Высказывания с кванторами кратко
Обновлено: 02.07.2024
Утверждения, содержащие в себе переменные, обладающие способностью принимать значения 0 или 1 (ложно или истинно) в зависимости от принимаемых переменными значений, называют предикатами.
В качестве примера может быть рассмотрено выражение x=x^5 представляет собой предикат, поскольку оно будет истинным исключительно в случае принятия переменной x значений 0 или 1 и будет ложным в случае присвоения переменной x всех стальных отличных от 0 и 1 значений.
Множеством истинности Ip любого предиката называют такое множество значений, которое может принимать переменная, позволяющих предикату принимает исключительно истинные значения.
В программировании предикатом принято считать функции, принимающие значения одного или большего числа аргументов и возвращающих значения логического (булевого) типа.
Тождественно-истинным называют предикат, способный принимать истинное значение в случае использования любого набора значений аргумента:
Предикат, для которого использование любого набора значений аргумента приводит к принятию им ложного значения, называют тождественно-ложным:
В случае если предикат приобретает истинное значение при использовании хотя бы одного набора значений аргумента, его считают выполненным.
Поскольку предикаты обладают способностью принимать исключительно значения двух видов – ложно или истинно (0 или 1), к ним могут быть применены все операции, относящиеся к алгебре логики: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание и т.п.
Примеры предикатов
На основании сказанного выше можно сделать вывод о том, что предикат представляет собой любое суждение об объекте, которое отрицается либо, утверждается.
Операции над предикатами
К предикатам могут быть применены операции, относящиеся к алгебре логики. Рассмотрим особенности применения подобных операций.
Операции логического характера:
Дизъюнкцией для предикатов A(x) и B(x) является предикат нового вида, принимающий ложное значение исключительно при тех значениях переменной x из множества значений T, которые позволяют каждому из обоих предикатов приобретать ложное значение, в то время как истинное значение будет ими приниматься во всех иных случаях. Ему соответствует множество истинности, представляющее собой пересечение соответствующих заданным предикатам A(x) и B(x) множеств истинности.
Отрицанием предиката A(x) является предикат нового вида, принимающий истинное значение в случае принятия переменной x всех значений из множества T, которые позволяют принимать предикату A(x) ложное значение или наоборот. Для подобного предиката множество истинности будет представлять собой дополнение T’ к соответствующему предикату A(x) множеству истинности.
Для такого предиката множеством истинности будет иметь вид объединения множества истинности для B(x) и дополнения к множеству истинности для A(x).
Кроме операций логического характера над предикатами могут выполняться квантовые операции – это использование кванторов существования, всеобщности и т.п.
Кванторы
Применяемые к предикатам логические операторы, превращающие их в высказывания, имеющие истинное или ложное значение, называются кванторами.
Существует другое определение кванторов, согласно которому, это логические операции, создающие высказывание и ограничивающие для предикатов, к которым они применяются, их область истинности.
Наиболее часто применяемыми являются следующие кванторы:
Процессу приписывания квантора к формуле в математической логике соответствует понятие квантификации или связывания.
Примеры применения кванторов
Применяя квантор всеобщности, ложные высказывания могут быть записаны следующим образом:
- любое число, являющееся натуральным, делится на 7;
- каждое из чисел, являющихся натуральным, делится на 7;
- все существующие числа, являющиеся натуральными, способны делиться на 7.
Такой квантор будет иметь следующий вид:
Применяя квантор существования, истинные высказывания в отношении этого же предиката могут быть записаны следующим образом:
- существуют числа, являющиеся натуральными, которые делятся на число 7;
- может быть найдено натуральное число, кратное числу 7;
- существует хотя бы одно число, являющееся натуральным, способное делиться на число 7.
Запись данного квантора приобретёт вид:
На основании сказанного выше можно заключить, что предикат может быть превращён в высказывание путём присоединения квантора перед ним.
Операции над кванторами
Применяемым для образования отрицания высказываний, содержащих кванторы, является правило отрицания кванторов, имеющее вид:
Для примера рассмотрим некоторые предложения, определив среди них предикаты и область истинности для них:
Предикат - утверждение, которое содержит переменные, принимающие значение $1$ или $0$ (истинно или ложно) в зависимости от значений переменных.
Например, выражение $x=x^5$ является предикатом, т.к. оно является истинным при $x=0$ или $x=1$ и ложным при всех остальных значениях $x$.
Множество, на котором предикат принимает только истинные значения, называется множеством истинности предиката $I_p$.
Предикатом в программировании является функция, которая принимает один или более аргументов и возвращает значения булева типа.
Предикат называется тождественно-истинным, если на любом наборе аргументов он принимает истинное значение:
$P (x_1, \dots, x_n)=1$
Предикат называется тождественно-ложным, если на любом наборе аргументов он принимает ложное значение:
$P (x_1, \dots, x_0)=0$
Предикат называется выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает истинное значение.
Т.к. предикаты могут принимать только два значения (истинно/ложно или $0/1$), то к ним можно применять все операции алгебры логики: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и т.д.
Примеры предикатов
Таким образом, предикатом является все то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.
Готовые работы на аналогичную тему
Операции над предикатами
Рассмотрим применение операций алгебры логики к предикатам.
Логические операции:
Дизъюнкция двух предикатов $A(x)$ и $B(x)$ -- предикат , который принимает ложное значение при тех и только тех значениях $x$ из $T$, при которых каждый из предикатов принимает ложное значение и принимает истинное значение во всех остальных случаях. Множество истинности предиката -- объединение областей истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$.
Отрицание предиката $A(x)$ -- предикат, который принимает истинное значение при всех значениях $x$ из $T$, при которых предикат $A(x)$ принимает ложное значение и наоборот. Множество истинности предиката $A(x)$ -- дополнение $T'$ к множеству $T$ в множестве $x$.
Множество истинности предиката -- объединение множества истинности предиката $B(x)$ и дополнения к множеству истинности предиката $A(x)$.
Над предикатами помимо логических операций можно выполнять квантовые операции: применение квантора всеобщности, квантора существования и т.д.
Кванторы
Кванторы -- логические операторы, применение которых к предикатам превращает их в ложные или истинные высказывания.
Квантор -- логические операции, которые ограничивают область истинности предиката и создают высказывание.
Чаще всего используют кванторы:
В математической логике существует понятие связывание или квантификация, которые обозначают приписывание квантора к формуле.
Примеры применения кванторов
С помощью квантора всеобщности можно записать следующие ложные высказывания:
любое натуральное число делится на $7$;
каждое натуральное число делится на $7$;
все натуральные числа делятся на $7$;
который будет иметь вид:
Для записи истинных высказываний используем квантор существования:
существуют натуральные числа, которые делятся на $7$;
найдётся натуральное число, которое делится на $7$;
хотя бы одно натуральное число делится на $7$.
Запись будет иметь вид:
Таким образом, предикат можно превратить в высказывание, если поставить перед предикатом квантор.
Операции над кванторами
Для построения отрицания высказываний, которые содержат кванторы, применяется правило отрицания кванторов:
Рассмотрим предложения и выделим среди них предикаты, указав область истинности каждого из них:
Понятие кванторов
Введем новые логические знаки, обозначаемые %%\forall%%, %%\exists%% и %%\exists!%%. Знак %%\forall%% называется квантором всеобщности, знак %%\exists%% — квантором существования, а %%\exists!%% — квантором существования и единственности.
Пусть %%P(x)%% — одноместный предикат, определенный на множестве %%D%%.
Квантор всеобщности
Используя квантор всеобщности, можно составить следующее высказывание
$$ \forall x~P(x), $$ которое является истинным тогда и только тогда, когда предикат %%P(x)%% является истинным при любом значении пременной %%x%% из множества %%D%%.
Пусть %%P(x)%% предикат %%x^2 \geq 0%%, определенный на множестве действительных чисел %%D = \mathbb R %%. Тогда высказывание %%\forall x~P(x)%% имеет вид %%\forall x~x^2 \geq 0%%. Это истинное высказывание, так как для любого значения пременной %%x = a \in \mathbb R %% получаем истинное высказывание %%a^2 \geq 0%%. Однако, высказывание %%\forall x~ x^2 > 0%% ложно, например, как при %%x = 0%% получаем ложное высказывание %%0 > 0%%.
Квантор существования
Используя квантор существования, можно составить следующее высказывание
$$ \exists x~P(x), $$ которое является истинным тогда и только тогда, когда предикат %%P(x)%% является истинным хотя бы при одном значении пременной %%x%% из множества %%D%%.
Квантор существования и единственности
Используя квантор существования и единственности, можно составить следующее высказывание
$$ \exists! x~P(x), $$ которое является истинным тогда и только тогда, когда предикат %%P(x)%% является истинным только при одном значении пременной %%x%% из множества %%D%%.
Пусть %%P(x)%% — одноместный предикат, тогда выполняются следующие тождества: $$ \begin \overline \equiv \exists x~ \overline,\\ \overline \equiv \forall x~\overline \end $$
Докажем первое из них. Пусть высказываине %%\overline%% истинно. Тогда высказывание %%\forall x~P(x)%% ложно. Поэтому для некоторого %%x = a%% имеем %%P(a)%% ложно. Тогда %%\overline%% истинно. Итак, для некоторого значения %%x = a~\overline%% истинно. Поэтому высказывание %%\exists x~\overline%% истинно.
Аналогично доказывается второе утверждение.
Правила перестановки кванторов
Справедливы следующие тождества $$ \begin \exists x~\exists y~P(x,y) \equiv \exists y~\exists x~P(x,y), \\ \forall x~\forall y~P(x,y) \equiv \forall y~\forall x~P(x,y). \end $$
Для записи одноименных кванторов существуют следующие сокращения:
$$ \begin \forall x~\forall y \equiv \forall x, y~~~ \text\\ \exists x~\exists y \equiv \exists x, y. \end $$
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Высказывания, содержащие кванторы. Презентация к уроку ТОНКМ Автор: Карпенко Е.А. преподаватель ГОБУ СПО ВО РПК
Оглавление: 1. Высказывания с квантором общности. 2. Высказывания с квантором существования. 3. Отрицание высказываний, содержащих кванторы.
Высказывания с квантором общности. Все числа, кратные 4, чётные. – Истина. Доказательство. Все числа, кратные 4, имеют вид: 4*n, где n – натуральное число. Запишем это в виде: 4*n=2*(2*n)=2*k, где k=2*n – натуральное число. Следовательно, данные числа кратны 2, то есть чётные
Высказывания с квантором общности. Любое натуральное число является решением уравнения 2x-6=0. – Ложь. Контрпример: x=5 не является решением данного уравнения.
Высказывания с квантором общности. Чтобы установить истинность высказывания с квантором общности, необходимо провести доказательство, а для установления ложности такого высказывания достаточно привести пример, опровергающий его, то есть контрпример.
Высказывания с квантором существования Найдутся чётные числа, кратные 7. – Истина. Пример: 14 – четное число и делится на 7.
Высказывания с квантором существования Существует натуральное число, меньшее 1. – Ложь. Доказательство. 1 – наименьшее среди натуральных чисел, все остальные больше 1. Следовательно, утверждение ложно.
Высказывания с квантором существования Чтобы установить истинность высказывания с квантором существования, достаточно привести пример, а для установления ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
Установите значение истинности следующих высказываний: 1. В любом четырёхугольнике диагонали равны. 2. Некоторые нечётные числа делятся на 6. 3. Существуют четные числа, кратные 5. 4. Все прямоугольники являются многоугольниками.
Отрицание высказываний, содержащих кванторы. Рассмотрим два способа построения отрицания.
I способ Все киты относятся к морским животным. (Истина). Неверно, что все киты относятся к морским животным. (Ложь). Хотя бы одно из чисел первого десятка - двузначное. (Ложь). Неверно, что хотя бы одно из чисел первого десятка - двузначное. (Истина).
II способ Все киты – морские животные. (Истина). Найдётся кит, который не относится к морским животным. (Ложь). Хотя бы одно из чисел первого десятка - двузначное. (Ложь). Все числа первого десятка - не двузначные. (Истина).
Краткое описание документа:
Презентация может быть использована при изучении темы "Высказывания, содержащие кванторы", изучаемой по программе МДК "Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания" для специальности 050146 Преподавание в начальных классах. В начальном курсе математики высказывания с кванторами встречаются часто. Владение данным материалом позволяет учителю правильно использовать высказывания различных видов, устанавливать их истинность (ложность), опровергать те или иные математические предложения, делать правильные выводы. Всё это способствует глубокому пониманию сути изучаемых понятий и фактов.
Читайте также: