Для людей, начинающих изучать высшую математику, а также желающих восстановить свои знания/навыки предназначена организационная статья, которая так и называется:

Рекомендуемые математические ресурсы здесь >>>

Список доходчивой литературы здесь >>>

Аналитическая геометрия

Высшая алгебра

Пределы

Производная и некоторые её приложения

Функции и графики

Функции нескольких переменных

Однократные интегралы

Дифференциальные уравнения

Числовые ряды

Функциональные ряды

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа

Комплексный анализ

Теория вероятностей

Аналитическая геометрия

В данном разделе можно выделить несколько блоков:

и продолжаем следующими статьями:

Здесь наиболее трудной является 2-я лекция (о переходе) и поэтому я не рекомендую спешить с её изучением

Прямая на плоскости представлена следующими страницами:

Линии второго порядка. Данный цикл лекций-уроков примечателен тем, что в него удалось ненавязчиво вместить значительное количество теории:

Полярная система координат. С ней целесообразно ознакомиться после изучения предыдущей темы, ибо окружностей и иже с ними тут хватает:

Полярные координаты – теоретические азы и простейшие примеры;
Практикум по построению типовых кривых в ПСК

И, наконец, геометрия пространства, где, наоборот – ярко выражена практика:

Высшая алгебра

Данный раздел также делится на несколько подразделов:

Вводные лекции, которые имеют огромное значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики:

Комплексные числа. Любимая многими тема!

и более серьёзные практические занятия:

Системы линейных алгебраических уравнений.

Опять же – базовый уровень:

Линейные преобразования. Собственно:

Линейные преобразования – интереснейшая и одна из самых важных лекций по алгебре, на которой я рассмотрел не только основы темы, но и обобщил понятие вектора.
Собственные числа и собственные векторы – наиболее известная и популярная задача.

Квадратичные формы. Держат нас в форме!

Понятие квадратичной формы, обычная и матричная запись, а также знакоопределенность и критерий Сильвестра;
Приведение формы к каноническому виду. Метод Лагранжа
Ортогональное преобразование квадратичной формы и геометрическое приложение – приведение уравнения линии 2 порядка данным методом.

Пределы

Пределы без предела =)

Базовые уроки для прожжённых гуманитариев:

+ более чем доступная лекция по теории, открывающая дверь в удивительный мир математического анализа:

Производная и некоторые её приложения

и несколько уроков для отработки техники дифференцирования:

После чего целесообразно ознакомиться с теоретической лекцией Что такое производная? и потренироваться в нахождении производной по определению (нужно уметь находить пределы – см. выше)

И заключительная порция статей посвящена некоторым приложениям производной:

Уравнение нормали
Приближённые вычисления с помощью дифференциала (здесь волею судьбы оказалось рассмотрена и аналогичная задача для функции двух переменных)
Метод касательных

Функции и графики

Две справочно-прикладные статьи, без которых никуда! Причём во всей вышке:

Основной же цикл статей посвящён исследованию функции:

По материалам перечисленных уроков создан удобный справочный конспект:
Схема исследования функции

Функции нескольких переменных

Один из предметов моей гордости – пожалуй, наиболее трудный в создании раздел. Его можно условно разделить на две части:

Область определения и линии уровня функции двух переменных – intro;
Основные поверхности пространства – не только справочная статья, но и ценное руководство по технике ручного построения поверхностей.

Вторая часть раздела касается дифференцирования ФНП. Сначала отрабатываем технику решения:

после чего окончательно разбираемся в сути частных производных:

Производная по направлению и градиент – отличная лекция, не пропустите!

И наиболее распространённые приложения:

Однократные интегралы

В этот обширный раздел включены лекции-уроки о неопределенных, определённых и несобственных интегралах.

и укрепляемся на завоёванных рубежах:

Примерно здесь находится Рубикон раздела – знакомимся с лекцией, в которой я раскрыл суть интегрирования:

Несобственные интегралы представлены статьёй:

мануалом для более подготовленных читателей:

и темой для готовеньких:)

На следующих уроках закрепляем навыки решения интегралов:

И ставшие уже традиционными, статьи по численным методам. Как вычислить определённый интеграл приближённо:

Дифференциальные уравнения

Один из самых увлекательных и любимых мной разделов! Чего и вам желаю:

а также незаменимый урок о линейных ДУ первого порядка.

И менее распространённые, но не менее важные:

После чего можно перейти к изучению следующего подраздела:

И на десерт:

Числовые ряды

Одна из самых простых и прозрачных тем:

Функциональные ряды

Для изучения этого раздела нужно освоить числовые ряды (см. выше).

И отдельная глава:

Ряды Фурье – в конце лекции есть много дополнительных материалов!

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Распространение идеи интегрирования на дву- и трёхмерные области.

Уроки по двойным интегралам:

Уроки по тройным интегралам:

Следующую тему изучаем не поверхностно:

А эту – не криво:)

Элементы векторного анализа

Захватывающая, но достаточно трудная тема, требующая знания, в частности криволинейных и поверхностных интегралов:

Основы теории поля – понятие скалярного и векторного поля, векторные линии, градиентное поле, ротор векторного поля, потенциальное поле;
Поток векторного поля, в том числе через замкнутую поверхность;
Дивергенция векторного поля и формула Гаусса-Остроградского
Циркуляция векторного поля и формула Стокса

Комплексный анализ

Статей пока немного, но они в тельняшках:

Рабочий справочный материал по двум нижеследующим статьям:
Таблица оригиналов и изображений

Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.

Над матрицами выполняются следующие виды действий:

сложение матриц одинакового размера;
умножение матрицы на вектор-столбец;
умножение матрицы на число;
умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;

Определитель квадратной матрицы

Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.

Основные свойства определителей:

Если А и В являются квадратными матрицами, то $|AB|=|BA|=|A| \times |B|$. Причем $AB \ne BA$.
$|A|=|A^T|$.
Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.

Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

Обратная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
Союзная матрица транспонируется.
Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

Готовые работы на аналогичную тему

Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

$a_k=\frac<|A_k |><|A|>$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

Метод Гаусса

Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

Правило решения системы уравнений:

Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar$):

Элементы векторной алгебры

Векторы

Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

Операции над векторами

Рассматриваются операции над векторами:

сумма векторов;
скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

Линии второго порядка

Эллипс

Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

Гипербола

Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

Парабола

Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.

Меня зовут Eмeлин Aлeксaндр, я ваш новый учитель по высшей математике. И на первой паре мы повторим материал за все 11 классов.

Настоящий курс предназначен для тех, кто начал изучать высшую математику, но позабыл школьную. Вашему вниманию представлена уникальная выборка из всей школьной программы – именно то, что нужно в высшей математике . Более того, эта книга невероятно короткА – всего лишь 100 страниц!

В чём секрет? – спрОсите вы. Дело в том, что школьная математика и высшая математика – это процентов на 80-90 разные вещи, и для того, чтобы освоить вышмат, нужно вспомнить не так уж много. Что конкретно? То, что не забыл я сам :)

Есть веб версия курса, и есть pdf-книга (ссылка внизу страницы).

Читайте также: