Виды математических утверждений кратко

Обновлено: 04.07.2024

Математические утверждения отличаются от указанных своей сущностью, они являются вечными абсолютными истинами, так как они представляют собой законы познания и, тем самым, законы, присущие окружающему нас космосу. Это ( если мы верим, что наше познание истинно) и делает их абсолютными, вечными и, непреложными. Эрмит, говоря: Но изучение функций анализа есть также и изучение законов природы. Что до меня, то я убежден, что все аналитические факты существуют вне нас и являются нам с той же необходимостью, что и свойства материи и явления реального мира. [1]

Ряд математических утверждений доказывается методом математической индукции, основанном на принципе математической индукции, который заключается в следующем. [2]

ТЕОРЕМА - математическое утверждение , истинность к-рого установлена путем доказательства. [3]

Переходя от математических утверждений к физическим замечаниям о выпучивании, мы принимаем - как это обычно делается о работах по упругому выпучиванию - допущение о справедливости принципа максимального промедления. Для многих целей эта аппроксимация прекрасно работает, хотя ни при какой динамике, градиентной или любой другой, она не будет точной. Лучше всего она работает для очень медленных - квазистатических изменений нагрузки. [4]

При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы. Иногда интересно проверить силу и оригинальность разных методов для доказательства одного и того же утверждения. [5]

Что значит доказать математическое утверждение . [6]

Известно, что все математические утверждения и алгоритмы возникли в свое время как ответы на актуальные вопросы теоретической и практической деятельности людей. [7]

Гильберт понимал, что математические утверждения сами по себе не могут стать предметом математического изучения, призванного ответить на вопрос об их непротиворечивости в его первоначальном смысле, если эти утверждения предварительно не сведены к формулам. Алгебраические формулы типа а b - Ъ а - самые известные тому примеры. Процесс дедукции, с помощью которого ранее полученные формулы порождают новые формулы, следует описывать без всякой ссылки на какие-либо значения этих формул. Начало дедукции составляют первичные формулы - аксиомы, - которые должны быть выписаны явно. [8]

Чтобы научить учащихся читать математические утверждения , необходимо показать возможные конструкции утверждений. [9]

Подчеркнем, что доказательство математического утверждения на основании каких-то посылок неотъемлемо содержит логический анализ связи исходных данных с рассматриваемым утверждением. Эта мысль подчеркнута Iff. [10]

Подчеркнем, что доказательство математического утверждения на основании каких-то посылок неотъемлемо содержит логический анализ связи исходных данных с рассматриваемым утверждением. [11]

Во второй части приводится обоснование математических утверждений , а также решаются новые математические проблемы, связанные с задачами механики гироскопических систем. [12]

Поскольку предметом нашего исторического изучения является математическое утверждение , носящее наименование аксиома, то, по-видимому, небесполезно сделать несколько замечаний по поводу этого термина. Здесь нет нужды рассматривать различные его толкования. [13]

Итак, есть физические явления и математические утверждения , по отношению к которым ответ на вопрос почему. Причина этого заключается в следующем. [14]

В математике мы имеем дело с различными утверждениями, например,

Относительно одних утверждений можно сказать, что в них говорится нечто правильное, относительно других – утверждается нечто неверное. Например, утверждение – верное, утверждение – неверное. Относительно утверждения нельзя сказать, является оно верным или нет, так как оно не имеет точного смысла.

Утверждение, которое является верным, называется истинным .

Утверждение, которое является неверным, называется ложным .

Высказыванием называется любое утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Из определения 16.14 вытекает

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным ( закон исключенного третьего ).

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным ( закон противоречия ).

Предложение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.

Два составных высказывания называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях относительно истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут .

Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание, которое истинно в том и только в том случае, если истинны оба высказывания. Обозначение: , читается: Таблица истинности имеет вид:

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Например: конъюнкцией высказываний и является высказывание . Или, конъюнкцией высказываний и является высказывание .

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Примеры: дизъюнкцией высказываний

• и является высказывание ;
• и является высказывание , где связка "или" не имеет разделительного смысла. То есть точка может лежать либо только на прямой , либо только на прямой , либо же на прямой и прямой одновременно.

Операции дизъюнкции и конъюнкции коммутативны.

и .

Для доказательства достаточно сравнить таблицы истинности высказываний и ( и Покажем для и .

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Операции дизъюнкции и конъюнкции ассоциативны.

и

Высказывание истинно только если одновременно истинны , и , а во всех других случаях – ложно. Высказывание также истинно, только если , и одновременно истинны. Совпадение истинности двух высказываний доказывает их эквивалентность. Аналогично высказывание ложно, только если ложны одновременно все три высказывания , но в этом случае ложно и Во всех остальных случаях оба высказывания и – истинны. Следовательно,

Для любых трех высказываний справедливы равенства

Пусть – истинно. Это возможно, только если истинны и а это значит, что – истинно, а не являютя одновременно ложными. Отсюда следует, что истинным является одно из двух высказываний или то есть – истинно. Далее, если – ложно, то и не являются одновременно истинными, то есть либо ложно, либо ложно или либо ложно , либо ложны одновременно . Отсюда одновременно ложны и то есть ложно Следовательно, высказывания по определению равносильны и справедливо равенство

Пусть – истинно. Тогда истинно либо , либо то есть либо истинно , либо одновременно истинны . В любом случае тогда истинны и одновременно, а значит, истинно Если же – ложно, то одновременно ложны и , и то есть – ложно, а не являются одновременно истинными (либо ложно, либо ложно). Тогда ложно либо либо то есть – ложно. Отсюда

Дизъюнкция любого высказывания и его отрицания – тождественно истинна . Обозначение:

Для любых двух высказываний справедливы формулы де Моргана :

а) Составим таблицы истинности правой и левой частей равенства.

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Сравнивая последние строчки таблицы, приходим к требуемому равенству.
б) Аналогично, сравнивая таблицы истинности правой и левой частей, получаем их равносильность:

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Высказывание называют условием, а – заключением импликации.

Для любых двух высказываний справедливо

Следует из сравнения таблиц истинности:

A	И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И

Импликацией, обратной данной импликации , называется импликация .

Импликацией, противоположной данной импликации , называется импликация .

Например: импликацией высказываний и является высказывание . Импликация обратная данной будет тогда такой: . Как мы видим, если импликация истинна, то обратная к ней не всегда будет истинна. Противоположной к исходной будет импликация .

Справедливы равенства и

См. доказательство свойства 16.14.

Эквиваленцией высказываний называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Обозначение: Таблица истинности имеет вид:

И	И	Л	Л
И	Л	И	Л

Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом . Множество всех значений переменной называют областью определения предиката . Обозначение предиката: .

Множеством истинности предиката называется подмножество , на котором истинно.

Л

Л

И

И

И

Л

Л

Множеством истинности данного предиката, соответственно, будет множество точек .

Два предиката называются эквивалентными , если у них совпадают области определения и множества истинности. Обозначение:

Справедливо а) б)

а) Если истинно высказывание то это означает, что не для всех выполнено , другими словами, существует , для которого выполнено то есть когда истинно выражение Если – ложно, то – истинно, тогда – ложно. Это доказывает равносильность высказываний и равенство
б) Так как формула пункта а) верна для любого предиката , возьмем предикат Получим Строя отрицание обеих частей, получаем С учетом того, что для любого высказывания имеем что и требовалось доказать.

Так же, как и для высказываний, на множестве предикатов можно ввести операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции. Для этого устанавливают правила, которые позволяют находить множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.

Пусть на множестве заданы предикаты , множества истинности которых соответственно и

Отрицанием предиката называется предикат множество истинности которого является дополнением к множеству , то есть .

Конъюнкцией предикатов называется предикат множество истинности которого определяется равенством

Дизъюнкцией предикатов называется предикат множество истинности которого определяется равенством

Импликацией предикатов называется предикат множество истинности которого определяется равенством где

В том случае, когда импликация истинна при всех значениях из множества , говорят, что предикат логически следует из предиката , и предикат называют необходимым условием для предиката , а предикат – достаточным условием для .

Если предикаты на множестве эквивалентны, то каждый из них называют необходимым и достаточным условием для второго.

Например, в импликации предикат логически следует из предиката . Следовательно, предикат является необходимым условием для предиката а предикат – достаточным для . Используя эти термины, импликацию можно выразить так:

1. Для того чтобы число было натуральным, необходимо, чтобы оно было целым.
2. Для того чтобы число было целым, достаточно, чтобы оно было натуральным.

Часто приходится рассматривать предикаты, в которые входит не одна, а две и больше переменных. Они называются в зависимости от числа переменных двухместными, трехместными, . местными. Рассмотрим, например, следующие предложения, в которых под понимают произвольные натуральные числа:

, , , .

Мы ничего не можем сказать об истинности или ложности этих утверждений, пока не сказано, какие значения принимают . Но если точно указано, чему равны , каждое из сформулированных утверждений превращается в высказывание – для одних пар истинное, для других ложное. Множество всех пар чисел , для которых данный двухместный предикат есть истинное высказывание, называется множеством его истинности.

Приведем примеры высказываний, получающихся из указанных предложений при конкретных значениях :

Математические утверждения и теоремы, их виды, работа с теоремами.

Обоснования и доказательства.

Основные понятия. Суждениями принять называть предложения, в которых выражена мысль о предмете, объектах, явлениях. Существуют два основных свойства суждений: что-то отрицать или утверждать, являться истинным или ложным. Суждение состоит из логического подлежащего, логического сказуемого и логической связки.

Математическим предложением называют повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию . В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.

Доказательство – совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Выделяют следующую структуру доказательства: тезис (суждение, истинность которого надо доказать), аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами).

В качестве аргументов выступают:

- удостоверенные единичные факты, т.е. статистические данные, результаты эксперимента или наблюдения и др.

- аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства) и постулаты (суждения, принимаемые в рамках научной теории за истинные).

- законы науки и теоремы.

При доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождественным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации .

Все доказательства можно разделить на прямые и косвенные. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, их которых, по логическим правилам, получается тезис.

Пример. Нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360 0 . Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. известно, что сумма углов треугольника составляет 180 0 . Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360 0 .

Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или не недоказанности.

Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения .

Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории.

С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма – эквиваленция).

Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа:

установление формы формулировки;

перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму (если…, то…);

запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;

определение вида (простая или сложная);

формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).

Работа с теоремой включает в себя следующие этапы.

Нулевой этап – выполнение логико-математического анализа.

Первый этап – подготовительный, который подразумевает: актуализацию знаний, мотивацию необходимости изучения факта, подведение к теоретическому факту.

Второй этап – основной – включает:

- работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения;

- мотивацию необходимости доказательства;

- анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;

- работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;

- подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства).

В дальнейшем, при вторичном закреплении при решении задач используются кроме изученной теоремы теоретические факты из других тем.

Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя матема­тики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005.

Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Фор­мирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике. – Минск: Народная Асвета, 1987.

Загвязинский В.И. Педагогическое творчество учителя. – М.: Педаго­гика, 1987.

Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в про­цессе обучения математике: Кн. для учителя. – Киев: Рад. шк., 1989.

Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслитель­ной деятельности учащихся при изучении математики. Обу­чение обоб­щению и конкретизации. Пособие для учителей. – М.: Про­свещение, 1978.

Яковлев Н.М., Сохор А.М. Методика и техника урока в школе: В по­мощь начинающему учителю. 3-е изд., перераб. и доп.  М.: Просве­щение, 1985.

Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч.1, 2. – М.: Просвещение, 1977.

Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. – М.: Педагогика, 1977.

Похожие документы:

Рабочая программа (549)

. обоснованием (доказательством . работать с математическим . контрольные работы: основные понятия и утверждения . данными отрезками (их длинами) с . доказательства, записав его в виде утверждений. Продумайте на чем основано каждое утверждение (запишите теоремы .

Понятие алгоритма его свойства логические теории алгоритмов

. развитые, математически обоснованные механизмы, которые . (Это утверждение называется теоремой Клини). Доказательство: Пусть S1 . Виды загрузчиков и редакторов связей, их основные функции, в том числе машинозависимые и машинонезависимые. Основные понятия .

Основная образовательная программа среднего (полного) общего образования

. системах; — обоснование суждений, доказательств; объяснение положений, ситуаций, явлений и процессов; — владение основными видами публичных выступлений .

Основная образовательная программа (100)

. 2.3. Виды профессиональной деятельности . моделей понятия, утверждения, . их теоретическое обоснование. Работа . Теорема Чёрча-Россера (доказательство через па­раллельные редукции и их . основные понятия. Стадии опера- ционного исследования. Математическое .

Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности

. логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями, применять полученные . на практику, с обоснованием необходимости проведения такого вида работ; оценка современного состояния решаемой .

Будем рассматривать высказывания о математических объектах, т.е. произвольные математические утверждения, которым можно приписать значение истина или ложь. Например, “22=5”, “22=4” и “сумма углов треугольника равна 180 0 ” – математические высказывания.

Несколько упрощая и огрубляя действительность, можно сказать, что любое математическое утверждение можно записать в одном из следующих видов:  х Р(х) или  х Р(х), где х – некоторая переменная, а Р(х) – предикат (на самом деле переменных может быть несколько). В общем виде будем писать Q x P(x), подразумевая под Q один из кванторов (Q  , >). Конечно, сам предикат Р(х) при этом может иметь сколь угодно сложную структуру.

Например, знакомое из анализа утверждение (  > 0 ( n  N ( k, m  N (k, m  n)  |a_m – a_n| 0  n  N  k, m  N и условия (k  n)  (m  n)  |a_m – a_n| 0)  (n  N)  (k N  k  n)  (m N  m  n) |a_m – a_n| 0 , n  N , k N , m N , k  n, m  n, |a_m – a_n| 0 )  АВ 2 = АС 2 + ВС 2 ). Здесь   АВС – кванторная приставка,  АСВ = 90 0 – предикат_1, АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – предикат_2. Если опу­ститься (а может быть, подняться ?!) на ещё более высокую ступень формализма, то сле­дует ввести множество  всех треугольников и функции  С(х), АВ(х), ВС(х), АС(х), сопос­та­в­ляющие каждому треугольнику х =  АВС соответственно величину угла С и длины сто­рон АВ, ВС, АС. Тогда теорема Пифагора станет ещё более загадочной:  х   (( С(х)=90 0 )  АВ(х) 2 = АС(х) 2 + ВС(х) 2 ). Хотя это и не предел формализации, но, как пра­вило, мы не будем забредать слишком далеко в подобные формалистические дебри.

Другой пример преобразования неимпликативного утверждения в импликативную форму: утверждение “1 является минимальным натуральным числом” может быть записано в импликативной форме так:  n (n  N  n  1).

Упражнение: Преобразовать в импликативную форму и записать в виде формул с кванторами и предикатами следующие утверждения:

Сумма углов n-угольника равна (n–2),

Квадрат действительного числа неотрицателен,

Натуральное число m делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4 ,

Если последовательность сходится, то сходится и её подпоследовательность с чётными номерами,

Диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только простейших утверждений вида Q x (P(x)  R(x)). По ним можно образовать следующие утверждения:

Q x (R(x) P(x)), Q x (), Q x (),

которые называются соответственно обратным, противоположным и контрапозиционным утверждениями к исходному. При этом само исходное утверждение Q x (P(x) R(x)) называют прямым. Легко видеть, что контрапозиционное утверждение является противоположным к обратному, а утверждение обратное к обратному будет прямым, так же как и противоположное к противоположному.

Примеры: 1. Рассмотрим утверждение “если натуральное число n делится на 6, то оно делится на 2 и на 3”. Его импликативная форма:

 n  N ((n  6)  (n  2)  (n  3))

– это прямое утверждение. Сформулируем другие виды утверждений:

обратное:  n  N ((n  2)  (n  3)  (n  6)) – “если натуральное число n делится на 2 и на 3, то оно делится на 6”;

противоположное:  n  N ((n 6) (n 2) (n 3)) – “если натуральное числоn не делится на 6, то оно не делится на 2 или на 3”;

контрапозиционное:  n  N ((n 2) (n 3) (n 6)) – “если натуральное числоn не делится на 2 или на 3, то оно не делится на 6”.

2. Для прямого утверждения “если последовательности a_n> и b_n> сходятся, то сходится последовательность a_n + b_n>” обратное звучит так: “если сходится последовательность a_n + b_n>, то последовательности a_n> и b_n> сходятся”, противоположное – “если одна из последовательностей a_n> или b_n> не сходится, то не сходится последовательность a_n + b_n>” и контрапозиционное – “если не сходится последовательность a_n + b_n>, то одна из последовательностей a_n> или b_n> не сходится”.

Упражнение. Сформулировать все виды утверждений для прямых утверждений из предыдущего упражнения.

Каждое математическое утверждение, будучи высказыванием, является истинным или ложным. Поэтому для проверки истинности утверждения необходимо сопоставить его смысл с “окружающей математической действительностью” в самом широком смысле. Для доказательства истинности утверждения вида  х Р(х) (не обязательно в импликативной форме) нужно найти хотя бы один объект а  D(P) со свойством Р(a), т.е. хотя бы один элемент из области истинности предиката Р(х): а  D₁(P). Для доказательства истинности утверждения вида  х Р(х) нужно проверить, что для любого объекта а  D(P) выполнено свойство Р(a), т.е. доказать равенство D(P) = D₁(P).

Ложность утверждения вида Q x Р(х) равносильна истинности утверждения , где(см. основные равносильности с кванторами). Поэтому проверка ложности математического утверждения сводится к проверке истинности некоторого другого утверждения аналогичной структуры.

Примеры: 1. Истинно ли утверждение  х  Z ( y  R xy = 3) ?

Пусть х = х₀  Z фиксировано. Рассмотрим высказывание  y  R x₀y = 3.

Очевидно, что оно ложно, т.к. при у = 0 условие х₀у = 3 не выполнено ни при каком х₀  Z. Поэтому исходное утверждение ложно.

Истинно ли утверждение  х  N ( y  R xy = 3) ?

Пусть х = х₀  N фиксировано. Рассмотрим высказывание  y  R x₀y = 3 . Поскольку х₀  N, а значит, х₀  0, то это высказывание равносильно утверждению  y  R y = , которое, очевидно, истинно (у явно вычислено по х₀). Поэтому исходное утверждение истинно.

Истинно ли утверждение  х  N ( y  N xy + 1 > x + y) ?

Для х = х₀  N рассмотрим высказывание  y  N (x₀y + 1 > x₀ + y) , которое при х₀ = 1 принимает вид  y  N y + 1 > 1 + y и является ложным. Значит оно истинно не для любого х₀  N, т.е. исходное утверждение ложно.

Упражнение. Найдите истинные и ложные утверждения из предыдущего упражнения.

Совершенно не обязательно, что истинность прямого утверждения влечёт истинность и дру­гих – обратного, противоположного и контрапозиционного. Например, утверждение  т, n  N (m | n  m  n) истинно, но обратное к нему:  т, n  N (m  n  m | n) ложно, как и противоположное  т, n  N (m n  m > n); контрапозиционное утверждение  т, n  N (m > n  m n) снова истинно.

На самом деле контрапозиционное утверждение Q x ()и прямое Q x (P(x)  R(x)) всегда равносильны, т.е. истинны или ложны одновременно. Это следует из известного закона контрапозиции (a  b)  ( ). Эту равносильность иногда удобно использовать при доказательствах теорем: вместо прямого утверждения иногда удобнее доказывать контрапозиционное к нему.

Если прямое утверждение Q x (P(x)  R(x)) истинно, то истинна импликация P(x)  R(x) для некоторой совокупности объектов х (по крайней мере, для одного, если Q = , и для всех, – если Q =). Особое внимание уделим случаю Q =. Тогда предикат P(x)  R(x) тождественно истинен, и вместо записи  x (P(x)  R(x)) иногда кратко пишут Р(х)  R(x). При этом предикат Р(х) называется достаточным условием для R(x), а предикат R(x) – необходимым условием для Р(х) или логическим следствием предиката Р(х). Смысл названий состоит в том, что для любого объекта а для проверки истинности условия R(а) достаточно проверить истинность условия P(а), а для того, чтобы Р(а) было истинным, необходимо (т.е. обязательно требуется), чтобы истинным было высказывание R(а), истинность которого следует из истинности Р(а).

Если предикаты Р(х) и R(x) равносильны, т.е.  х (P(x)  R(x)), то иногда кратко пишут Р(х)  R(x). Ввиду равносильности  х (P(x)  R(x))    х ((P(x) R(x))  (R(x) P(x))), условие R(x) не только необходимо, но и достаточно для Р(х), а Р(х), в свою очередь, необходимо для R(x) и является логическим следствием предиката R(x). Вот почему вместо Р(х)  R(x) часто говорят “условие Р(х) необходимо и достаточно для выполнения R(x)”. Ясно, что Р(х)  R(x)  (Р(х)  R(x))  (R(x)  Р(х)) поэтому вместе с прямым утверждением в этом случае справедливо и обратное.

Примеры: 1. Условие R(х)  “натуральное число х делится на 2” является необходимым условием для Р(х)  “натуральное число х делится на 6”, т.к. высказывание Р(х)  R(x) (  х (P(x) R(x))) истинно. Обратное утверждение R(x)  Р(х) в данном случае не верно, т.к. например, 2 2, но 26. Таким образом, условие R(х) необходимо, но не достаточно для Р(х).

2. Очевидно, что необходимым и достаточным условием для Р(х)  “натуральное число х делится на 6” является условие S(х)  “натуральное число х делится на 2 и на 3”. Таким образом, в этом случае справедливо Р(х)  S(x).

Упражнение: Среди нижеследующих условий выделить необходимые, достаточные и необходимые и достаточные:

Р(х) = “два угла треугольника х и две его стороны равны между собой”, R(x) = “треугольник х равносторонний”,

Р(х) = “два угла треугольника х равны между собой”,

R(x) = “треугольник х равнобедренный”,

Р(х) = “три медианы треугольника х равны между собой”,

R(x) = “треугольник х равносторонний”,

Р(х) = “х  N и х  5”, R(x)  “х  N и 2 х > 5”,

Р(х)  “х  N и х  5”, R(x)  “х  N и 2 х > 5х + 6”,

Р(х)  “последовательность x_n> сходится”,

R(x)  “последовательность x_2n> сходится”,

Р(х)  “последовательность x_n> сходится”,

R(x)  “последовательность x_n> сходится”.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Аксиомы, леммы, теоремы Выполнила учитель МБОУ СШ № 70 г. Дзержинска Нижегородской области Александрова Наталья Владимировна

Запомните! Аксиома – это утверждение, которое НЕ требует доказательств

Пример аксиомы Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна

Запомните! Теорема– это утверждение, которое требует доказательства

Примеры формулировок теорем Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно! Формулировки аксиом и теорем нужно учить строго наизусть, без искажений!

Запомните! Лемма– это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы

Пример леммы Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

Запомните! Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы

Если сравнить геометрию с домом, то можно представить, что: Аксиомы – это фундамент дома Теоремы – основные кирпичи дома Леммы и следствия – вспомогательные кирпичи, для упрочения конструкции

Структура доказательства теоремы: Формулировка: условие и заключение Доказательство (чертеж, дано, доказать, доказательство) Вывод

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 30 человек из 19 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 613 224 материала в базе

Материал подходит для УМК

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

• 30.12.2019 515
• PPTX 50.5 кбайт
• 9 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Александрова Наталья Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие

Время чтения: 16 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также:

  
• История шоколада для детей кратко
  
• Каковы различия в уровне урбанизации внутри района кратко
  
• Распространение микроорганизмов в почве кратко
  
• Обожествление фараона 5 класс кратко для впр
  
• Насекомые которые могут жить в горячих источниках кратко