Уравнение навье стокса кратко

Обновлено: 06.07.2024

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса – это задача из области математики, которую в 2000 году Математический институт Клэя признал шестой из семи задач тысячелетия.

Для данной проблемы есть, как математические доказательства существования и единственности решения задачи с периодическими граничными условиями, так и доказательства потери единственности решений при резком возникновении неустойчивости в конечное время.

Уравнения Навье-Стокса – это математическая модель движения вязкой несжимаемой жидкости. Интерес представляют не все решения этих уравнений, а только те, которые годятся для описания реальных течений.

Данные уравнения стали основой гидродинамики. Численные решения этих уравнений применяются во многих практических случаях. Аналитически данные уравнения решены только для некоторых частных задач. Отсутствует понимание полностью свойств уравнений Навье-Стокса.

Уравнения Навье - Стокса

В трехмерном случае уравнения Навье - Стокса можно записать как:

$\frac<\partial \vec v><\partial t>+(\vec v \nabla )\vec v = \frac \nabla p+\nu \Delta \vec v+\vec f (\vec r , t)(1),$

$\vec v$ - трехмерный вектор скорости;
$p$ - давление;
$\nu$ > $0$ - кинематическая вязкость,
$\rho$ - плотность;
$\vec f$ - внешняя сила;
$\nabla$ - оператор набла;
$\Delta$ - лапласиан.

Уравнение (1) является векторным. Его можно представить в виде системы из трех скалярных уравнений.

В данном уравнении следует найти поле скоростей и давлений. Так как в трехмерном случае мы имеем три уравнения и четыре неизвестных, то дополнительно используют уравнение неразрывности, которое для несжимаемой жидкости записывают как:

Готовые работы на аналогичную тему

$\nabla \bullet \vec v=0 (2).$

Начальные условия к уравнениям можно задать в виде поля скоростей в момент времени $t=t_0$:

$\vec v (\vec r, 0)=\vec v_0(\vec r),$

где $\vec v_0(\vec r)$ - известная гладкая векторная функция, которая должна удовлетворять уравнению неразрывности (2).

Уравнения Навье - Стокса в гидродинамике

Точные решения уравнений Навье - Стокса обладают большим значением в теоретической гидродинамике. Этим решениям посвящают множество научных работ.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если дополнительные условия, начальные и краевые обеспечивают:

существование решения;
его единственность,
непрерывную зависимость от заданных в задаче параметров.

Если принимать во внимание сказанное выше, то корректными в гидродинамике являются задачи, которые можно отнести к течениям с малыми числами Рейнольдса, когда нелинейность уравнений не проявляется.

При увеличении числа Рейнольдса проявляется нелинейность, и появляются свойства, которые нельзя совместить с определением корректности.

Для стационарных задач нелинейность может вызывать неединственность решения при одних числах Рейнольдса и его отсутствие при других.

Возможность решения задачи в гидродинамике принципиальным образом зависит от ее постановки, то есть от:

Классическими граничными условиями в гидродинамике являются следующие виды условий:

Условия прилипания для ограниченной области, которые связаны с заданием вектора скорости на границе, который удовлетворяет только условию соленоидальности.
Условия в бесконечной области для задач обтекания. В этом случае на обтекаемой границе задают условия прилипания, в бесконечности вектор скорости постоянен.
Условия на свободных границах.

В задаче обтекания постоянство вектора скорости в бесконечности является обязательным.

Наряду с указанными граничными условиями принципиально возможны и другие разнообразные постановки. Например, циркуляционное течение вязкой жидкости в круговой области, на границе которой заданы условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Решение данной задачи является неединственным, так как квазитвердое вращение с произвольной угловой скоростью удовлетворяет всем условиям задачи.

Строгие теоретические решения уравнений Навье-Стокса, в основном получены для граничных условий первого и второго типа. О.А. Ладыженской доказано, что стационарная задача с граничными условиями первого или второго вида имеет, по крайней мере, одно гладкое решение при любых числах Рейнольдса. В этом случае граница области и граничные условия не обязательно являются гладкими. Но при этом необходимо ограниченность значений вектора скорости на границе и массовых сил в общем случае.

Проблема единственности стационарных решений снята только для случая малых чисел Рейнольдса. В иных случаях неединственность решений – это скорее правило, чем исключение.

Особым вниманием в стационарной гидродинамике пользуется предельный переход $\nu \to 0$. В виду тог, что самые распространенные вещества – вода и воздух – обладают малыми кинематическими вязкостями в сравнении с характерными параметрами $V L$, где $L$ - линейный масштаб течения. Асимптотическую постановку этой задачи дала теория пограничного слоя Прандтля и ее расширение – теория сращиваемых асимптотических разложений. Заметим, что схема Прандтля применима не всегда.

Разрешимость начально-краевых нестационарных задач доказана для всех моментов времени только в случае двух пространственных измерений. В общем трехмерном случае разрешимость доказана для гладких начальных данных на малом временном интервале.

его единственность,
непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил для конечных временных интервалов.

В классе двумерных задач с нулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала (так, при нулевых условиях и убывании сил движение жидкости затухает).

Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных условий нет, так как при больших числах Рейнольдса стационарные течения способны терять устойчивость.

Постановка задачи институтом Клэя

Математический институт Клэя выдвинул два базовых варианта условий задачи для решений уравнений Навье-Стокса:

Решение уравнений в трехмерном пространстве учитывая ограничения скорости роста решения в бесконечности. Для любых начальных условий.
Решение данных уравнений на торе в пространстве трех измерений. При этом граничные условия должны быть периодическими.

Задача будет считаться решенной, если будет доказано наличие или отсутствие решения и его гладкость или негладкость.

Ньютоновская жидкость – это жидкость, для которой скорость её деформации пропорциональна вязкости. Ньютоновская жидкость течет всегда, даже если силы, воздействующие на нее, очень малы – только бы они не были нулевыми. Типичная ньютоновская жидкость – вода. Вспомните, как она ведет себя в невесомости: это тот случай, когда на жидкость совсем не воздействуют внешние силы, даже сила тяжести.

Система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, к которой с большой точностью можно отнести воду, имеет вид:

$\left\<\begin <\frac<\partial v_> <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial x_> =-\frac \frac<\partial p> <\partial x_> +\nu \frac<\partial > <\partial x_> (\frac <\partial v_> <\partial x_> +\frac <\partial v_> <\partial x_> )> \\ <\frac<\partial \rho > <\partial t>+\nabla (\rho \bar)=0> \end\right$

Здесь – плотность жидкости, t – время, р – давление, (v_ ,v_ )" width="64" height="18" />
– проекции скорости (вектора) на координатные оси, – коэффициент динамической вязкости; , – пространственные координаты. <\partial x_> \bar+\frac<\partial > <\partial x_> \bar" width="135" height="26" />
– оператор набла.

Первое уравнение в системе – это собственно уравнение движения. В левой его части стоят произведения плотности на соответствующие ускорения. В правой же части – произведения плотности на силы давления и внутреннего трения.

Второе уравнение – это уравнение неразрывности. Его физический смысл – это сохранение массы для потока жидкости.

Выражение > <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial x_>" width="91" height="27" />
– это не что иное, как субстанциональная производная (также её называют полной). Она показывает, как изменяется ускорение материальной точки, которая движется в стационарной среде жидкости. При этом ><\partial t>" width="22" height="25" />
отображает изменение свойств точки в течение времени, как если бы она была неподвижной. \frac <\partial v_> <\partial x_>" width="45" height="27" />
— конвективная производная, описывающая эволюцию свойств в неподвижной точке из-за того, что через нее со скоростью " width="10" height="11" />
протекает жидкая среда.

Система уравнений Навье-Стокса дает очень точные решения, если рассматривается ламинарное течение жидкости, либо геометрия каналов несложная. А вот при турбулентном течении уравнения очень чувствительны к значениям коэффициентов: изменение числа Рейнольдса на 0,05% может привести к кардинально другому результату.

На практике система уравнений Навье-Стокса применяется для расчёта конвекции и термической диффузии в теплофизике и теплотехнике; для предсказания поведения смесей, состоящих из многих компонентов. Также эта система используется для описания процессов в плазме и межзвёздном газе, течений в мантии Земли. С помощью системы уравнений Навье-Стокса делают прогноз погоды, предсказывая движение масс воздуха в атмосфере.

Примеры решения задач

$v_<x> =\frac<A(x ^2 -y^2 )>$

$v_<y> =\frac$

$v_<z> =0$

$\frac<\partial \rho > <\partial t>+\nabla (\rho \bar)=0$

Для несжимаемой жидкости плотность постоянна, и уравнение неразрывности можно преобразовать:

$div( \bar<v> )=0$

Последнее выражение можно переписать в виде:

$\frac<\partial v_<x> > <\partial x>+\frac <\partial v_<y>> <\partial y>+\frac <\partial v_<z>> <\partial z>=0$

$\frac<\partial \left(\frac<A(x ^2 -y^2 )> \right)> <\partial x>+\frac<\partial \left(\frac<2Axy > \right)> <\partial y>+0=\frac<\partial \left(\frac<A(x ^2 -y^2 )> <(x^2 +y^2 )^2 >\right)> <\partial x>+\frac<\partial \left(\frac<2Axy > <(x ^2 +y ^2 )^2 >\right)> <\partial y>=$

$=A\left(\frac<-4x(x ^2 -y^2 )> <(x^2 +y^2 )^3 >+\frac <(x^2 +y^2 )^2 >\right)+A\left(\frac <(x^2 +y^2 )^2 >-\frac <(x^2 +y^2 )^3 >\right)=0$

Таким образом, заданное поле скоростей удовлетворяет уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.

$\left\<\begin <\frac<\partial v_> <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial y>=-\frac \frac<\partial p> <\partial y>+\nu \frac<\partial > <\partial y>(\frac <\partial v_> <\partial y>+\frac <\partial v_> <\partial x>)> \\ <\frac<\partial v_> <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial x>=-\frac \frac<\partial p> <\partial x>+\nu \frac<\partial > <\partial x>(\frac <\partial v_> <\partial x>+\frac <\partial v_> <\partial y>)> \\ <\frac<\partial \rho > <\partial t>+\nabla (\rho \bar)=0> \end\right$

Мы заменили индексы i, k при составляющих скорости мы заменили более привычными x, y – так, как было записано в условии задачи. При этом мы смогли заменить пространственные координаты " width="16" height="11" />
, " width="19" height="11" />
на удобные x, y. Суть же уравнения не изменилась.

Перепишем систему уравнений Навье-Стокса, учитывая особенности исследуемой модели жидкости:

$\left\<\begin <\frac<\partial v_> <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial x>+v_ \frac <\partial v_> <\partial y>=-\frac \frac<\partial p> <\partial y>+\nu \Delta v _ > \\ <\frac<\partial v_> <\partial t>+v_ \frac <\partial v_> <\partial y>+v_ \frac <\partial v_> <\partial x>=-\frac \frac<\partial p> <\partial x>+\nu \Delta v_ > \\ <\frac<\partial v_> <\partial x>+\frac <\partial v_> <\partial y>=0> \end\right$

Последнее уравнение, являющееся выражением закона неразрывности для несжимаемой жидкости выполняется автоматически для заданного поля скоростей. Два первых уравнения перепишутся в виде:

$\begin =-4\rho x ,> \\ =-4\rho y .> \end$

Тогда полный дифференциал давления:

Проинтегрировав, найдём функцию давления:

$p=-2\rho (x <> ^2 +y ^2 )$

В механике жидкости , что уравнения Навье-Стокса являются нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие движение ньютоновских жидкостей (газов , следовательно , и большую часть жидкости). Решение этих уравнений, моделирующих жидкость как однофазную сплошную среду, является трудным, и математическое существование решений уравнений Навье-Стокса не продемонстрировано. Но они часто позволяют с приблизительным разрешением предложить моделирование многих явлений, таких как океанические течения и движения воздушных масс в атмосфере для метеорологов, поведение небоскребов или мостов под действием ветра для архитекторов и инженеров, или самолеты, поезда или высокоскоростные автомобили для их конструкторских бюро, а также поток воды в трубе и многие другие явления потока различных жидкостей.

Эти уравнения так названы в честь работы двух ученых XIX - го века : математик и инженер Клод-Луи Навье , который первым ввел понятие вязкости в уравнениях Эйлера в 1823 году, и физик Джордж Габриэль Стокс , который дала свою окончательную форму уравнению сохранения импульса в 1845 году. Тем временем, различные ученые внесли свой вклад в продвижение этой темы: Огюстен Луи Коши и Симеон Дени Пуассон в 1829 году и Адемар Барре де Сен-Коминг в 1843 году.

Для газа с низкой плотностью можно найти приближенное решение уравнения Больцмана , описывающее статистическое поведение частиц в рамках кинетической теории газов. Таким образом, метод Чепмена-Энскога , созданный Сиднеем Чепменом и Дэвидом Энскогом в 1916 и 1917 годах, позволяет обобщить уравнения Навье-Стокса на среду, состоящую из нескольких компонентов, и вычислить выражение массовых потоков ( уравнения Стефана-Максвелла, включая Соре эффект ), импульс (давая выражение тензора давления) и энергии , показывающий наличие эффекта Dufour . Этот метод также позволяет рассчитывать коэффициенты переноса из потенциалов взаимодействия молекул .

В статье описаны различные варианты уравнений, применимые для сред однородного состава, проблемы, связанные с диффузией и химическими реакциями, в ней не рассматриваются.

Резюме

Законы сохранения

Используемые обозначения и отношения

где Tr представляет оператор следа .

Некоторые полезные векторные идентификаторы для этой статьи:

Закон сохранения

Мы можем определить закон сохранения для обширной переменной Φ плотности ϕ, движущейся со скоростью V и содержащей член объемного производства S, следующим образом:

Эйлерова формулировка

Наиболее часто используемая формулировка требует естественной фиксированной системы отсчета, когда кто-то имеет дело со стационарной или нестационарной задачей, в которой область вычислений известна заранее. Затем мы обращаемся к эйлеровым переменным .

В результате получается уравнений Навье-Стокса, применяя сохранение выше отношения к плотности р , импульса р V и полной энергии р Е .

Непрерывность уравнение (уравнение баланса массы) ∂ ρ ∂ т + ∇ ⋅ ( ρ V → ) знак равно 0 > + \ mathbf \ cdot (\ rho >) = 0>

Уравнение моментума баланса ∂ ( ρ V → ) ∂ т + ∇ ⋅ ( ρ V → V → ) знак равно ∇ → ⋅ п + ρ грамм → знак равно - ∇ → п + ∇ → ⋅ Σ + ρ грамм → <\ dfrac <\ partial (\ rho >)>> + \ mathbf \ cdot \ left (\ rho >> \ right) & = & <\ vec > \ cdot > + \ rho > \\ [ 0.5em] & = & - <\ vec > p + <\ vec > \ cdot > + \ rho > \ end >>

Уравнение баланса энергии ∂ ( ρ E ) ∂ т + ∇ → ⋅ ( ρ E V → ) знак равно ∇ → ⋅ ( п ⋅ V → ) + ρ грамм → ⋅ V → + ∇ ⋅ q → + ∇ → ⋅ q → р > + <\ vec > \ cdot (\ rho E >) = > \ cdot \ left (> \ cdot > \ right) + \ rho > \ cdot > + \ mathbf < \ nabla>\ cdot > + <\ vec > \ cdot > _ >

В этих уравнениях:

t представляет время (единицы СИ: с);

ρ обозначает плотность жидкости (единицы СИ: кг м −3 );

В обозначает эйлерову скорость частицы жидкости (единица СИ: м с -1 );

п >> указывают тензор напряжений (или тензор давления), который, если пренебречь излучением, распадается на:

Σ >> указать тензор вязких напряжений (единица СИ: Па );

я >> обозначает единичный тензор ;

p обозначает термодинамическое давление (единицы СИ: Па);

г ( х , т ) обозначает силу тяжести или любую другую внешнюю массовую силу (СИ единица измерения: м с -2 );

Е обозначает полную энергию на единицу массы (единица СИ: Дж кг -1 ); она выражается как функция внутренней энергии на единицу массы e следующим образом:

q обозначает тепловой поток за счет теплопроводности (единица СИ: Дж м −2 с −1 ).

q_R обозначают тепловой поток, обусловленный излучением (единица СИ: Дж м -2 с -1 ).

Чтобы замкнуть систему, необходимо описать p , Σ и q из гипотез о рассматриваемой жидкости. q _R , со своей стороны, является объектом расчета переноса излучения, возможно связанного с разрешением уравнений Навье-Стокса.

Некоторые варианты системы уравнений

Мы можем выразить уравнение импульса по-другому, заметив, что:

Полученное тогда уравнение интерпретируется как второй закон Ньютона , учитывая, что этот член описывает ускорение частиц жидкости. ∂ V → ∂ т + ( V → ⋅ ∇ → ) V → знак равно D V → D т >> > + (> \ cdot >) > = <\ frac > >>

Можно выразить сохранение энергии в эквивалентной форме, передав первому члену член, соответствующий давлению:

Масштабируя уравнение количества движения, записанное как указано выше, на скорость, мы получаем закон сохранения кинетической энергии:

Вычитая это уравнение из уравнения сохранения энергии, используя уравнение сохранения массы и тождество

Лагранжева формулировка

В некоторых задачах площадь, занимаемая жидкостью, может значительно меняться со временем. Следовательно, это неустойчивые проблемы. Так обстоит дело в задачах о взрывах или в астрофизике . Затем обращаются к лагранжевым переменным, определенным в указанной ссылке ξ . Ускорение жидкой частицы определяется производной частицы :

Последний член этого уравнения является адвективным членом величины ϕ . Он может быть скалярным, векторным или тензорным.

Для импульса производная частицы стоит:

Уравнения сохранения в системе координат, определяемой как, записываются: ∂ Икс → ∂ т знак равно V → >> > = >>

Уравнение неразрывности (или уравнение баланса массы) D ρ D т + ρ ∇ ⋅ V знак равно 0 \ rho>t>> + \ rho \ mathbf \ cdot \ mathbf = 0>

Уравнение моментума баланса ρ D V D т знак равно - ∇ п + ∇ ⋅ Σ + ρ грамм <\ displaystyle \ rho <\ frac \ mathbf >t>> = - \ mathbf p + \ mathbf \ cdot > + \ rho \ mathbf >

Уравнение баланса энергии ρ D E D т знак равно - ∇ ⋅ ( п V ) + ∇ ⋅ ( Σ ⋅ V ) + ρ грамм ⋅ V + ∇ ⋅ q + ∇ ⋅ q р <\ displaystyle \ rho <\ frac E>t>> = - \ mathbf \ cdot \ left (p \ mathbf \ right) + \ mathbf \ cdot \ left (> \ cdot \ mathbf \ right) + \ rho \ mathbf \ cdot \ mathbf + \ mathbf \ cdot \ mathbf + \ mathbf \ cdot \ mathbf _ >

Выражения в системах координат

Используя выражения операторов в различных общих системах координат, можно детализировать выражения уравнений.

Выражение в декартовых координатах

Выражение в цилиндрических координатах

Выражение в сферических координатах

Ньютоновская жидкость, гипотеза Стокса

В первом приближении для многих обычных жидкостей, таких как вода и воздух, тензор вязких напряжений пропорционален симметричной части тензора скоростей деформации (гипотеза ньютоновской жидкости )

μ обозначает динамическую вязкость жидкости (единица измерения: Пуазейль (Пл) = Па · с = Н · м -2 · с );

μ ' обозначает вторую вязкость (или объемную вязкость, на английском языке объемную вязкость ) жидкости (единица измерения: Пуазейль (пл) = Па · с = Н · м -2 · с ).

Эти коэффициенты обычно зависят от плотности и термодинамической температуры, как указано в следующем абзаце.

Гипотеза Стокса обычно используется для связи динамической вязкости со второй вязкостью:

Тогда с учетом выражения тензора вязких напряжений уравнение количества движения записывается в виде:

Гипотеза Стокса верна для одноатомных газов . Это хорошее приближение для простых жидкостей, таких как вода и воздух.

И наоборот , многие сложные жидкости , такие как полимеры, тяжелые углеводороды, мед или даже зубная паста, не подтверждают гипотезу ньютоновской жидкости. Затем прибегают к другим вязким конститутивным законам, известным как неньютоновский (например, закон жидкости Бингема ). Наука, изучающая взаимосвязь между напряжением и деформацией для таких жидкостей, - это реология .

Термодинамические свойства

Описанная выше система является неполной, поскольку она имеет 3 уравнения (включая один вектор) для 5 неизвестных (включая два вектора): ρ , V , e , p , q (если пренебречь тепловым потоком, обусловленным излучением, q _R ). Чтобы замкнуть систему, добавим уравнения состояния вида

п знак равно п ( ρ , Т ) , е знак равно е ( ρ , Т ) ,

Затем система закрывается, если предполагается, что закон Фурье проверяется :

Уравнения движения вязкой жидкости несколько упрощаются, если коэффициенты вязкости можно считать постоянными для данной жидкости величинами. Действительно, в этом случае (см. (63.4))

причем входящие сюда суммы вторых производных можно записать в форме

Таким образом, уравнения (63.5) приводят к уравнению Навье — Стокса:

Если жидкость можно считать несжимаемой, то в силу уравнения непрерывности , следовательно, тензор (см. (63.3)), а тензор напряжений (63.4) и диссипативная функция (63.10) преобразуются соответственно к виду

Поэтому системой уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости является следующая замкнутая относительно неизвестных и система

где удельная вязкость часто называют кинематическим коэффициентом вязкости, а первый коэффициент вязкости динамическим коэффициентом вязкости). Если система (64.6) — (64.7) решена, т. е. поля давления и скорости найдены, поле температуры может быть определено с помощью уравнений (63.12) и (63.13) совместно с (63.15) и (63.16).

Граничным условием к уравнениям движения вязкой жидкости является условие обращения в нуль скорости среды на неподвижной твердой поверхности

Это условие, связанное с представлением о молекулярном взаимодействии между молекулами среды и поверхности, подтверждается на опыте в довольно большом интервале плотностей и температур. Заметим, что на движущейся твердой поверхности скорость среды

должна равняться скорости соответствующего элемента поверхности:

(здесь — радиус-вектор элемента поверхности).

Часто приходится вычислять силу, действующую на неподвижную твердую поверхность со стороны жидкости. В связи с этим получим выражение для силы, действующей на элемент поверхности. Эта сила должна равняться потоку импульса через элемент Поэтому найдем тензор плотности потока импульса для вязкой жидкости. Для этого рассмотрим уравнение (55.17) с тензором напряжений (63.1) и представим это уравнение в виде (58.4). Тогда

Отсюда, учитывая граничное условие (64.8), найдем силу действующую со стороны вязкой жидкости на элемент неподвижной твердой поверхности:

(напомним, что орт направлен по нормали, внешней к поверхности твердого тела, т. е. внутрь жидкости).

Теперь рассмотрим вопрос о подобии стационарных течений несжимаемой вязкой жидкости в отсутствие заданных сил. Определим понятие подобия, для чего рассмотрим два различных стационарных потока. Если каждой точке пространства в случае одного потока можно поставить в соответствие точку пространства в случае другого потока с помощью преобразования

где постоянная одинакова для всех точек сравниваемых пространственных областей, и при этом окажется, что любая величина характеризующая первый поток и взятая в любой точке связана с соответствующей величиной характеризующей второй поток и взятой в точке соотношением

с постоянной то такие стационарные течения называются подобными, а постоянные называются коэффициентами подобия.

Чтобы выяснить интересующий нас критерий подобия, представим уравнение Навье—Стокса (64.7) в безразмерной форме. Для этого зададим постоянные величины, характеризующие течение несжимаемой вязкой жидкости, а именно: удельную вязкость

размер неоднородности и скорость потока (например, в случае обтекания шара I и будут соответственно равны радиусу шара и скорости потока на бесконечности). Тогда, вводя безразмерные функции и операторы

из (64.7) для стационарных течений при найдем

— число Рейнольдса (это единственная безразмерная комбинация размерных величин характеризующих течение). Из уравнения (64.15) следует закон подобия Рейнольдса, согласно которому два стационарных потока несжимаемой вязкой жидкости, обтекающие геометрически подобные тела в отсутствие заданных сил, являются подобными, если оба потока характеризуются одним и тем же числом Рейнольдса. Действительно, если числа и граничные условия для обоих течений одинаковы, то решениями уравнения (64.15) в этих двух случаях будут одни и те же функции вида

Отсюда с учетом (64.14) для скоростей и радиусов-векторов двух потоков, удовлетворяющих закону Рейнольдса, получим выражения

которые указывают на подобие течений.

