Уравнения касательной и нормали кратко

Обновлено: 02.07.2024

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x₀), то получаем уравнение y= f'(x₀)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀= f'(x₀)·x₀ + b. Отсюда b=y₀– f'(x₀)·x₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x₀)·x +y₀ – f'(x₀)·x₀ или

y = f '(x₀)·(x – x₀) + f(x₀)

Если касательная, проходящая через точку М(x₀,y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x₀,y₀), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке Mимеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет видx= x₀.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x₀)·x +y₀ – f'(x₀)·x₀ или

y = f '(x₀)·(x – x₀) + f(x₀)

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке. Определения, подкасательной и поднормали. Угол между двумя кривыми. Полезные формулы аналитической геометрии. Примеры решения задач на составления уравнений касательной и нормали, и на вычисление угла между кривыми.

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Угол между кривыми равен наименьшему углу между касательными.

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная - это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f '(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f '(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Как и в предыдущем примере, данная функция - сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:
(ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную:

Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:

Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:
, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится:

То есть, касательная будет параллельна оси .

Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной .
В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай № 1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

Следующий пример посвящён тому же Случаю № 1, когда :

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай № 2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению):

Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная:

Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функцию в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Ответ:

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Таким образом:

Уравнение нормали составим по формуле :

Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данной задаче:

Таким образом:

В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче: .
Найдём производную:

Или:

Подставим в выражение производной :

Искомое уравнение нормали:

Ответ:

Пример 9: Решение: в данном случае:

Найдём производную и вычислим её значение при :

Уравнение нормали:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

$$y-4=-\frac(x-0) \Rightarrow x-3 y+12=0$$

Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$

Уравнение нормали: $x-3y+12=0$

Угол между кривыми

Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_x+b_$ и $y=k_x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

Читайте также:

Уравнения касательной и нормали кратко

Основные формулы

Определения

Полезные формулы из аналитической геометрии

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Вывод формулы для угла между кривыми

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Решаем задачи вместе

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Снова решаем задачи вместе

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Угол между кривыми

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?