Теория вероятности 8 класс кратко

Обновлено: 02.07.2024

Теория вероятностей (разг. сокр. “тервер”) — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий. С её помощью можно вычислить вероятность события — оно показывает насколько вероятно, что какое-то событие произойдёт. Это число всегда находится в интервале между 0 и 1, где 0 — означает невозможность, а 1 — оно точно произойдёт (достоверное событие).

Например: в мешке есть 6 шаров: 3 красных, 2 жёлтых и 1 синий. Какова вероятность вытащить красный?

Вероятность считается так: количество красных шаров поделить на общее количество шаров в мешке, т. е. 3/6 = 1/2.

Основные формулы теории вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Применение	Формула
Сложение противоположных событий	P(A) + P(A̅) = 1
Сложение несовместных событий	P(A + B) = P(A) + P(B)
Сложение совместных событий	P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)
Умножение независимых событий	P(AB) = P(A) × P(B)

Основные формулы вычисления

Виды событий

В теории вероятностей события бывают невозможными, случайными и достоверными.

Невозможное событие

Это то, которое уже известно, что в ходе испытания НЕ произойдёт, т. е. вероятность данного события равна нулю. Например: при бросании одной игральной кости (один раз), какова вероятность того, что выпадет 7 очков?

Случайное событие

Это событие может произойти или нет, обычно оно именно случайное. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?

Достоверное событие

Это то, которое в ходе испытания обязательно произойдёт, т. е. вероятность данного события равна 1. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что она не останется в воздухе, а упадёт?

Совместные и несовместные события

Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого (в одном и том же испытании). Например: при бросании одной игральной кости выпадет одновременно и "2" и "3"?

Совместные события могут произойти одновременно. Например: два спортсмена плывут одновременно, два студента сдают экзамен.

Противоположные события

Это два несовместимых события, которые образуют полную группу событий (третьего не существует). Например:

А — при подбрасывании монеты выпадет орёл, A̅ — при подбрасывании монеты выпадет решка;
D — из колоды карт будет извлечена дама, D̅ — из колоды карт будет извлечена не дама.

Алгебра событий

Логическое ИЛИ означает, что нужно произвести операцию сложения (сумма событий). Т. е. считаем возможность или событие А, или событие В, или оба (одновременно).

Логическое И — операция умножения (произведение событий). Т. е. считаем возможность и событие А, и событие В.

Задачи

Пример 1

В классе 27 учеников. Из них:

17 изучали немецкий язык,

Найти вероятность того, что случайно выбранный ученик изучал хотя бы один язык.

Что мы знаем:

Значит вместе это будет:

𝑃(N + A) = 𝑃(N) + 𝑃(A) − 𝑃(N ∙ A) = 17/27 + 6/27 − 2/27 = 21/27 = 7/9.

Пример 2

Лотерейные билеты пронумерованы от 1 до 100. Какова вероятность того, что в выбранном билете будет стоять число больше 40 или чётное число?

Что мы знаем:

P(>40) = 60/100 = 6/10 = 3/5

Логическое ИЛИ означает, что нам нужно произвести операцию сложения (т. е. сумма событий).

Нам понадобится формула сложения совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Для этого нам нужно узнать сколько будет P(>40 . Ch), для этого используем формулу P(AB) = P(A) . P(B).

P(>40 . Ch) = P(>40) . P(Ch) = ⅗ . ½ = 3/10

Теперь можем подставить всё в формулу P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB):

Пример 3

В финале международного турнира по стрельбе из лука участвовали 8 спортсменов: 3 американца, 1 англичанин, 1 немец, 1 француз и 2 русских. Какова вероятность того, что хотя бы один русский попадёт в тройку лучших, учитывая, что все спортсмены имеют равные условия для получения медали (золотой, серебряной и бронзовой).

Что мы знаем:

Когда в вопросе появляется "хотя бы один", можно "пойти от противного" — мы должны найти вероятность того, что этого не произойдёт (на пьедестале русских не будет), а затем вычесть это из 1.

P (никакой русский не выиграет золото) = 6/8 = 3/4

P (никакой русский не выиграет серебро) = 5/7 (убираем золотую медаль)

P (никакой русский не выиграет бронзу) = 4/6 = 2/3 (убираем золотую и серебряную медали)

P (на пьедестале не будет русских) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 30/84 = 5/14

P (хотя бы один русский на пьедестале) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14.

Кто придумал теорию вероятностей

Основателями теории вероятностей являются два французских математика Блез Паскаль и Пьер Ферма. В 1654 г. французский писатель Антуан Гомбо (известный как Шевалье де Мере), интересовавшийся игрой и азартными играми, вызвал заинтересованность Паскаля насчёт популярной в то время игры в кости.

Кости бросались 24 раза, а вопрос стоял в том, стоит ли ставить деньги на выпадение хотя бы одной "двойной шестёрки". В то время считалось, что это было выгодно, но последующие расчёты показали прямо противоположное.

Определение: Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно- статистические закономерности.

Например, с помощью данной теории можно посчитать вероятность того, что конкретного ученика в классе вызовут к доске на уроке. Рассмотрим основные понятия теории вероятности.

Определение: Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: “По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом “случайный”. Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах”. Например, случайным событием является солнечная погода.

В обычном понимании вероятностью называют количественную оценку возможности наступления ожидаемого события.

Определение: События, которые в данных условиях произойти не могут, называются невозможными.

Например, то, что последний день зимы придется на 30 февраля.

Определение: События, которые в данных условиях произойти обязательно, называются достоверными.

Например, окончание урока.

Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т.е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т.д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни гак четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычные люди используют слова “более вероятно” или “менее вероятно”, как говорится, по наитию, опираясь на то, что называется здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словам, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;
2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти кол-во N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
4) найти частное N(A)/N оно и будет равно вероятности события А.

Поясним данное определение на примере. Рассмотри случайный эксперимент по бросанию игральной кости. Известно, что на игральной кости имеется 6 равных пронумерованных граней. Исходом каждого бросания кости будет выпадение одного из чисел от 1 до 6. В этом эксперименте мы имеем число всевозможных исходов n, равное 6. Назначим ожидаемым исходом выпадение числа 5. Поскольку число 5 на игральной кости только одно, число благоприятных исходов m будет равно 1. Используя формулу классической вероятности, нетрудно вычислить, что вероятность выпадения числа 5 равна 1/6.

Стоит отметить, что классическое определение вероятности применяется только к случайному событию с равновероятным исходом. Например, если бы у игральной кости были неравные грани, вероятность выпадения одних чисел была бы выше вероятности выпадения других. Определение классической вероятности в этом случае было бы неприменимо.

Вероятность – это положительное число от нуля до единицы.

Вероятность невозможного события равна 0, так как количество благоприятных исходов m равна 0.

Вероятность достоверного события равна 1, так как количество благоприятных исходов m совпадает с количеством возможных исходов n.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Оглавление страницы:

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Вычислить среднее арифметическое данных чисел: 6, 10, 16, 20.

Среднее арифметрическое: ( 6 + 10 + 16 + 20 ) 4 = 52 4 = 13

Медиана ряда чисел – это число, стоящее посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду нечётное .

Найти медиану ряда чисел: 12, 2, 11, 3, 7, 10, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему): 2, 3, 3, 7 , 10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число 7 .

Медиана ряда чисел – это полусумма двух стоящих посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду чётное .

Найти медиану ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему): 2, 3, 7 , 10 , 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: 7 и 10 .

Их полусумма равна: 7 + 10 2 = 17 2 = 8,5

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Найти размах ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Наибольшее значение ряда: 16 . Наименьшее значение ряда: 1 .

Размах: 16 − 1 = 15

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Найти моду ряда: 1, 5, 6, 3 , 10, 32, 4, 3

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: 3 .

Данный ряд имеет моду: 3 .

Найти моду ряда: 5, 2, 3, 4, 1, 0, 8

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

Найти моду ряда: 9 , 1 , 4 , 10 , 17 , 1 , 33 , 6 , 9 , 8 , 5 , 5

Числа 1 , 5 , 9 встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: 1 , 5 , 9 .

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20 − 8 = 12 раз.

Частота: 12 20 = 6 10 = 0,6

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: 3 8 = 0,375

Каждое случайное событие делится на несколько элементарных исходов. Они делятся на благоприятные исходы и неблагоприятные исходы .

Все возможные исходы = благоприятные исходы + неблагоприятные исходы .

Вероятность случайного события P ( A ) – это отношение благоприятных исходов m к общему числу исходов n . P ( A ) = m n

Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1 . 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: m = 0 , так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: n = 3 + 9 = 12 , так как всего в шляпе 12 объектов, которые можно достать.

Событие A ¯ называется противоположным событию A , если событие A ¯ происходит тогда, когда событие A не происходит (то есть вместо события A происходит событие A ¯ ).

Примеры противоположных событий:

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P ( A ¯ ) = 1 − P ( A )

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,28. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

P ( A ) = 0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,28 = 0,72

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

P ( A ) = 8 100 = 0,08

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,08 = 0,92

Два события называются несовместными , если они не могут произойти одновременно, то есть если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными .

Примеры несовместных событий:

Выпадение 1 , выпадение 5 , выпадение 6 при бросании кости

За один бросок может выпасть либо 1 , либо 5 , либо 6 . Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

Решение:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

P ( A + B ) = 0,47 + 0,22 = 0,69

Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна 0,001 , вероятность выиграть денежный приз 0,013 , вероятность выиграть сувенир 0,04 . Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C )

P ( A + B + C ) = 0,001 + 0,013 + 0,04 = 0,054

Два события называются независимыми , если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случает события называются зависимыми .

Примеры независимых событий:

Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна 1 6 , при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна 1 6 . Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью 1 6 , вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна 0,5 , при втором броске вероятность выпадения орла равна 0,5 , при третьем броске вероятность выпадения орла равна 0,5 . Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью 0,5 , вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Примеры зависимых событий:

В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар – два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна 3 5 (всего шаров 5 , синих 3 ). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна 2 4 = 1 2 (всего шаров 4 , синих 2 ). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P ( A ) = 1 2 (всего шаров два, красных – один).

P ( B ) = 4 5 (всего шаров пять, красных четыре).

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ B ) = 1 2 ⋅ 4 5 = 0,4

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9 . Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

P ( B ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,9 = 0,1

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,081

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 1 2 = 0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 1 4 = 0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 1 8 = 0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 1 16 = 0,0625

Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

Cимметричную монету бросают четыре раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы два раза.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы – те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

P = 11 16 = 0,6875

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна 1 6 .

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет равна 7 ?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятных вариантов – когда сумма очков будет равна семи – всего 6 .

Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет меньше десяти?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятные варианты – когда сумма очков будет равна 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , или 9 . Таких ячеек в таблице 30 .

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

$P(A) = \frac<k> Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле$
. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

$P(A) = \frac<k> Ответ получаем по формуле$
.

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

$P(A)=\frac<k> =\frac=0,4$

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

$A^<k> _=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot(n-k+1)= \frac$

В нашем случае .

$\frac <6 \cdot 5 \cdot 4> И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: = 20$
. В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

$C^<k> _=\frac=\frac.$

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

$P=\frac <9> =0,3$
.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

$P=\frac<980> =0,98$

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

$P=0,29 \cdot 0,29 \cdot 0,29 = 0,024389$