Решение уравнения Навье—Стокса в виде (64.17) позволяет прийти и к другим практически важным заключениям. Например подставляя (64.17) в (64.11), учитывая (64.14) и интегрируя по поверхности тела, найдем, что сила, действующая на тело со стороны обтекающего его потока, должна иметь вид

В заключение отметим, что решения рассмотренных уравнений вязкой жидкости лишь формально могут существовать при любых числах . В действительности же только то решение описывает реальное течение, которое является устойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям. Согласно экспериментальным данным стационарное течение тела является устойчивым при малых числах Рейнольдса, а начиная с некоторого достаточно большого числа Рейнольдса такого обтекания не существует. В первом случае траектории частиц среды имеют достаточно гладкий характер, среда движется как бы слоями, т. е. имеет место слоистое или ламинарное течение. Во втором случае частицы движутся гбеспорядочно, происходят хаотические пульсации скорости, т. е. имеет место турбулентное движение. Поскольку мы, изучая основы механики сплошных сред, не будем рассматривать вопросы устойчивости и теорию турбулентности, все приведенные далее решения описывают лишь ламинарные течения.

Пример 64.1. Течение между параллельными плоскостями, движущимися относительно друг друга.

Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие внешних сил стационарно движется между двумя параллельными плоскостями, одна из которых покоится, а другая движется с постоянной скоростью находясь на заданном расстоянии от неподвижной плоскости. Найти поля давления и скорости.

Поместим начало координат на неподвижной плоскости, ось х направим вдоль скорости а ось у перпендикулярно плоскостям. Тогда ввиду условия задачи все поля могут зависеть только от у, т. е.

а скорость жидкости направлена вдоль х, т. е.

Таким образом, нужно определить две неизвестных функции вида .

удовлетворяется, как видно, тождественно. Левая часть уравнения (64.7) ввиду (1) и (2) равна

а само уравнение преобразуется к виду

найдем поле скорости

Теперь подсчитаем силу действующую со стороны жидкости на единичную площадку неподвижной плоскости. Орт для такой площадки имеет компоненты 0, 1, 0. Следовательно, из (64.11) получим, что

С другой стороны, согласно (64.4) и (3)

Аналогично для единичной площадки на движущейся плоскости найдем

Отметим, что рассмотренное ламинарное течение является вихревым течением, поскольку

Пример 64.2. Течение между параллельными неподвижными плоскостями при наличии перепада давления.

Рассмотрим стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости между параллельными неподвижными плоскостями при наличии постоянного перепада давления.

Выберем систему координат, как показано на рис. 64.1. В этой системе скорость потока будет иметь только одну составляющую . Тогда из уравнения непрерывности вытекает, что Учитывая сказанное, а также двумерность задачи, из уравнения (64.7) получим

Последнее из этих уравнений показывает, что может быть функцией только х. Поэтому первое из уравнений (1) сводится к двум уравнениям

интегрируя которые находим

Полагая, что давление на плоскостях имеет значения получим, что

где — перепад давления. Для определения используем граничные условия (64.8) при , таким образом, найдем поле скорости

Итак, давление падает по линейному закону в сторону течения, а скорость в любом поперечном сечении потока изменяется по

параболическому закону, достигая максимального значения посредине между граничными плоскостями (на рис. 64.1 изображен профиль скоростей в сечении х = 0).

Применяя формулу (64.11), аналогично предыдущему примеру найдем силу, с которой жидкость действует на единичную площадку плоскостей

Наконец, определим объем жидкости, протекающей за единицу времени через сечение, ограниченное плоскостями . Для этого, используя (3), вычислим интеграл

Отсюда видно, что протекающее количество жидкости пропорционально кубу расстояния между плоскими стенками, падению давления на единицу длины, и обратно пропорционально коэффициенту вязкости.

Пример 64.3. Течение Пуазейля.

Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие объемных сил течет по цилиндрической трубе кругового сечения радиуса . Полагая, что течение стационарно, а перепад давления на едини длины трубы задан, найдем поля давления и скорости, а также количество протекающей за единицу времени жидкости.

Выбирая начало координат на оси трубы и направляя ось вдоль этой оси, аналогично предыдущим двум примерам найдем, что (64.6) и (64.7) приводят к уравнениям

Ввиду того, что , а в силу симметрии течения второе из уравнений (1) распадается на два уравнения, которые запишем в цилиндрических координатах (используя соответствующее выражение для оператора Лапласа)

Аналогично формуле (2) примера 64.2 найдем поле давления

где перепад давления на единицу длины. Требуя затем ограниченности скорости во всей области и используя граничное условие (64.8) при получим

Отсюда нетрудно найти касательную силу, приложенную к единице поверхности трубы (см. формулы (10), (11) приложения к гл. XII)

а также секундный расход жидкости (формула Пуазейля)

Из этой формулы следует, что при ламинарном течении количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки и падению давления на единицу длины и обратно пропорционально коэффициенту вязкости.

Пример 64.4. Формула Стокса.

Неподвижную сферу радиуса обтекает стационарный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности. Найти поле скорости и силу, с которой жидкость действует на сферу, если число Рейнольдса весьма мало.

Для стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости, уравнения движения имеют вид (см. (64.6) и (64.7))

Выберем начало координат в центре сферы и направим ось z по вектору Далее обратим внимание, что левая часть уравнения (2) и его последний член справа имеют порядок величины, соответственно равный .

Таким образом, отношение рассматриваемых членов по порядку величины равно числу Рейнольдса.

Поэтому вместо (2) в качестве исходного примем уравнение

с граничными условиями

Применяя операцию к обеим частям (3) и имея в виду, что исключим неизвестное и тем самым найдем

Теперь используем известное соотношение

и учтем (1). Тогда вместо (5) получим уравнение

которое следует решать совместно с (1). Учитывая граничные условия (4) на бесконечности

и азимутальную симметрию течения, будем искать решение системы (6), (1) в виде

где — неизвестные функции.

Сделаем в уравнении (6) подстановку т. е. подстановку

которая после использования (8) сводится к формулам

Далее, совершим подстановку используя формулы, аналогичные (9), и вычислим компоненты с помощью (10)

а также компоненты с помощью (12)

Таким образом, (6) сводится к уравнению т. е. к уравнению

Решая это уравнение с помощью подстановки убедимся в. том, что его единственным решением, обращающимся на бесконечности в нуль, является решение

а имея в виду (11), представим (15) в виде уравнения относительно и

Второе уравнение относительно этих функций получим, записывая (1) в сферических координатах (см. (7) приложения к гл. XII)

и подставляя сюда (8):

Нетрудно убедиться, что решением системы (16), (18) являются функции

если . При этом граничными условиями для функций являются условия (см. (4) и (7))

Используя (20), найдем постоянные интегрирования

и тем самым определим поле скорости (см. (8)):

Чтобы найти поле давления, представим (3) в виде

(здесь использованы (5), (1) и подстановка Имея в виду, что компоненты вектора в известны, из (23) получим уравнения

Силу, действующую на единицу поверхности сферы, получим из (64.11), учитывая, что в сферических координатах орт нормальный к поверхности сферы, имеет компоненты 1, 0, 0. Таким образом, плотность силы будет равна:

Подставляя сюда (25) и компоненты вязкого тензора (см. приложение к гл. XII)

с учетом (22) получим

Суммарная сила действующая на сферу со стороны потока ввиду симметрии потока направлена по Поэтому спроектируем слагаемые силы на направление и проинтегрируем полученное выражение по поверхности сферы:

В результате вычислений найдем, что

(здесь ) и, следовательно,

Формула (28), которая называется формулой Стокса, определяет силу, действующую со стороны потока жидкости на неподвижную сферу при малых числах Рейнольдса (эта сила равна силе сопротивления, действующей на сферу, движущуюся в жидкости с постоянной скоростью). Заметим, что вклад (26) нормальных слагающих сил в составляет третью часть, а две трети, от связаны с касательными напряжениями.

Читайте также:


Ветви политической власти в великобритании кратко

Художественная и культурная значимость гжели кратко

Наполеон 19 век кратко

Где часто происходят землетрясения кратко

История города дивногорска кратко