Туннельный эффект в физике кратко

Обновлено: 04.07.2024

Имеется вероятность, что квантовая частица проникнет за барьер, который непреодолим для классической элементарной частицы.

Представьте шарик, катающийся внутри сферической ямки, вырытой в земле. В любой момент времени энергия шарика распределена между его кинетической энергией и потенциальной энергией силы тяжести в пропорции, зависящей от того, насколько высоко шарик находится относительно дна ямки (согласно первому началу термодинамики). При достижении шариком борта ямки возможны два варианта развития событий. Если его совокупная энергия превышает потенциальную энергию гравитационного поля, определяемую высотой точки нахождения шарика, он выпрыгнет из ямки. Если же совокупная энергия шарика меньше потенциальной энергии силы тяжести на уровне борта лунки, шарик покатится вниз, обратно в ямку, в сторону противоположного борта; в тот момент, когда потенциальная энергия будет равна совокупной энергии шарика, он остановится и покатится назад. Во втором случае шарик никогда не выкатится из ямки, если не придать ему дополнительную кинетическую энергию — например, подтолкнув. Согласно законам механики Ньютона, шарик никогда не покинет ямку без придания ему дополнительного импульса, если у него недостаточно собственной энергии для того, чтобы выкатиться за борт.

А теперь представьте, что борта ямы возвышаются над поверхностью земли (наподобие лунных кратеров). Если шарику удастся перевалить за приподнятый борт такой ямы, он покатится дальше. Важно помнить, что в ньютоновском мире шарика и ямки сам факт, что, перевалив за борт ямки, шарик покатится дальше, не имеет смысла, если у шарика недостаточно кинетической энергии для достижения верхнего края. Если он не достигнет края, он из ямы просто не выберется и, соответственно, ни при каких условиях, ни с какой скоростью и никуда не покатится дальше, на какой бы высоте над поверхностью снаружи ни находился край борта.

Работает он так: в квантовой механике частица описывается через волновую функцию, которая связана с вероятностью местонахождения частицы в данном месте в данный момент времени. Если частица сталкивается с потенциальным барьером, уравнение Шрёдингера позволяет рассчитать вероятность проникновения частицы через него, поскольку волновая функция не просто энергетически поглощается барьером, но очень быстро гасится — по экспоненте. Иными словами, потенциальный барьер в мире квантовой механики размыт. Он, конечно, препятствует движению частицы, но не является твердой, непроницаемой границей, как это имеет место в классической механике Ньютона.

Если барьер достаточно низок или если суммарная энергия частицы близка к пороговой, волновая функция, хотя и убывает стремительно при приближении частицы к краю барьера, оставляет ей шанс преодолеть его. То есть имеется определенная вероятность, что частица будет обнаружена по другую сторону потенциального барьера — в мире механики Ньютона это было бы невозможно. А раз уж частица перевалила через край барьера (пусть он имеет форму лунного кратера), она свободно покатится вниз по его внешнему склону прочь от ямы, из которой выбралась.

Другой важный пример туннельного эффекта — процесс термоядерного синтеза, питающий энергией звезды (см. Эволюция звезд). Один из этапов термоядерного синтеза — столкновение двух ядер дейтерия (по одному протону и одному нейтрону в каждом), в результате чего образуется ядро гелия-3 (два протона и один нейтрон) и испускается один нейтрон. Согласно закону Кулона, между двумя частицами с одинаковым зарядом (в данном случае протонами, входящими в состав ядер дейтерия) действует мощнейшая сила взаимного отталкивания — то есть налицо мощнейший потенциальный барьер. В мире по Ньютону ядра дейтерия попросту не могли бы сблизиться на достаточное расстояние и синтезировать ядро гелия. Однако в недрах звезд температура и давление столь высоки, что энергия ядер приближается к порогу их синтеза (в нашем смысле, ядра находятся почти на краю барьера), в результате чего начинает действовать туннельный эффект, происходит термоядерный синтез — и звезды светят.

Едва только были открыты радикальные уравнения квантовой механики, физики обнаружили один из страннейших феноменов, допускаемых этой теорией.

Физики быстро обнаружили, что способность частиц туннелировать сквозь барьеры позволяет разрешить многие тайны. Эта способность объясняет и различные химические связи, и радиоактивный распад, и термоядерный синтез в недрах Солнца, где ядрам водорода удается преодолеть взаимное отталкивание и слиться – в результате чего возникает солнечный свет.

Но физиков одолело любопытство, сначала умеренное, а потом по-настоящему болезненное. Сколько же времени требуется частице, чтобы туннелировать сквозь барьер?

Проблема заключалась в том, что ответ получался бессмысленным.

Хартман обнаружил, что по принципу действия барьер напоминает короткое замыкание. Когда частица туннелирует, она тратит на перемещение меньше времени, чем если бы барьер отсутствовал. Еще поразительнее оказалось вот что: он рассчитал, что при утолщении барьера практически не увеличивается время, нужное частице, чтобы через него туннелировать. Таким образом, при наличии достаточно толстого барьера частица могла бы перескочить с одной его стороны на другую быстрее, чем свет преодолел бы то же расстояние в вакууме.

Короче говоря, квантовое туннелирование открывает возможность для сверхсветовых перемещений, которые, казалось бы, в физике не допускаются.

“Настоящие поводы для беспокойства появились только после открытия эффекта Хартмана,” – сказал Стейнберг.

Эта дискуссия закручивалась десятилетиями, отчасти потому, что вопрос о времени туннелирования затрагивает один из наиболее загадочных аспектов квантовой механики. «Отчасти он касается общей проблемы, которая позволила бы понять, что такое время, и как время измеряется в квантовой механике, и что это значит,” сказал Илай Поллак, физик-теоретик из Института Вейцмана в Израиле. Со временем физики вывели не менее 10 альтернативных математических выражений, описывающих туннелирование во времени, и каждое из них отражает свой взгляд на процесс туннелирования. Ни один из этих вариантов не позволил решить проблему.

Но сегодня вопрос о том, как соотносится туннелирование и время, вновь обретает актуальность, благодаря серии виртуозных экспериментов, позволивших точно измерить время туннелирования в лаборатории.

Эфраим Стейнберг, физик из университета Торонто. Занимается проблемой времени туннелирования уже не одно десятилетие.

Фото Мэтью Росса

“Часы Лармора – наилучший и наиболее понятный способ измерить время туннелирования, и это был первый эксперимент, в рамках которого это время удалось очень хорошо измерить,” сказал Игорь Литвинюк, физик из университета Гриффита в Австралии, описавший иную попытку такого измерения времени туннелирования и также опубликовавший статью в журнале Nature.

Луис Манзони, физик-теоретик из Конкордия-Колледж, штат Миннесота, также находит убедительными измерения с применением часов Лармора. «Они в самом деле измеряют время туннелирования,” – говорит он.

Последние эксперименты вновь привлекают внимание к нерешенной проблеме. С момента публикации статьи Хартмана минуло шесть десятилетий, и независимо от того, как тщательно физики переопределяли время туннелирования или с какой точностью измеряли его в лаборатории, неизменно обнаруживалось, что при квантовом туннелировании проявляется эффект Хартмана. Представляется, что туннелирование является неисправимо, непоколебимо сверхсветовым процессом.

Литвинюк предлагает задуматься, “как это возможно, чтобы [туннелирующая частица] двигалась быстрее света?” и отмечает, что “это была чистая теория, пока не были выполнены измерения.”

Сколько времени?

Время туннелирования сложно зафиксировать, как и понять, что такое реальность.

В макроскопических масштабах время, затрачиваемое объектом для перехода из точки A в точку B, можно узнать, просто разделив расстояние на скорость объекта. Но в квантовой теории невозможно одновременно точно знать расстояние и скорость.

В квантовой теории у частицы есть целый спектр возможных местоположений и скоростей. Определенные варианты из всех этих возможностей в момент измерения словно кристаллизуются. Как именно это происходит – один из глубочайших вопросов.

Но, все-таки, невозможно отрицать, что любая частица, которая вышла из A и оказалась в B, обязательно проходит через барьер, и в какой-то момент взаимодействует с барьером. Вопрос – в какой именно момент?

Туннелирование и время

Хартман (а до него Лерой Арчибальд Макколл в 1932 году) избрали простейший подход, позволяющий оценить, сколько времени уходит на туннелирование. Хартман рассчитал разницу между временем наиболее вероятного прибытия частицы из точки A в точку B в вакууме по сравнению с аналогичным временем, затрачиваемым, когда частица преодолевает барьер. Для этого он учел, как барьер сдвигает пиковую позицию на колоколообразной кривой передаваемого волнового пакета.

Но с этим подходом есть проблема, и она связана с тем престранным допущением, будто барьер ускоряет частицы. Мы попросту не можем сравнить исходный и конечный пик волнового пакета частицы. Отмеряя на часах разницу между наиболее вероятным временем отправления частицы (когда пик ее колоколообразной кривой находится в точке A) и ее наиболее вероятным временем прибытия (когда пик достигает точки B), мы не узнаем, сколько времени летела конкретная частица, поскольку частица, зафиксированная в B, не обязательно отправилась из A. На момент изначального вероятностного распределения она была везде и нигде, и могла быть, например, в переднем хвосте распределения, который расположен сравнительно близко к барьеру. В таком случае у нее будет шанс быстро достичь B.

Поскольку точные траектории частиц узнать невозможно, исследователи стали искать более вероятностный подход. Рассмотрели тот факт, что, если частица попадает в барьер, то в каждый момент времени существует некоторая вероятность, что частица находится внутри барьера (и вероятность, что она вне барьера). Затем физики суммируют вероятности для каждого мгновения и выводят среднее время туннелирования.

Встраиваемые часы

Хотя физики занимались оценкой времени туннелирования с 1980-х, сверхточные измерения стали быстро развиваться сравнительно недавно – в лаборатории Урсулы Келлер в Швейцарской высшей технической школе, Цюрих. Команда Урсулы Келлер смогла измерить время туннелирования при помощи так называемых атточасов. В атточасах Келлер электрон из атома гелия попадает в барьер, который вращается на месте, подобно стрелке часов. Электроны туннелируют чаще всего, когда барьер находится в определенной ориентации – допустим, по атточасам это полдень. Затем, когда электроны появляются из барьера, их отбрасывает в направлении, зависящем от положения барьера в тот момент. Чтобы оценить время туннелирования, команда Келлер измеряла угловую разницу между полуднем, на который приходилось большинство актов туннелирования, и углом, под которым улетали большинство исходящих электронов. Так удалось измерить разницу в 50 аттосекунд, то есть, миллиардных миллиардных долей секунды.

Затем, в работе, о которой было сообщено в 2019 году, группа Литвинюка смогла улучшить эксперимент Келлер с атточасами, взяв вместо гелия более простые атомы водорода. Они измерили даже более краткие промежутки времени, не более двух аттосекунд — это позволяет предположить, что туннелирование происходит почти мгновенно.

Но некоторые эксперты пришли к выводу, что атточасы – не слишком подходящий прибор для измерения времени туннелирования. Манзони, опубликовавший анализ таких измерений, указал, что этот подход ущербен в том же отношении, что и определение времени туннелирования по Хартману. Задним числом можно сказать, что у электронов, практически мгновенно туннелировавших сквозь барьер, была фора.

Тем временем Стейнберг, Рамос и их торонтские коллеги Дэвид Спирингс и Изабель Расико провели эксперимент, оказавшийся более убедительным.

Исследователи сообщили, что атом рубидия остается внутри барьера в среднем на протяжении 0,61 миллисекунд, что согласуется с теми показаниями часов Лармора, что были теоретически спрогнозированы в 1980-е. Чтобы проделать этот путь в вакууме, атомам потребовалось бы больше времени. Следовательно, эти расчеты показывают: если сделать достаточно толстый барьер, то такое ускорение позволит атомам туннелировать сквозь него быстрее скорости света.

Тайна, а не парадокс

В статье, опубликованной в New Journal of Physics, Поллак и двое его коллег высказываются, что сверхсветовое туннелирование не допускает сверхсветового обмена сигналами по статистическим причинам: пусть даже туннелирование сквозь исключительно толстый барьер происходит очень быстро, крайне низка вероятность, что туннелирование сквозь такой барьер вообще произойдет. Поэтому адресату всегда целесообразнее отправлять сигнал в вакууме.

Туннельный эффект обозначает свойство , что квантовый объект имеет пересечения с потенциальным барьером , даже если ее энергия меньше , чем минимальная энергия , необходимая , чтобы пересечь этот барьер. Это чисто квантовый эффект, который не может быть объяснен классической механикой . Для такой частицы волновая функция, квадрат модуля которой представляет собой плотность вероятности присутствия, не сокращается на уровне барьера, а затухает внутри барьера (практически экспоненциально для довольно широкого барьера). Если на выходе из потенциального барьера частица имеет ненулевую вероятность присутствия, это означает, что она может пересечь этот барьер. Эта вероятность зависит от состояний, доступных по обе стороны от барьера, а также от пространственной протяженности барьера.

"> Читать СМИ

Резюме

Анализ

На теоретическом уровне туннельное поведение принципиально не отличается от классического поведения квантовой частицы, обращенной к потенциальному барьеру; он удовлетворяет уравнению Шредингера, дифференциальному уравнению, включающему непрерывность волновой функции и ее первой производной во всем пространстве. Подобно тому, как уравнение электромагнитных волн приводит к явлению затухающих волн , волновая функция сталкивается со случаями, когда амплитуда вероятности присутствия отлична от нуля в местах, где потенциальная энергия больше, чем полная энергия.

Если на математическом уровне оценка туннельного эффекта иногда может быть простой, интерпретация, которую пытаются дать решениям, выявляет разрыв, который разделяет классическую механику, область материальной точки, следующей траектории, определенной в пространстве-времени. , квантовая механика, в которой понятие простой траектории исчезает в пользу целого набора возможных траекторий.

Время, необходимое для частицы в туннель через квантовый барьер было, и до сих пор, предмет жарких споров. Целый ряд исследований в области электромагнитного или фотонного поля выявили появление того, что можно интерпретировать как сверхсветовые скорости , однако с учетом специальной теории относительности: это явление, известное как эффект Хартмана .

Демонстрация

В 1978 году термодинамик Хьюберт Жюйе создал битермальные термоэлектрические переходы с расстоянием между точкой и образцом в несколько нанометров, что позволило пропускать электрический ток за счет туннельного эффекта даже при очень низких напряжениях: Приложения

Туннельный эффект проявляется в:

молекулы: NH ₃ , например,
моделирование распадов ( деление , альфа-радиоактивность ),
несколько диодов ,
Память MRAM ,
микроскопов туннелирования ,
эффект Джозефсона .

Иллюстрация явления

Плоская волна, соответствующая частице с эффективной массой 0,067 массы электрона с энергией 0,08 эВ , падает на барьер с простым прямоугольным потенциалом 0,1 эВ. Диаграмма показывает плотность вероятности присутствия, связанную с этим стационарным состоянием . Левая сторона показывает явление интерференции между падающей волной и отраженной волной. Туннельная часть (в барьере) получается из комбинации двух экспонент, убывающих соответственно слева направо и справа налево. Справа прошедшая плоская волна обнаруживается постоянной плотностью вероятности присутствия.

Волновая функция электрона, представляющая плотность вероятности его положения. Наибольшая вероятность - это отражение электрона. Существует малая вероятность того, что электрон пересечет потенциальный барьер.

Примеры

Математический анализ

Введение в понятие трансмиссионной способности

Квантовый барьер разделяет пространство на три части, левая и правая части которых имеют постоянные потенциалы вплоть до бесконечности ( левая, правая). Промежуточная часть представляет собой барьер, который может быть сложным, с мягким профилем, или, наоборот, состоять из прямоугольных барьеров или других, возможно расположенных последовательно. V грамм > V D >

Нас часто интересует поиск стационарных состояний для таких геометрий, состояний, энергия которых может быть больше высоты потенциала или, наоборот, меньше. Первый случай соответствует ситуации, которую иногда называют классической , хотя ответ показывает типично квантовое поведение; второй соответствует случаю, когда энергия состояния меньше высоты потенциала. Тогда частица, которой соответствует состояние, пересекает барьер посредством туннельного эффекта или, другими словами, если рассматривать энергетическую диаграмму, посредством эффекта чехарды.

Если смотреть на падающую частицу слева, установившееся состояние принимает следующую простую форму:

где r и t - соответственно амплитудные коэффициенты отражения и пропускания падающей плоской волны . - волновая функция внутри преграды, расчет которой может быть довольно сложным; она связана с выражениями волновой функции в правом и левом полупространствах соотношениями непрерывности волновой функции и ее первой производной. φ ( Икс ) знак равно exp ⁡ ( я k грамм Икс ) х)> φ я нет т ( Икс ) (х)>

Довольно часто нас интересует вероятность передачи (например, возникновения туннельного тока), и поэтому мы отдаем предпочтение изучению коэффициента передачи t , точнее значения амплитуды и фазы коэффициента , характеризующего отношения между падающая плоская волна на входе a и выходная плоская волна на входе в точку b . Вероятность передачи называется пропускающей способностью . т в б знак равно т exp ⁡ ( я k D б ) exp ⁡ ( я k грамм в ) = b)> a)>>> Т знак равно | т в б | 2 | ^ >

Именно эти коэффициенты пропускания представлены в некоторых частных случаях ниже, ограниченные (фактически, только для определенных формул) случаем туннеля.

Примеры туннельной проницаемости

Простой прямоугольный барьер, комбинации простых барьеров

Большинство особенностей туннельного эффекта проявляются при рассмотрении простейшего потенциального барьера - симметричного прямоугольного барьера, для которого потенциал постоянен (равен U ) между точками а и b , а справа и слева равен нулю. В этом случае падающий (отраженный) и прошедший волновые векторы имеют одинаковый модуль, отмеченный, в то время как внутренняя часть волновой функции имеет форму с . k знак равно 2 м E / ℏ > / \ hbar> В е K Икс + B е - K Икс + Be ^ > K знак равно 2 м ( U - E ) / ℏ > / \ hbar>

Для расчетов ставим себя на отметку где . Условие непрерывности по 0 волновой функции и ее производной записывается: в знак равно 0

Условие преемственности в : б

Из этих уравнений мы оцениваем комплексы r , t и коэффициент пропускания:

т знак равно 2 я k K е я k d 1 ( k 2 - K 2 ) грех ⁡ ( K d ) + 2 я k K шиш ⁡ ( K d ) , Т знак равно | т | 2 знак равно 4 K 2 k 2 ( K 2 + k 2 ) 2 грех 2 ⁡ ( K d ) + 4 K 2 k 2 >> <(k ^ -K ^ ) \ sinh (Kd) + 2ikK \ cosh (Kd )>> \ quad, \ quad T = | t | ^ = <\ frac <4K ^ k ^ > <(K ^ + k ^ ) ^ \ sinh ^ (Кд) + 4K ^ k ^ >>> ,

с толщиной преграды. d знак равно б - в

В случае толстого ( большого) барьера мы получаем простую формулу, которую следует запомнить: K d d>

В этом случае мы можем рассмотреть transmitivity как продукт , полученный с помощью BKW подхода (см ниже экспонентов) с помощью предэкспоненты , который является только продуктом квадратных модулей заданных коэффициентов передачи на входных интерфейсы. И выхода.

Этот метод проиллюстрирован на примере структуры, встречающейся в электронике или оптике, - резонансного туннельного барьера , состоящего из входного барьера внутренней части с низким потенциалом (потенциальная яма шириной L ) и выходного барьера (см. Диаграмму). . Показано, что в случае постоянного потенциала в яме (определяющего действительный волновой вектор ) коэффициент пропускания барьера можно записать: k 3 знак равно 2 м ( U б - E ) / ℏ = -E)>> / \ hbar>

в числителе указаны коэффициенты пропускания входных и выходных барьеров, а в знаменателе, помимо коэффициентов отражения по амплитуде входных и выходных барьеров, наблюдаемых изнутри центральной ямы, экспоненциальный член, вариации которого (в зависимости от энергии и / или толщина) являются возможными источниками резонансов (формула подходит для любых форм входных и выходных барьеров).

Трапециевидный барьер

Трапециевидный барьер получается путем приложения разности потенциалов между двумя концами простого прямоугольного барьера. Это дает следующую диаграмму, которая предлагает преимущество допущения точных аналитических решений; действительно, для этого барьера выражение волновой функции внутри является линейной комбинацией функций Эйри, Ai и Bi, которые могут быть связаны с решениями плоских волн в левой и правой частях.

Особый случай появляется в контексте этого описания. Если разность потенциалов достаточно велика для того, чтобы барьер показал наличие обычной точки возврата (переход от туннельной части к обычной части в точке ), то получается эффект полевой эмиссии, обычно используемый в электронной микроскопии . Частица, расположенная в зоне проводимости слева, пересекает туннельный эффект и ускоряется наружу, справа. Икс 2 >

В конце концов, в зависимости от значений энергии и формы барьера, могут появиться резонансы пропускания из-за скачка потенциала на правой ступеньке. Этот резонанс имеет некоторые общие черты с эффектом Рамзауэра . Диаграмма напротив соответствует накоплению моментальных снимков плотности присутствия, связанных с падающим волновым пакетом снизу слева. Эффект резонанса здесь проявляется в появлении трех максимумов в классической части барьера. В конце пересечения отраженная и прошедшая части отодвигаются к верхней части рисунка, влево и вправо соответственно.

Приближение BKW

В случае, когда потенциальный барьер представляет собой мягкий профиль, можно показать из уравнения Шредингера или из тонкой дискретизации потенциала в серии небольших последовательных прямоугольных барьеров, что волна функции в точке с координатой x в барьере можно записать:

Это приближение, изученное Бриллюэном, Крамерсом и Вентцелем, очевидно, неприменимо для классических точек возврата (см. Диаграмму), где потенциал V (x) равен энергии E состояния ( k (x) равен затем ноль), необходимо соблюдать осторожность при подключении по обе стороны от этих точек. Икс 1 , Икс 2 \ ;, \; х_ >

В рамках исследования пропускающей способности это выражение особенно полезно в туннельном случае, когда k (x) становится чисто мнимым, две экспоненты, появляющиеся в приведенном выше выражении, соответствуют членам, убывающим слева направо (факторный член константа A) и убывающая справа налево (факторный член B). В случае падающей волны слева и для достаточно широких барьеров источник регрессивной части (выражение B) минимален. Коэффициент пропускания из-за этой части туннеля затем получается с учетом уменьшения амплитуды волны между обычными точками возврата на входе и выходе, а именно:

Именно это выражение необходимо затем вычислить, например, методом инвертированного потенциала. Это приближение должно быть скорректировано префакторами, характерными для потенциалов с сильным наклоном (скачком потенциала), которые встречаются на границе раздела двух материалов, и которые являются текущими валютами в текущих электронных компонентах (квантовых ямах).

Полуклассический подход и использование возвращаемого потенциала

До разработки быстрых и мощных средств расчетов, которые позволяют точно оценивать коэффициенты пропускания, были разработаны приближенные методы, которые позволили эффективно обнаружить характеристики некоторых туннельных коэффициентов пропускания определенных барьеров теоретического и практического характера. важность: барьер кулоновского типа (модель альфа-радиоактивности ) или треугольный барьер, связанный с эффектом поля.

Речь идет об оценке аргумента экспоненты, входящей в приближение BKW. Легко вычислить интегралы для гиперболических или линейных потенциалов, но интересно отметить возможный подход с помощью метода возвращенного потенциала, для которого оценка получается через оценку , в которой действие вычисляется на l классической орбите, которая частица той же энергии будет следовать в возвращаемом потенциале, полученном за счет использования симметрии Коринны . exp ⁡ [ я ∫ Икс п ( ты ) d ты / ℏ ] п (и) дю / \ бар]> exp - [ S ( E ) / 2 ℏ ] S ( E )

Тогда интерес основывается на том факте, что для достаточно толстых барьеров, соответствующих широким ямам, действие в полуклассическом приближении подлежит количественной оценке . S ( E ) знак равно нет час

Пропускная способность такого барьера записывается следующим образом:

Т ( E ) знак равно exp ⁡ [ - 2 π нет ( E ) ] ,

где квантовое число n ( E ) является обратной функцией энергии E, постулируемой как дискретный уровень энергии потенциальной ямы, соответствующей возвращаемому барьеру.

Приложение к альфа-радиоактивности

Потенциальный барьер, который альфа-частица с энергией E должна пересечь после своего случайного появления в ядре с атомным номером Z , трансформируется в кулоновскую яму, уровни энергии которой соответствуют уровням гидрогеноида . Это позволяет вычислить число n ( E ) непосредственно по хорошо известным формулам:

где появляются приведенная масса и заряды альфа-частицы и дочернего ядра (атомный номер Z -1).

Передача числа n ( E ) в выражении коэффициента пропускания затем показывает наблюдаемое поведение периода полураспада (пропорционального обратной величине пропускания) альфа-излучателей в зависимости от энергии частицы, встречающей барьер. E >>

Приложение к эффекту Фаулера-Нордхейма

Под действием электрического поля F электроны могут высвобождаться из металла (заряд q , масса m , энергия E относительно дна зоны проводимости), в частности, из выхода рабочего щелочного металла . Затем на электрон действует треугольный потенциал, который в первом приближении можно рассматривать методом BKW: коэффициент пропускания, который выводится из него (с учетом классических точек возврата и ), равен Φ Икс 1 знак равно 0 = 0> Икс 2 знак равно ( Φ - E ) / q F ) = (\ Phi -E) / qF)>

Получение туннельного тока, конечно, должно учитывать распределение по энергии и направлению всех электронов полоски для температуры проводника.

Здесь также коэффициент пропускания можно было получить, используя возвращенный потенциал. В таком случае это полуъямка Торричелли , уровни энергии которой можно вычислить и получить число n ( E ).

Квантовый туннель и жизнь

Гипотеза, принимаемая во внимание в астрохимии и при изучении происхождения жизни, заключается в том, что в межзвездных облаках туннельный эффект, обнаруженный квантовой физикой, может объяснить некоторые астрохимические синтезы молекул, включая синтез молекулярного водорода , воды ( льда ) и других важных факторов. пребиотический формальдегид .

Квантовая биология также изучает, например, как с ферментативными реакциями и фотосинтезом , живые может, используя некоторые квантовые механизмы, температура и нормальное давление, оптимизировать и ускорить некоторые важные процессы жизни.

$<\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geqslant <\frac <\hbar > >>$

Туннельный эффект, туннелирование — преодоление квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в полное внутреннее отражение . Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и атомного ядра , твёрдого тела и т. д.

Содержание

Краткое квантовомеханическое описание

$<\displaystyle ~<E_<\rm <kin> Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых ее потенциальная энергия меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы >>=>>=->>>$
не может (в классич. физике) быть отрицательной, т.к. в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что , просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса лишь соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Это видно из уравнения Шредингера с постоянным потенциалом (для простоты возьмем одномерный случай):

$<\displaystyle ~<\frac >^><\psi >>>>^>>+<<\hbar >^>><\left(<E>->>\right)><\psi >=0>$

(" width="" height="" />
координата; " width="" height="" />
полная энергия, >~->" width="" height="" />
потенциальная энергия, >" width="" height="" />
редуцированная постоянная Планка, " width="" height="" />
масса частицы), решением которого является функция

$<\displaystyle ~<\psi > =A\exp <\left(ix<\frac <\sqrt <2m<\left(<E>->>\right)>>><\hbar >>\right)>+B\exp <\left(-ix<\frac <\sqrt <2m<\left(<E>->>\right)>>><\hbar >>\right)>>$

$<\displaystyle ~U_<0> Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой >$
, а потенциал частицы до и после прохождения равен нулю.

Для областей " width="" height="" />
(до прохождения), " width="" height="" />
(во время прохождения внутри потенциального барьера) и " width="" height="" />
(после прохождения барьера) (начало барьера совпадает с началом координат; его "ширина" равна " width="" height="" />
) получаем соответственно функции

$<\displaystyle ~<<\psi > _>=>\exp <\left(ikx\right)>+>\exp <\left(-ikx\right)>>$

$<\displaystyle ~<<\psi > _>=>\exp <\left(-<\chi >x\right)>+>\exp <\left(<\chi >x\right)>>$

$<\displaystyle ~<<\psi > _>=>\exp <\left(ik(x-a)\right)>+>\exp <\left(-ik(x-a)\right)>>$

Так как слагаемое >\exp >" width="" height="" />
характеризует отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить >=0>" width="" height="" />
. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

$<\displaystyle ~D=<\frac <<\mathcal <j> >><\mathcal <j>>><<\mathcal <j>>><\mathcal <j>>>>>$

Для определения потока частиц воспользуемся формулой

$<\displaystyle ~<j> =e>><\left(<<\psi >^>><<\partial >x>><\psi >-<\psi >><<\partial >x>><<\psi >^>\right)>>$

где знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим

$<\displaystyle ~<D> =>><\mathcal <j>>>^><<<\mathcal <j>>><\mathcal <j>>>^>>>$

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала >" width="" height="" />
и >" width="" height="" />
через >" width="" height="" />
(с учетом, что a~<\gg >~1>" width="" height="" />
:

$<\displaystyle ~<A_ >=>>a\right)>>~,$$<B_>=>>a\right)>>~~0>$

$<\displaystyle ~n=<\frac <\chi > >=>-E>>>>$

$<\displaystyle ~A_<1> а затем >$
через >" width="" height="" />
:

$<\displaystyle ~<A_<1> >=<\left(1+<\frac >\right)>>>a\right)>>>>$

$<\displaystyle ~<D_<0> >=>><<\left(1+<n^>\right)>^>>>$

которая будет порядка единицы. Тогда:

$<\displaystyle ~D~<\cong > ~>>-E\right)>>>><\hbar >>\right)>>>$

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену

$<\displaystyle ~<\frac <2a<\sqrt <2m<\left(<U_<0> >-E\right)>>>><\hbar >>~<\Rrightarrow >~<\hbar >><\int \limits _<x_<1>>^>-E\right)>>>\,>x>>$

$<\displaystyle ~x_<1> где >$
и >" width="" height="" />
находятся из условия

$<\displaystyle ~<U(x_<1> )>=<U(x_<2>)>=E>$

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение

$<\displaystyle ~D~<\cong > ~><\hbar >><\int \limits _<x_<1>>^>-E\right)>>>\,>x>\right)>>>$

Упрощённое объяснение

Схема, поясняющая квантовый туннельный эффект на примере классического движения. По аналогии с гравитацией объект стремится "вниз" (от высокого уровня потенциальной энергии к низкому). Обычно для перехода в состояние с более низкой энергией необходима энергия извне. Однако согласно законам квантовой механики объект может образовать туннель в низкоэнергетичное состояние.

Альтернативная схема, поясняющая туннельный эффект. Строго говоря, данный упрощенный пример слева, грешит неточностями в угоду наглядности, а именно: в рамках классическй механники потенциальная энергия тела на высоте h от поверхности зависит не от его высоты над уровнем моря, а от высоты над самой поверхностью. В связи с этим, предлагаю использовать в качестве абстракции некоторое тело (к примеру кирпич), на высоте h над поверхностью земли ДО возвышения, и это же тело на меньшей высоте h1 над поверхностью земли. Эта абстракция создает меньше ложных убеждений.

Рассмотрим объект (например, машину), перемещающийся по склону холма вверх. Для большей наглядности не будем учитывать никаких сил, которые действуют на объект, кроме гравитации (притяжения Земли). Объект машина находится на высоте 500 м над уровнем моря, макушка горы - на высоте 1000 м, а равнина за горой - ниже уровня моря. Все объекты вселенной стремятся к низкому уровню потенциальной энергии, ученые называют это высоким уровнем энтропии. Согласно этому принципу машина стремится занять настолько низкий энергетический уровень, насколько возможно. Согласно классической механике, для того чтобы оказаться на равнине с более низкой энергией, машина не может обойтись без работы двигателя, т.е. без дополнительной затраты энергии. Однако если существует прямой туннель от машины к равнине , она без дополнительных источников энергии переместится туда.

Примерно такой же эффект можно наблюдать при квантовом туннелировании, при котором некоторая элементарная частица (например фотон или электрон) способна преодолеть потенциальный барьер и достигнуть этим состояния с более низкой (самой низкой из возможных вариантов) потенциальной энергией, без традиционной затраты энергии, которая нужна в подобном случае в макромире. Заметим, что туннелирование - феномен свойственный частицам чрезвычайно малого размера, обычно наблюдается с частицами с размером порядка атомного или меньше, и что при рассмотрении всех сил, действующих на частицу, выражение ее потенциала становится значительно сложнее. Также надо отметить, что частицы не могут совершать обратных перемещений, в которых их энергия увеличивается (без участия некой силы извне). Без внешних влияний - эффект может происходить только в направлении понижения энергии, в соответствии со вторым законом термодинамики.

Макроскопические проявления туннельного эффекта

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

Читайте также: