Теория силлогизма аристотеля кратко

Обновлено: 05.07.2024

Деятельность Аристотеля принадлежит не только истории философии, но и истории науки. В кругу наук, разработкой и даже созданием которых занимался Аристотель, первое место принадлежит логике. Аристотель — автор оригинальной, чрезвычайно тщательно разработанной логической системы, оказавшей через посредство переработки и истолкования ее послеаристотелевскими античными логиками, а также логиками феодального периода огромное влияние на развитие логической науки.

Поскольку логика — специальная наука об умозаключении и доказательстве, в настоящей работе, предмет которой — очерк истории античной философии, — не может быть предложено сколько-нибудь подробное рассмотрение специальных логических учений Аристотеля. К тому же рассмотрение это должно было бы оказаться непропорционально пространным. В силу ряда исторически сложившихся причин даже специалистам-логикам нелегко восстановить точный, отражающий историческую действительность смысл логических учений Аристотеля. То, что в XIX в. (а также отчасти в XX в.) считалось логикой самого Аристотеля, было результатом недостаточно точного отличения этой логики от так называемой традиционной формальной логики. С другой стороны, характерный для XIX в. упадок логической теории, смешение теоретических учений логики с метафизическими спекуляциями идеалистической — чаще всего эклектической или позитивистской — философии крайне затрудняли верную историческую и теоретическую оценку великого логического деяния Аристотеля. Такая оценка может быть исторически обоснованной и точной только при условии ясного и точного понимания существа формальной логики. А это понимание возможно только на основе серьезного знакомства с теориями и учениями новейшей символической (математической) логики. Именно математическая логика дала возможность ответить на вопрос, что такое формальная логика, а следовательно, указала критерий для оценки выдающихся явлений в истории этой науки.

Отправные идеи

Так как логика Аристотеля есть главным образом логика терминов, то определения природы понятия и отношений между понятиями были предметом его внимания. Особенно важным для него было выяснение свойств общего. В учении об общем, как и в других частях философии Аристотеля, логическое поставлено в зависимость от онтологического. Общее определяется как то, что относится ко многим предметам в силу их природы. То, что во многом относится к существенному, дает понятие о роде. То, что стоит в связи с родом и может быть выведено из рода, есть свойство. Если свойство по природе отличает целую группу предметов рода от другой (других) группы, то такое свойство дает понятие о виде. Если к свойствам рода и вида присоединяется свойство единичного предмета, выделяющее его и отличающее его от всякого другого, то такое свойство дает понятие о том, что собственно принадлежит предмету, о его собственном признаке.

Никакое понятие не может быть, согласно Аристотелю, полностью адекватно своему предмету. Во всяком отдельном предмете, кроме характеризующего его свойства, есть некий неопределенный субстрат, в котором коренится и на котором выступает свойство, отличающее этот предмет от других. Субстрат этот сам по себе уже неопределим, не может быть выражен в понятии. Именно поэтому единичный предмет не может быть исчерпан посредством понятия и адекватно отображен в нем.

Одними и теми же свойствами могут обладать несколько субстратов. Поэтому, каким бы конкретным ни было понятие, под него возможно подвести, по крайней мере в мысли, несколько предметов.

Свойства, которыми отличаются друг от друга чувственно воспринимаемые предметы, Аристотель называет случайными свойствами. От них он отличает особенные свойства, особенности. Хотя они принадлежат всем предметам, но они не входят в понятие вида, не характеризуют предметы как составляющие вид.

Понятие, отдельно взятое, не образует предложения. Но и простое соединение понятий также еще не есть речь. Для того чтобы возникла речь, необходимо возникновение высказывания. Это происходит, когда соединение понятий содержит утверждение одного о другом или, напротив, отрицание. Там, где это произошло, имеется налицо предложение (суждение).

Аристотель классифицирует предложения, разделяя их на четыре группы. Одну из них составляют утвердительные и отрицательные предложения; в первых понятия соединяются, во вторых отделяются друг от друга. Вторую группу составляют истинные и ложные предложения. Для логики Аристотеля, в частности и в особенности для его теории силлогизмов и доказательств, различение истинных и ложных предложений фундаментально. В обосновании этого различения сказывается первенство онтологического аспекта: истинными предложениями Аристотель называет те, в которых утверждается соединение понятий таково, каково соединение их предметов в действительности, или разделение понятий таково, каково разделение их предметов в действительности. Ложными он называет те предложения, в которых либо соединяется то, что разделено в действительности, либо разъединяется то, что в действительности соединено.

Соединение обоих оснований классификации предложений дает четвероякое их разделение на: 1) утвердительные истинные; 2) отрицательные истинные; 3) утвердительные ложные; 4) отрицательные ложные.

Четвертое основание для классификации предложений — способность их быть высказываниями о возможности, действительности и необходимости. При различении этих трех видов предложений имеется в виду не отношение мыслимого к нашей мысли, а способность предложения отображать реальное состояние, т. е. нечто, относящееся к самой сущности предметов. В этом смысле, например, возможным считается не то, что признается таковым, а то, что возможно само по себе.

Аристотель выделяет три вида возможного. Перечислим эти виды, по Стагириту. Это, во-первых, возможное в обычном смысле, т. е. то, что, будучи одним, может перейти в другое. Все, что может стать иным, может быть определено, как это иное в возможности. Во-вторых, существует возможное, которое на деле всегда существует только в качестве действительного. Так как оно действительно, то тем самым оно и возможно, но оно никогда не встречается как возможное, а лишь как действительное. Таковы, например, небесные светила. Они вечны, не возникли ни из какого предшествующего им состояния, не могут перейти ни в какое иное состояние. Действительность — единственный присущий им вид существования. В-третьих, существует возможное, которое вечно остается только возможным и никогда не переходит в действительность. Такова, например, величина, большая всякой другой величины; нельзя не признать ее возможной, но она не может стать действительной: как бы велика она ни была, но как только ее обозначают известным числом, оказывается, что посредством прибавления к нему может быть получено еще большее число.

Силлогизм как импликация

Главная и наиболее оригинальная часть логики Аристотеля — его теория силлогизма и теория доказательства. В учении о силлогизме он сам сознавал себя пионером и признавался, что на создание этой теории он затратил большой труд.

Если А присуще всякому В

и В присуще всякому С,

то А присуще всякому С.

Аристотель указывает способы, сведения всех модусов второй и третьей фигур силлогизма к модусам первой. В системе логики Аристотеля сведение есть не что иное, как доказательство модусов второй и третьей фигур в качестве теорем при помощи модусов первой фигуры. Для логической теории Аристотеля сведение — необходимая составная часть этой теории.

Аристотель развил систематическое исследование силлогистических форм. В нем он, во-первых, доказывает истинность некоторых из них и, во-вторых, доказывает ложность остальных. Подробности этого исследования принадлежат не истории философии, а логике, где они и рассматриваются.

Прочие идеи

Научное доказательство, по учению Аристотеля, — или силлогизм или ряд силлогизмов, связь которых опосредствована общим для них элементом. Возможность доказательства, состоящего из ряда силлогизмов, опирается на два условия. Согласно первому предполагают существование положений, которые не могут быть выведены из других посылок. Согласно второму звенья, или элементы, опосредствующие заключение и соединяющие исходные высшие начала знания с конечным заключением, не могут идти в бесконечность. Если бы это последнее условие не выполнялось, то не были бы возможны ни доказательство, ни основывающаяся на доказательствах наука.

Аристотель тщательно обосновывает тезис о недоказуемости последних, высших посылок знания. Но если это так, то возникает вопрос: существует ли способ убедиться в том, что эти посылки истинны?

Исследуя этот вопрос, Аристотель различает два класса невыводимых, недоказуемых истин: 1) наиболее общие положения, или начала; 2) начала, наиболее частные. Последние непосредственно относятся к единичному бытию. Так как положения от единичном даются восприятием, то восприятие, таким образом, рассматривается у Аристотеля как источник истины. Если бы в основе восприятия не коренились действительные факты, то само появление восприятия было бы непостижимо.

Некоторые предшественники Аристотеля оспаривали достоверность чувственного восприятия, и их возражения были известны Аристотелю. В числе возражений были ссылки на возможность иллюзий, обмана чувственных восприятий. Однако, по разъяснению Аристотеля, в этом случае истинная причина обмана — не самые чувства как таковые. Причина обмана — в нашем суждении о воспринимаемом: суждение ошибочно относит к самому предмету то, что лишь кажется ему принадлежащим,

Аристотель принимает и другие характеристики чувственного восприятия, на основании которых делались возражения против способности восприятия быть источником истинного знания. Так, указывали: 1) что свойства, воспринимаемые посредством чувств, противоположны, как, например, тепло и холод; 2) что эти противоположные свойства воспринимаются только оттого, что воспринимающий сам находится в некотором среднем состоянии, от которого эти противоположные состояния отличаются; поэтому с изменением состояния самого воспринимающего изменяются и его восприятия; 3) что восприятия в силу всего указанного относительны. Аристотель принимает все эти указания. Но он полагает, что ошибки, возникающие вследствие всех условий восприятия, исправляются, а по крайней мере, могут быть исправлены, суммарным опытом людей. Сверх того, восприятием обосновываются некоторые общие положения. Как таковые они подлежат, компетенции уже не восприятия, а ума, но ум располагает способностью исправлять и устранять проникшие в познание ошибки.

По Аристотелю, восприятие обладает для познания важным свойством: оно не требует никакого особого доказательства своей истинности. Больше того. Факт восприятия как таковой убедительнее всякого доказательства, полученного посредством операций ума.

Так решается вопрос о классе наиболее частных недоказуемых положений. Наиболее общие начала, образующие второй класс недоказуемых положений, выступают в доказательствах в качестве необходимых посылок выводов. Некоторые из этих начал имеют силу для всех наук. Таков, например, принцип противоречия. Другие общие положения играют роль основных начал в каждой специальной науке. Здесь Аристотель выступает против учения Платона, который, наоборот, утверждал, будто все отдельные или специальные науки в своих началах находятся в зависимости от положений философии.

Каков же источник наивысших и самых общих положений науки? Будучи высшими посылками всех силлогизмов, они уже не могут быть получены из более общих, чем они, начал. Для получения их возможно предложить только путь опыта.

Для чего же необходим опыт, если он не может дать доказательства высших принципов? Он необходим не для их доказательства, а для того, чтобы ум имел повод осознать эти принципы. Дело в том, что, по Аристотелю, общие и высшие начала, или принципы знания, не врожденны человеческому уму: они находятся в нем лишь как возможность быть приобретенными. Чтобы эта возможность стала действительностью, необходимо собрать факты, поставить их в поле зрения мысли; необходимо побуждение, которое заставило бы вглядеться в них и возбудило бы в уме акт интеллектуального созерцания этих фактов. Безусловная уверенность в том, что известный предикат принадлежит известному субъекту, не может быть оправдана опытом: ее может дать только интеллектуальное созерцание связей, полученных из опыта.

Поэтому научное знание предполагает как опыт, так и умозрение. Это видно, по Аристотелю, из анализа определения. Определение — цель науки; посредством него наука стремится исчерпать все, что относится к сущности познаваемого. Но определение не может быть получено ни только посредством дедукции, ни только посредством индукции.

Одна лишь индукция не может дать определения, так как посредством опыта познаются не только существенные, но и случайные черты, но задача определения — только черты существенные. Если определение возникало бы на основе одного только опыта, не было бы никакой гарантии в том, что оно — подлинное определение.

Но и дедукция, сама по себе взятая, недостаточна для определения. Дедуктивным путем добытое определение должно представить все существенное. Задача эта достижима только через соединение дедукции с опытом. Каждое отдельное свойство приобретается посредством наблюдения. Но усмотрение существенности свойства, добытого наблюдением, достигается посредством силлогизма.

Из взгляда Аристотеля на системную связь понятий вытекает его постановка вопроса о категориях.

Наука, обладающая собственными принципами и развивающая, опираясь на них, все частные истины, охватывает всю область относящихся к ней понятий. Взгляд Аристотеля на систему научного знания, отличается от соответствующего взгляда Платона. Для Платона знание представлялось совершенно единой системой понятий, образующих иерархию возвышения и подчинения. Наверху, превыше сущности, — единая идея блага, от которой берет начало всякая сущность и всякое знание. Все знания устремляются к единому источнику и от него исходят.

Содержание

Введение 3
1. Теория силлогизма 5
2.Учение о доказательстве 7
3. Научная база логики Аристотеля 12
Заключение 14
Список литературы 15

Вложенные файлы: 1 файл

Р Основные идеи учения Аристотеля о силлогизме..docx

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Основные идеи учения Аристотеля о силлогизме

Выполнил(а) Валиулин Дамир Рафаисович

Адрес: 626102, Россия, Тюменская обл., Тобольский р-н, , г. Тобольск, ул. мкр. Сумкино ул. Маяковского, д. 13, кв. 44

1. Теория силлогизма 5

2.Учение о доказательстве 7

3. Научная база логики Аристотеля 12

Список литературы 15

Oбocнoвaниe и paзвитиe cиллoгиcтики cвязaнo c имeнeм дpeвнeгpeчecкoгo мыcлитeля Apиcтoтeля и представляет собой, пожалуй, самую сложную и развитую часть традиционной логики1. Этот её раздел был разработан Аристотелем в практически законченном виде, прежде всего в его двух книгах под названием "Первая Аналитика". Позднее учение о силлогизмах было внимательно изучено средневековыми схоластами, которые изложили его в компактной форме. Греческое слово sillogismos переводится как сосчитывание.

Силлогизм – открытие Аристотеля является главной и наиболее оригинальной частью логики. В теории силлогизмов Аристотель дал определение силлогизму и различил его виды, определил работающие и не работающие виды силлогизмов, установил три фигуры силлогизма.

Однако необходимо выяснить условия и исследовать методы не только вероятного, но и достоверного знания, чему и посвящены теория определения и теория достоверного знания. Всякое доказательство опирается на определенные положения, как на исходные начала. Аристотель выделяет три вида недоказуемых начал.

Истинность мыслей – необходимое условие познающего мышления. Если это условие не соблюдается, то правильных результатов в процессе рассуждения получить нельзя. Значит, мысли, из которых строится рассуждение, должны быть истинными по содержанию. Истинность мысли – необходимое, но не единственное условие достижения истины в процессе рассуждения. Необходима правильная связь мыслей, их правильное построение. Правильная связь мыслей в процессе рассуждения обусловливается законами мышления. Два закона из четырех были выведены Аристотелем. Благодаря их действию, выведение новых знаний из истинных и проверенных суждений приводит к истине.

Теория силлогизма

Большое значение имеет то, что силлогизм-импликация Аристотеля отличается от вывода традиционной логики. Как импликация силлогизм Аристотеля есть предложение и потому должно быть либо истинным, либо ложным. А традиционный силлогизм как вывод может быть правильным или неправильным, но не может быть истинным или ложным, так как он не предложение, а ряд предложений, не спаянных в форму единства.

Цель силлогизма – обосновать отношение А к В. Для этого необходимо найти нечто общее как для А, так и для В. Найти его возможно тремя способами:

утверждение А относительно С, а С относительно В;
утверждение С относительно их обоих;
утверждение А и В относительно С.

Учение о доказательстве

В проблеме доказательства Аристотель различает знание достоверное и вероятное. Началом доказательства не может быть ни правдоподобное, ни неправдоподобное знание и умозаключение должно быть построено из необходимых посылок. “Началом не является правдоподобное или неправдоподобное, но первичное, принадлежащее к тому роду, о котором ведется доказательство”.

В теории доказательства утверждается, что исходные начала доказательства - сущности, природа которых не доступна доказательству, но доказательство все же способно получать из сущностей свойства, вытекающие из их природы. Достигается это посредством деления. Для этого необходимо “брать все, относящееся к существу [вещи], и делением [все] расположить по порядку, постулируя первичное и ничего не оставляя без внимания. И это [приписываемое] необходимо [содержит определение], если все включается в деление и ничего не упускается”.

Ценность, в глазах Аристотеля, этого способа получения свойств из сущностей представится еще большей, если учесть, что сущности, познание которых имеет в виду Аристотель, в большенстве не простые, а сложные4.

Задача доказательства - привести к усмотрению, что некоторое свойство принадлежит предмету или некий предикат принадлежит субъекту.

Возможные виды силлогизмов не исчерпываются его научной формой. “. [Всякое] доказательство есть некоторого рода силлогизм, но не всякий силлогизм - доказательство”. И он выделяет в классе силлогизмов “риторические” и ”диалектические”, вполне корректные по логической связи между посылками и заключениями, но начала их - только вероятные положения, принятые на веру. А в трактате “Топика” Аристотель указывает как виды умозаключений силлогизмы “софистические” и “эвристические”. В этих силлогизмах, которые по сути есть лишь разновидности предшествующих, более обнажен всего лишь вероятный характер положений.

Силлогизм, лишенный того, что делает его доказательным, не способен дать знания о необходимой причинной связи. Для такого знания лучше, если причинная связь интерпретированна в понятиях содержания, например, “смертность принадлежит человеку”. Аристотель часто дает именно такую интерпретацию. Но еще важнее для него интепретация причинной связи как включения. Это или включение частного в общее, или вида в род посредством выделения видового различия.

И в посылках, и в заключении речь идет о свойствах всеобщего, и каждом случае иной оказывается только степень общности. Аристотель неоднократно и настойчиво разъясняет, что не может быть доказательства о единичном как таковом, о чувственно воспринимаемым как таковом, о переходящем как таковом. Доказательство возможно только о всеобщем и хотя бы постоянном. “Если бы общего не было, то не было бы и . никакого доказательства”. А в “Метафизике” читаем : “. ясно, что для чувственных вещей ни определения, ни доказательства быть не может”. Уничтожающиеся вещи “перестают быть известными людям, обладающим знанием, когда выйдут из области чувственного восприятия . ни определения, ни доказательства по отношению к этим вещам существовать уже не будет”.

Во всех доказательствах, выясняющих принадлежность некоторого свойства, некоторой сущности, причина - всеобщая.

Исследование причинного отношения Аристотель считает основной задачей научного знания : “рассмотрение причины, почему есть данная вещь, есть главное в знании”. Для Аристотеля “знать, что есть данная вещь и знать причину того, что она есть, -это одно и тоже”. Именно потому, что силлогизм первой фигуры больше, чем силлогизмы других видов способен обосновывать значение причинных отношений. Аристотель считал первую фигуру наиболее ценным видом умозаключения. “Среди фигур [силлогизма] первая является наиболее подходящей для [приобретения] научного знания, ибо по ней ведут доказательства и математические, как арифметика, геометрия, оптика, и, я сказал бы, все науки, рассматривающие причины, почему [что-нибудь] есть, ибо силлогизм о том, почему [что-нибудь] есть, получается или во всех, или во многих случаях, или больше всего именно по этой фигуре”.

Это понятие о причине делает ясной роль среднего термина в умозаключении и доказательстве. Средний термин есть также понятие, общее двум понятиям, отношение которых рассматривается в силлогизме и доказательстве. Вместе с тем, средний термин выступает в доказательном рассуждении как причина : “Причина того, почему [нечто] есть не это или это, а [некоторая] сущность вообще, или [почему нечто есть] не вообще, но что-то из того, что присуще само по себе или случайно, - [причина всего этого] представляет собой средний термин”.

Особенно ясно выступает свойство среднего термина быть причиной в достоверных доказательных умозаключениях. Во всех таких умозаключениях их достоверность - не только достоверность какой-то причины, а именно истинной причины.

Очень характерно для Аристотеля, что единичные предметы, термины которых выступают в умозаключении доказательства, рассматриваются сами по себе все же как универсальные. “Ни одна посылка не берется так, чтобы она [относилась только] к тому числу, которые ты знаешь, или только к той прямолинейной [фигуре], которую ты знаешь, но [она] относится ко всякому [числу] или прямолинейной [фигуре]. Даже если для непосредственного созерцания фигура единична, то сама по себе она универсальна.

Доказательство у Аристотеля становится методом науки. Однако Аристотель вводит в учение важное ограничение. Связано это с его убеждением в том, что общность может существовать только между подчиненными одно другому понятиями. Каждая отдельная наука имеет свой особый высший род, но переход от одного рода к другому невозможен. “Нельзя, следовательно, вести доказательство так, чтобы из одного рода переходить в другой . нельзя геометрическое положение доказать при помощи арифметики”, “арифметическое доказательство всегда имеет дело с тем родом, относительно которого ведется это доказательство”; “[вообще] нельзя доказать посредством одной науки [положения] другой, за исключением тех [случаев], когда [науки] так относятся друг к другу, что одна подчинена другой, каково, например, отношении оптики к геометрии и гармонии к арифметике”.

Наиболее часто употребляемые приемы логических рассуждений были впервые охарактеризованы еще аристотелевой логикой и получили название аристотелевых силлогизмов. Создатели известной методической концепции укрупнения дидактических единиц в обучении математике П.М.Эрдниев и Б.П.Эрдниев так характеризуют роль аристотелевской силлогистики в школьном математическом образовании: "В настоящее время образцом логической строгости в школе выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение".

Итак, расклассифицировав описанным в предыдущей лекции образом простые высказывания на типы , Аристотель приступает к анализу умозаключений, которые можно осуществить на их основе. Он выделяет важнейший вид дедуктивных Умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов : два первых высказывания — посылки, третье — заключение.

Более точно, умозаключения аристотелевой силлогистики имеют следующее строение. В них рассматриваются три свойства (Аристотель называет их терминами): . Первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связывающее ; вторая посылка (называемая малая) связывает , причем в следствии всегда — в качестве предиката. Фактически аристотелевский силлогизм есть установление соотношения между двумя свойствами посредством "связующего" свойства

Здесь и запись и т. п.) обозначает в зависимости от значения , включающих соответствующие предикаты . Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): . Поскольку фигур 4, то получаем силлогизмов. (Выпишите самостоятельно все силлогизмы каждой из четырех фигур.)

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

Для облегчения запоминания всех правильных силлогизмов (или модусов, как их называют) в XIII в. было составлено особое мнемоническое латинское стихотворение. При этом название силлогизма само по себе непереводимо, но дано так, чтобы из гласных букв в него входили лишь те три буквы из , которые указывают на характер посылок и следствия данного силлогизма. Выпишем все верные модусы с их латинскими названиями:

В предыдущем пункте было показано, как на языке логики предикатов каждое из категорических суждений может быть представлено формулой логики предикатов (см. записи (1), (2), (3), (4)). Тогда каждый из 19 правильных аристотелевых силлогизмов также может быть представлен некоторой формулой логики предикатов. Рассмотрим примеры некоторых силлогизмов и дадим их обоснование методами логики предикатов.

Пример 24.6. Самый распространенный и простой силлогизм Barbara :

Здесь как обе посылки, так и заключение являются общеутвердительными суждениями. Вот пример такого рассуждения. "Все квадраты суть ромбы", "Все ромбы суть параллелограммы". Следовательно, "Все квадраты суть параллелограммы".

Обоснуем справедливость такого рассуждения, для чего представим данный силлогизм на языке логики предикатов:

Нужно проверить, что третья (нижняя) формула является логическим следствием первых двух, т.е. нужно показать, что она превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо ее предикатных переменных и таких конкретных предикатов, при которой обе первые формулы превращаются в истинные высказывания. В самом деле, на основании равносильности (получаемой из тавтологии) теоремы 21.11 (пункт а), для конъюнкции посылок имеем

Истинность обеих посылок означает истинность их конъюнкции и, следовательно, ввиду приведенной равносильности — тождественную истинность предиката , т.е. истинность высказывания для любого . Но тогда, на основании закона силлогизма (тавтология теоремы 3.1, пункт е), для любого будет истинно высказывание , т.е. будет тождественно истинным предикат . Последнее означает, что будет истинно высказывание , являющееся заключением рассматриваемого силлогизма.

Пример 24.7. Совершенно аналогично обосновывается (предлагается проделать самостоятельно) справедливость силлогизма Celarent :

Пример 24.8. Рассмотрим еще один силлогизм Festino :

Приведем пример рассуждения, основанного на этой схеме. "Никакая окружность не является квадратом", "Некоторые параллелограммы являются квадратами". Следовательно, "Некоторые параллелограммы не являются окружностями".

Запишем данный силлогизм на языке логики предикатов:

Покажем, что третья формула является логическим следствием первых двух. Из истинности первого высказывания вытекает истинность высказывания для любого предмета . Следовательно, на основе равносильностей теоремы 4.4 (пункты а, б), истинно высказывание для любого .

Докажем, далее, истинность следующего высказывания:

Допустим, что посылка истинна. Это означает, что существует такой объект , что высказывание истинно. Следовательно, истинны оба высказывания и . Из истинности высказываний и вытекает истинность высказывания , что вместе с истинностью дает истинность конъюнкции для некоторого объекта . Последнее означает истинность высказывания . Таким образом, истинность импликации (1) установлена.

Итак, показано, что из первой посылки рассматриваемого силлогизма следует формула (1). Символически это можно выразить так: , где — посылки, а , т. е. формула . Рассматриваемый силлогизм действительно справедлив.

Пример 24.9. Приведем пример неверного силлогизма. "Некоторые

не являющаяся общезначимой (примеры соответствующих предикатов только что указаны).

Аристотелева силлогистика и логика предикатов

В предыдущем пункте показано как аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии (общезначимые формулы) логики предикатов, а неправильным силлогизмам — формулы, не являющиеся тавтологиями.

Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам Darapti , Felapton , Bramantip и Fesapo соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями.

Пример 24.10. Рассмотрим формулу, отвечающую силлогизму Darapti :

Покажем, что эта формула не является общезначимой. Для этого нужно указать такие конкретные предикаты , заданные над некоторым множеством , а следствие — в ложное .

Для этого достаточно, чтобы предикат был тождественно ложен, а предикаты и обладали бы тем свойством, что для любого предмета или было бы ложным. Последнее возможно, если, например, один из предикатов или является отрицанием другого. Укажите самостоятельно примеры таких предикатов, например, на множестве натуральных чисел

Какой же вывод можно сделать после анализа результатов перевода аристотелевых силлогизмов на язык логики предикатов? Вывод таков, что логика предикатов, как и алгебра высказываний, далеко не является совершенной математической теорией, отражающей (описывающей) процесс человеческого мышления. И эта теория допускает изъяны, приводит к выводам, не сопоставимым с результатами реальных процессов, которые теория призвана описать. Это же обстоятельство приводит, с одной стороны, к задаче создания аксиоматической теории аристотелевых силлогизмов, в которой каждый верный силлогизм по каким-то правилам выводился бы из аксиом, а с другой — к задаче построения такой логической системы, которая все же вписывала бы всю традиционную силлогистику в общий ансамбль современной формальной логики. Эти вопросы будут рассмотрены в следующих лекциях.

Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Данная интерпретация, в частности, поможет лучше понять причину того, что не все верные силлогизмы выражаются на языке логики предикатов общезначимой формулой. Обозначим множества истинности предикатов через соответственно. Тогда утверждения об истинности категорических суждений могут быть следующим образом выражены на теоретико-множественном языке (учитывайте запись этих утверждений на языке логики предикатов, мы говорили уже об этом выше):

Нетрудно изобразить с помощью диаграмм Эйлера–Венна взаимоотношения между множествами в каждом случае:

Теперь каждый аристотелев силлогизм будет представлять собой утверждение о том, что из каких-то двух соотношений между множествами непременно следует третье соотношение между множествами .

Пример 24.11. Например, силлогизм Bocardo на теоретико-множественном языке запишется так:

Используя свойства отношения включения , но Пример 24.12. Пример верного силлогизма Fresison . Его запись:

Предположим, что . Учитывая это, находим:

(неравенство на основании второго условия). Следовательно, , что противоречит первому условию.

Пример 24.13. Приведем пример неправильного силлогизма:

Диаграмма показывает, что для трех множеств возможна ситуация, когда условия выполнены: , а заключение — нет: Darapti , Felaption , Bramantip и Fesapo и постараемся понять, почему выражающие их формулы логики предикатов оказались необщезначимыми.

Пример 24.14. Силлогизм Darapti имеет вид:

Из условий вытекает, что , то есть , то , и заключение силлогизма выполняется. Если же подставить тождественно ложный предикат.)

Пример 24.15. Силлогизм Bramantip имеет вид:

Из условий получаем , то есть , откуда , то , и заключение силлогизма выполняется. Если же Пример 24.16. Силлогизм Felaption имеет вид:

Допустим, что условия верны, но Fesapo .
Итак, четыре рассмотренных силлогизма с теоретико-множественной точки зрения не выполняются в тех случаях, когда в них участвуют пустые множества. С точки зрения логики предикатов это означает, что мы не исключаем тождественно ложных предикатов. Это означает, что в теоретико-множественной теории силлогизмов, находящейся в рамках логики предикатов, имеется лишь 15 верных силлогизмов. Если же мы исключим из рассмотрения в логике предикатов тождественно ложные предикаты, то мы будем иметь 19 верных силлогизмов.

Что же касается классической аристотелевской силлогистики, то в ней изначально не предполагались пустые термины, т.е. предикаты с пустым множеством субъектов, или, в нашей терминологии, тождественно ложные предикаты. Поэтому классическая аристотелевская силлогистика включает 19 верных силлогизмов.

Отметим, что М.В.Ломоносов (1711–1765), осуществляя нововведения в традиционную логику, не признавал правильными "плохие" силлогизмы Darapti , Felaption , Bramantip и Fesapo . Это красноречиво говорит о том, насколько глубоко этот гениальный ученый проник и в эту область научного знания.

О других методах логических рассуждений

Аристотелевская силлогистика охватывает далеко не все типы умозаключений так называемой логики свойств, к которой эту силлогистику принято относить. Полная формализация таких умозаключений осуществляется в логике (одноместных) предикатов. Рассмотрим еще ряд некоторых типов умозаключений.

Пример 24.17. Вот один такой широко распространенный способ рассуждений. Приведем сначала примеры таких рассуждений. "Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен". "Всякое нечетное натуральное число является разностью двух квадратов. 7 есть нечетное натуральное число. Следовательно, 7 является разностью двух квадратов". Приведенные рассуждения основаны на следующей схеме:

означающей, что третья формула является логическим следствием первых двух. Проверим, что это действительно так. Пусть первые две формулы превратились в истинные высказывания и при подстановке вместо предикатных переменных некоторых конкретных предикатов и соответственно, определенных на некотором множестве означает тождественную истинность предиката , откуда, в частности, вытекает истинность высказывания . Наконец, из истинности высказываний и следует истинность высказывания , полученного из заключительной формулы в результате подстановки конкретного предиката . Тем самым справедливость приведенной схемы рассуждений доказана.

И аристотелевские силлогизмы, и приведенная схема рассуждений обосновываются с привлечением лишь одноместных предикатов. Приведем пример рассуждения, для обоснования которого уже нельзя обойтись только одноместными предикатами.

Пример 24.18. "Бинарное отношение на множестве натуральных чисел транзитивно и антирефлексивно. Следовательно, оно несимметрично". Символически:

Это рассуждение основано на следующей схеме с двухместным предикатом

Проверим справедливость этой схемы. Отметим вначале, что тавтологию закона удаления квантора общности (теорема 21.13, пункта) в терминах логического следования можно трактовать так: формула является логическим следствием формулы . На основании данного закона из первой формулы рассматриваемой схемы следует формула

(переменную z переименовали в

При фиксированных две последние формулы превращаются в формулы алгебры высказываний: . Используя методы алгебры высказываний, нетрудно проверить, что

Переводя полученную формулу на первоначальный язык, получим формулу . Таким образом, выводимость (3) показывает, что формула является логическим следствием формул (1) и.(2) для каждого значения хну. Следовательно, и формула будет превращаться в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо предикатной переменной конкретного предиката, а вместо предметных переменных — конкретных предметов, при которой в истинные высказывания превращаются формулы (1) и (2). Этим завершается проверка справедливости схемы умозаключения.

В заключение приведем пример доказательства математической теоремы, целиком основанного на одной тавтологии логики предикатов. По существу здесь мы имеем пример теоремы из конкретного раздела математики, доказательство которой носит не математический, а чисто логический характер.

Пример 24.19. Рассмотрим следующую тавтологию логики предикатов:

Покажем, как она может быть применена к доказательству следующего утверждения: "Наименьший элемент (если он существует) упорядоченного множества минимален."

Напомним определения. Отношением порядка на множестве 1) рефлексивность: ;
2) антисимметричность: ;
3) транзитивность: .

Множество . Элемент упорядоченного множества называется наименьшим, если он меньше всех элементов этого множества: , и называется минимальным, если меньше его нет элемента в этом множестве: . Таким образом, утверждение, которое мы хотим доказать, на языке логики предикатов записывается так:

С помощью равносильных преобразований преобразуем сначала заключение этой импликации:

Именно в это высказывание и превращается формула (1) при подстановке в нее вместо переменной предиката "", а вместо переменной — предиката "". Поскольку формула (1), как мы доказали, общезначима, то высказывание (3), а вместе с ним и высказывание (2) истинны.

Работа состоит из 1 файл

Логика-реферат.doc

Министерство высшего и среднего профессионального образования

Институт международных связей

Факультет: Международные экономические отношения

Специальность: Связь с общественностью гр.№112

Реферат на тему:

Исполнитель: Максимова В. Г.

Руководитель: Клепарский С. Ю.

Жизнь и творчество Аристотеля

Oбocнoвaниe и paзвитиe cиллoгиcтики cвязaнo c имeнeм дpeвнeгpeчecкoгo мыcлитeля Apиcтoтeля и представляет собой, пожалуй, самую сложную и развитую часть традиционной логики. Этот её раздел был разработан Аристотелем в практически законченном виде, прежде всего в его двух книгах под названием "Первая Аналитика". Позднее учение о силлогизмах было внимательно изучено средневековыми схоластами, которые изложили его в компактной форме. Греческое слово sillogismos переводится как сосчитывание.

Логика Аристотеля возникла не в безвоздушном пространстве логических абстракций. Поэтому, третья глава посвящена проблеме возникновения логики Аристотеля.

Простой категорический силлогизм, как это принято в большинстве учебников теперь. Нередко оно у него обозначает вообще всякое умозаключение.

Теория силлогизма

утверждение А относительно С, а С относительно В;
утверждение С относительно их обоих;
утверждение А и В относительно С.

Сокращенные cиллoгизмы – энтимeмы

Как указывалось в предыдущем разделе, силлогистическое умозаключение состоит из трех суждений:

общего положения, именуемого большой посылкой;
связанного с ним суждения, ведущего к его применению под названием малой посылки;
заключения.

Иногда одна из посылок или заключение не указываются. Этот сокращенный силлогизм называется энтимемой. В переводе с греческого это слово означает "в уме", "в мыслях", потому что в ней остается невыраженной, остается в мыслях часть всего рассуждения, то есть одна из посылок или заключение не высказываются прямо, а лишь подразумеваются. Используя в практике мышления энтимемы, мы получаем заключения из посылок, основываясь на их содержании.

Примером энтимемы с пропущенным заключением может быть следующее умозаключение: "Планета не может иметь гиперболическую орбиту, а Меркурий - планета". Каждый легко догадается, что этим желают сказать: "Меркурий не может иметь гиперболическую орбиту", - хотя прямо это не было выражено.

Так как в энтимемах воспроизводится лишь часть силлогизма, то поэтому в них только два суждения, но, одно из понятий повторяется в обоих, так что терминов все равно три, как это и должно быть в силлогизме. Именно в такой сокращенной форме чаще всего приходится сталкиваться с данным чрезвычайно распространенным видом умозаключения.

Когда нам надо проверить обоснованность и последовательность рассуждений, построенных в форме энтимемы, то надо восстанавливать их невысказанные составные части. В некоторых случаях такое восстановление очень просто, но часто возникают и трудности, особенно когда невысказанной осталась одна из посылок.

Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить её полный силлогизм. Чтобы восстановить энтимему в полный силлогизм, следует руководствоваться следующими правилами:

найти заключение и так его сформулировать, чтобы больший и меньший термины были четко выражены;
если опущена одна из посылок, установить, какая из них (большая или меньшая) имеется. Это делается путем проверки, какой из крайних терминов содержится в этом суждении;
зная, какая из посылок опущена, а также зная средний термин (он имеется в той посылке, которая дана), определить оба термина недостающей посылки.

Поскольку обычно мы рассуждаем, используя энтимемы, мы часто допускаем ошибки в собственных рассуждениях и не замечаем ошибок в рассуждениях других: пропуск посылки создает иллюзию очевидности.

Например: N знает риторику, потому что имеет отличную оценку по этому предмету; — пропущена посылка, истинность которой сомнительна: все получившие отличную оценку по риторике, знают этот предмет.

Читайте также: