Теоремы о пределах кратко

Обновлено: 05.07.2024

(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций $\ f(x) $ и $\ g(x) $ в окрестности некоторой точки а равны, то их пределы в этой точке совпадают:

(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки а значения функции $\ f(x) $ не превышают соответствующих значений функции $\ g(x) $ , то предел функции $\ f(x) $ в этой точке не превосходит предела функции $\ g(x) $ в той же точке:

Предел константы равен этой константе:

Если функция $\ f(x) $ имеет предел, то она единственна.

Если каждый член в сумме разности функций имеет предел в $\ x \rightarrow a $ , то сумма разность имеет предел $\ \boldsymbol \rightarrow \boldsymbol $ , а предел суммы разности равен сумме разности пределов от каждого функций:

Если каждая из функций конечного произведения имеет предел в $\ x \rightarrow a $ , то произведение имеет предел $\ x \rightarrow a $ , а предел произведения равен произведению пределов:

Из знака предела можно вычесть постоянный множитель:

Если функции $\ f(x) $ и $\ g(x) $ имеют предел в $\ x \rightarrow a $ и $\ \lim _ g(x) \neq 0 $ , то их отношение имеет предел в $\ x \rightarrow a $ , а предел частного равен частным пределам:

Если функция $\ f(x) $ имеет предел $\ b $ с $\ x \rightarrow+\infty $ , то ее можно представить в виде суммы числа $\ \mathrm $ и бесконечно малой функции с $\ x \rightarrow+\infty $ .

Если функцию $\ f(x) $ можно представить в виде суммы некоторого числа $\ \mathrm $ и некоторой бесконечно малой функции с $\ x \rightarrow+\infty $ , то указанное число $\ \mathrm $ является пределом функции $\ f(x) $ с $\ x \rightarrow+\infty $.

(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций и в окрестности некоторой точки равны, то и их пределы в этой точке совпадают:

$f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow \underset <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)=\underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)$

(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки значения функции не превосходят соответствующих значений функции , то и предел функции в этой точке не превосходит предела функции в этой же точке:

$f\left( x \right)\le g\left( x \right)\Rightarrow \underset <\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)\le \underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)$

$\underset<x\to a> <\mathop<\lim >>\,C=C,\ C=\text$

$\underset<x\to 10> Пример: <\mathop<\lim >>\,13=13$

Если функция имеет предел, то он единственный.

Если каждое слагаемое в сумме/разности функций имеет предел при , то и сумма/разность имеет предел при , причем предел суммы/разности равен сумме/разности пределов от каждой из функций:

$\underset <\mathop<\lim >>\,\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right)-h\left( x \right) \right]=\underset<\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)+\underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)-\underset<\mathop<\lim >>\,h\left( x \right)$

$\underset Пример: <\mathop<\lim >>\,\left( ^>-3x+2 \right)=\underset<\mathop<\lim >>\,^>-\underset<\mathop<\lim >>\,3x+\underset<\mathop<\lim >>\,2=^>-3\cdot 0+2=2$

Если каждый из функций в конечном произведении имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов:

$\underset <\mathop<\lim >>\,\left[ f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)\cdot h\left( x \right) \right]=\underset<\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)\cdot \underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)\cdot \underset<\mathop<\lim >>\,h\left( x \right)$

$\underset Пример: <\mathop<\lim >>\,\left( ^>\cdot \sin x \right)=\underset<\mathop<\lim >>\,^>\cdot \underset<\mathop<\lim >>\,\sin x=^>\cdot \sin 0=0$

$\underset <\mathop<\lim >>\,Cf\left( x \right)=C\underset<\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)$

$\underset Пример: <\mathop<\lim >>\,2^>=2\underset<\mathop<\lim >>\,^>=2\cdot ^>=2$

$\underset<x\to a> Если функции и имеют предел при , причем <\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)\ne 0$
, то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов:

$\underset <\mathop<\lim >>\,\frac<f\left( x \right)><g\left( x \right)>=\frac<\underset<\mathop<\lim >>\,f\left( x \right)><\underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)>;\ \underset<\mathop<\lim >>\,g\left( x \right)\ne 0$

Пример:

$\underset<x\to 2> <\mathop<\lim >>\,\frac^>-3>=\frac<\underset<x\to 2><\mathop<\lim >>\,\left( x+1 \right)><\underset<x\to 2><\mathop<\lim >>\,\left( ^>-3 \right)>=\frac<<^>-3>=\frac=\frac=3$

Если функция имеет предел при , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции при .

Если функцию можно представить как сумму некоторого числа и некоторой бесконечно малой функции при , то указанное число является пределом функции при .

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

2) Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.

4) Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е.

если

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

5) Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

если

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Определение предела функции

Первое определение предела функции по Гейне

Предел функции (по Гейне) при ее аргументе x , стремящемся к x ₀ – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , на которой функция f ( x ) определена;
2) для любой последовательности , сходящейся к :
,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность сходится к a:
.
Предел функции обозначают так:
.
Или при .
Здесь a и x ₀ могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: .
Для бесконечно удаленных точек приняты следующие обозначения:
.
Проколотая окрестность конечной точки может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае, для левой окрестности пишут:
.
Для правой окрестности:
.

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши) при ее аргументе x , стремящемся к x ₀ – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , на которой функция f ( x ) определена;
2) для любой окрестности точки a , принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a :
при .

Здесь a и x ₀ также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.

Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Применяемые окрестности точек

Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .

Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x ₀ , если
1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.

Бесконечные пределы функции

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f ( x ) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x ₁ , x ₂ , x ₃ , . x _n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x ₀ .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , на которой функция f ( x ) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x ₀ конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные односторонние пределы.

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x ₀
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x ₀ :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x ₀ , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x ₀ , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Теорема о пределе функции от монотонной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция строго монотонна. Причем монотонность слева и справа от может иметь разные знаки.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g ( x ) при x → x ₀ , и он равен t ₀ :
.
Здесь точка x ₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t ₀ .
Тогда существует предел сложной функции f ( g ( x )) , и он равен f ( t ₀) :
.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .

Бесконечно большие функции

Свойства бесконечно больших функций

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Пределы монотонных функций

Строго возрастающая функция Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
. Строго убывающая функция Функция называется строго убывающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
. Неубывающая функция Функция называется неубывающей, если для всех ; :
. Невозрастающая функция Функция называется невозрастающей, если для всех ; :
. Монотонная функция Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Определение функции, верхней и нижней грани

Функцией y = f ( x ) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции.

Если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.

Ограниченная функция Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
. Верхняя грань функции Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
. Нижняя грань функции Нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Читайте также: