Внутренние силовые факторы при кручении кратко

Обновлено: 08.07.2024

Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент M_k, (другое обозначение T, M_z), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.

Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).

Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.

Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси

В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.

Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.

Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.

При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от M_k), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.

При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

В ряде случаев величины внешних крутящих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов (n- частота вращения, единицы измерения - об/мин.), то вращающий момент можно найти по формуле: М_вр=P/n,

эта формула дает значение момента в Н·м, если мощность выражена в Вт, а частота вращения n - об/мин.

§2. Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M_k (M_z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.

В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣM_z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент M_z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M₁|=|M₂|.

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1). Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса против часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ (рис. 26.1б). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом

dm = pdQ;

р — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1 в):

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно.

Примеры решения задач

Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распределяются следующим образом: Р₂ = 8 кВт, Р₃ = 3 кВт, Р₄ = 1кВт, вал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.

Решение

1. Определяем моменты пар сил на шкивах.

Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении

Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противоположное направление. Брус скручивается между движущим моментом и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:

2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.

3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.

Выбираем соответствующий масштаб.

Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, обводим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участке III М_кз = 320 Н*м.

Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). m₁ = 280 Н • м; т₂ = 140 Н • м; т₃ = 80 Н* м.

Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу, можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным расположением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.

Пример 3. Для бруса, изображенного на рис. 2.34, а, построить эпюру крутящих моментов.

Решение

1. Заданный брус имеет три участка I, II, III. Напомним, что границами участков являются сечения, в которых прилажены внешние (скручивающие) моменты.

В данном случае проще, применяя метод сечений, оставлять левую и отбрасывать правую часть бруса — это дает возможность не определять реактивный момент в заделке.

Проводим произвольное поперечное сечение на участке I и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, 6:

В любом сечении участка I крутящий момент имеет найденное значение M 1 _z = т. Из уравнения равновесия для оставленной части значение M 1 _z получилось со знаком плюс. Это указывает на то, что выбранное направление M 1 _z соответствует действительному.

Эпюра крутящих моментов на этом участке — прямая, параллельная оси абсцисс. Согласно принятому правилу знаков М 1 _я отрицателен, и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси.

2. Проводим произвольное поперечное сечение на участке II и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, в:

И в этом случае выбранное направление M II _z соответствует действительному. В любом сечении участка II крутящий момент Mz II = 2m. Согласно принятому правилу знаков, Mz II положителен и ординаты эпюры откладываем вверх от ее оси.

3. Проводим произвольное поперечное сечение на участке III и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, г:

В любом сечении участка III Mz III = —Зт.

Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 2.34, д.

При нагружении бруса сосредоточенными моментами эпюра всегда имеет такой же характер, как и в рассматриваемом случае: на отдельных участках она ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах приложения внешних (скручивающих) моментов получаются скачки на величину этих моментов.

Пример 4. На вал насажены шкивы 1, 2, 3, 4 (рис. 2.35, а). Шкив 1 передает от источника энергии на вал мощность N₁ = 5,2 кВт, а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответственно N₂ = 1,5 кВт; N₃ = 1,7 кВт; N₄ = 2,0 кВт. Вал вращается с частотой п = 240 об/мин. Построить эпюру крутящих моментов.

Решение

При построении эпюры крутящих моментов потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности (Л^—N₂+N_b+N₄). В действительности потери имеют место, но их величина незначительна — не превышает 1—2% передаваемой мощности.

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

На рис. 2.35,6 показана расчетная схема вала. Вал имеет три участка I, II, III. Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 1.

На участке I

на участке II

Эпюра крутящих моментов показана на рис. 2.35, в.

Поменяем местами шкивы 1 и 2 (рис. 2.36, а). Расчетная схема вала показана на рис. 2.36, б.

Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 2.

На участке I

на участке II

на участке III

Сравнивая эпюры крутящих моментов (см. рис. 2.35, б и 2.36, в), видим, что во втором случае максимальный крутящий момент меньше, чем в первом. Следовательно, второй вариант расположения ведущего шкива предпочтительнее.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Что такое рациональное расположение колес на валу?

6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую эпюру крутящих моментов (а, б, в), m₁ = 40 Н • м; m₂ = 180 Н • м; m₀ = 280 Н • м.

7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу для уменьшения нагрузки на вал (рис. 26.7)?

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1).

Для этого рассечем брус плоскостью и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса против часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила (рис. 26.16). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1в):

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов m_i, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов m_i, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где I_ρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρ_max:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:

б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t 0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GI_ρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

Для стальных валов принимается:

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:

при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
Определение грузоподъемности вала:
- из условия прочности
- из условия жесткости

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.

Главные напряжения σ₁ = τ, σ₃ = -τ наклонены под углом α=±45 о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GI_ρ

Кручение — это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент М .

Деформация кручения возникает при нагрузке стержня парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.

На рис. а изображен брус, работающий на кручение под действием приложенных к нему крутящих моментов. Это условное изображение моментов равнозначно показанном на рис. б .

Обозначения крутящих моментов

Опыты показывают, что:

соблюдается гипотеза плоских сечений;
сечения при кручении не деформируются;
расстояния между поперечными сечениями не изменяются;
ось стержня остается прямой (не сгибается);
деформация кручения вала эт ’ связана с деформацией сдвига.

Применяя метод сечений и рассматривая равновесие отсеченной части, приходим к выводу, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны приводиться к крутящего момента, что уравновешивает внешние моменты, приложенные к отсеченной части.

Итак, крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, приложенных к отсеченной части .

Представление о характере деформации можно получить, подвергая скручиванию резиновую модель бруса с нанесенной на ее поверхности сеткой продольных и поперечных рисок (рис а). Поперечные черточки не искривляются, и расстояния между ними не изменяются, что можно рассматривать как подтверждение первого и второго допущений. Продольные риски обращаются в винтовые линии (рис. б).

Справедливость принятых допущений подтверждается, кроме того, и тем, что полученные на основе их формулы совпадают с формулами, полученными в теории упругости без этих допущений, хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце крутящим моментом . При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы относительно своего первоначального положения.

Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данный сечения от заделки. Так, для произвольного сечения I , что отстоит от заделки на расстояние , она равна , а для сечения II — . Здесь — угол поворота сечения II относительно I , или угол закручивания элемента бруса длиной .

Вообще угол поворота произвольного сечения равен углу закручивания части бруса, заключенной между этим сечением и заделкой. Таким образом, угол поворота торцевого сечения представляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса.

Применяя метод сечений, легко убедиться, что крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса одинаков: . Выразим его через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении. При этом учтем, что в любой точке поперечного сечения касательное напряжение направлено перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку (рис. 14.4).

Такое направление напряжений следует из характера деформации: при повороте произвольного поперечного сечения каждая его точка (кроме лежащей на оси бруса) перемещается по дуге окружности, концентричной контура сечения. Другими словами, направление этого перемещения, а значит и возникающего в этой точке касательных напряжений, перпендикулярно соответствующему радиусу.

Направление перемещения и касательных напряжений

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку , равна , а ее момент относительно оси (точки В ):

Суммируя эти элементарные моменты, получаем следующее выражение для крутящего момента:

Хотя крутящий момент может рассматриваться как известная величина (определяется с помощью метода сечений через заданные внешние моменты), использовать выражение для вычисления касательных напряжений невозможно, потому что закон их распределения по поперечному сечении пока неизвестен. Для выяснения этого закона рассмотрим более подробно вопрос о деформации.

Выделим часть бруса двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. Будем считать выделенную часть бруса затиснену в сечении I (рис.15.5), что вполне допустимо, потому что нас интересуют ее деформации, а не перемещение в пространстве как твердого тела. Точка В , взята на контуре сечения II , в результате его поворота на угол перейдет в положение Деформация сдвига соответствующего элемента бруса (торец этого элемента, что лежит в сечении II , зачернений) характеризуется углом сдвига Из прямоугольного треугольника , ввиду того, что , и в силу малости деформаций получаем

Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса, и повторяя те же рассуждения, есть

Применяя закон Гука для сдвига $\left( \right)$, получаем следующее выражение для касательных напряжений

Подставляя (7.6) в (7.4), получаем

При интегрировании по площади поперечного сечения величина постоянная и, так же как и G , может быть вынесена за знак интеграла:

Интеграл, входящий в выражение , представляет собой полярный момент инерции сечения (см. раздел 2), следовательно,

Формула позволяет определить величину касательных напряжений в любой точке поперечного сечения. Из этой формулы следует, что касательные напряжения распределены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону.

Эпюры касательных напряжений для круглых сплошных и кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 15.6.

Распределение касательных напряжений при кручении

В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинаковые. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения. Они могут быть определены путем подстановки в (7.9) вместо его наибольшего значения, то есть :

Величина $\frac>> = $ представляет собой полярный момент сопротивления, следовательно, получим следующее выражение для максимального касательных напряжений:

Условие прочности при кручении сплошного круглого вала будет иметь вид

Формулу для углов закручивания получим, интегрируя:

В частном случае, если диаметр бруса постоянный и крутящий момент во всех сечениях одинаковое значение,

В случае постоянства крутящего момента лишь в пределах отдельных участков бруса или ступенчатой изменения его поперечного сечения формулу (7.13) можно применять только по участкам.

Произведение $G \cdot $ называют жесткостью сечения круглого бруса при кручении. Модуль сдвига характеризует свойства материала, а полярный момент инерции является геометрической характеристикой бруса.

Партнерская программа

Помощь: сопромат, строймеханика, прикладная механика Telegram bluewhite22 WhatsApp Instagram

Читайте также: