Теорема умова пойнтинга кратко

Обновлено: 05.07.2024

Теорема Умова о наведении мгновенных значений. В дополнение к уравнениям Максвелла теорема Умова-Пойнтинга очень важна в электромагнитной теории. Вы можете найти на месте энергетические отношения.

Теорема Умова-Пойнтинга имеет два обозначения. Первая форма записи предназначена для мгновенных значений, а вторая представляет собой сложную форму синусоидально изменяющихся величин. Из 421 известно, что

Энергия магнитного поля на единицу объема. Энергия объемного dV умножается (16.1) на EdV и (16.2) на НdV, чтобы создать формулу, которая включает полную энергию равного объема dV. ErotHdV = (yEE — \ — eE ^ -j dV = (yE2 + yjdR, (16,5) H rot EdV = (

вычесть (16,6) из -ЦН (16,6) (16,7) (16,5)): (E rot 7 / -H rot E) dV = (yE2 + (y +! V)> dK div [EJ) = / / rot EE rot, поэтому левая часть (16.7) имеет вид -div [E //] dK- So -div t EH] dV = (y £ 2 + d-> dV. Чтобы сократить обозначение, предположим, что векторное произведение E равно 7 / S, то есть 5 — [EH]; S — указывающий вектор

Размерность равна произведению размерности E и размерности Th H: [S] = [£] [//) = — = wah / ma. Для Al вектор-указатель находится на единичной поверхности Соответствующая мощность (или энергия в единицу времени) и ее направление (рис. 462) совпадают с направлением движения правого наконечника винта, когда правая головка винта вращается в кратчайшем направлении от E к I.

Просто поверхностный интеграл преобразуется в линейный интеграл по теореме Стокса, и депо может быть сделано. Предыдущая глава (§450): J rot A ds = §A dl, S объем интегрировать Это преобразование является теоремой Остроградского-Гаусса

Первая сумма равна нулю. Это связано с тем, что внешние нормали к общей поверхности направлены в противоположных направлениях в случае двух томов, которые это делают, и на рисунке 464 это ясно видно: TP является общей стороной двух томов.

Нормаль — нисходящая (AsJ, для нижнего объема, нормаль поверхности — вверх (l $ 2), а вектор S, умноженный на (a Si -f-Дs2), равен нулю. Сумма 5 Все периферийные поверхности J s Граница определенного количества AND *.

Согласно уравнению Джоуля, разностная форма рензы — это энергия, выделяемая в виде тепла на единицу объема в единицу времени, поэтому j yE2dE — объем Является ли энергия, выделяемая в виде тепла V, за единицу времени; — это скорость изменения подачи электромагнитной энергии на единицу объема, но скорость изменения электромагнитной энергии — это мощность, поэтому она закрывается, чтобы ограничить объем V

Поток вектора наведения по криволинейной поверхности равен мощности, выделяемой в объеме V в виде тепла, и мощности, используемой для увеличения энергии электромагнита, нити накала.

Умов — Теорема наведения — это энергетический баланс Левая часть (16,9) — это мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока указывающих векторов в определенном объеме, а правая часть (16,9) — в единицу времени в объеме.

Соотношение (16.9) основано на предположении, что среда в объеме V однородна и изотропна, нет отраженной волны и нет электродвижущей силы в объеме V Получено в предположении об отсутствии источника * Описывает значение знака минус в левой части уравнения (16.9), элемент поверхности ds находится в любой точке в нормальном направлении рассматриваемого объема она направлена ->.

Указывающий вектор S направлен в этот объем. Поскольку угол между S и ds больше 90 °, скалярное произведение Sds 0. Следовательно, из-за знака минус левая часть уравнения (16.9) положительна.

Если поле не меняется со временем, dt \ 2-2) — (f Sd7 = JyE2dK электромагнитная энергия перемещается от места генерации через диэлектрик к месту потребления (провод играет двойную роль: ток Канал, через который организована структура диэлектрического поля, и в простейшем случае мы продемонстрируем эффективность этого описания: энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рис. 465) ой (теоретический

Напряженности электрического поля между сердечником и оболочкой стремятся к нулю, а пространство между сердечником и оболочкой заполнено диэлектриком, а энергия передается приемнику за единицу времени ( 7 / Для этого рассчитайте поток вектора наведения через поперечное сечение диэлектрика, в этом случае кольцо с внутренним радиусом rx и внешним r2.

Диэлектрическая напряженность поля R = — . прямой Напряженность электрического поля диэлектрика определяется так же, как и для электростатических условий: Å = и 2nerl r * Г1п ~ h, где Q — полный заряд сердечника по длине / U, а U — сердечник и оболочка.

Кроме того, u конечно, а ядро и оболочка Предполагая, что электрическое поле тока не равно нулю в направлении тока, проверьте, что направляющий вектор течет со стороны провода на провод, то есть на сам провод

Пример 213. Определение тангенса угла, образованного нормалью к поверхности сердечника и электрическим полем в точке, принадлежащей поверхности сердечника коаксиального кабеля (рис. 465) ),

Рассчитать вектор направления потока через боковую сердечник длиной 1 м и сравнить вектор направления потока с потерями энергии сердечника на длине 1 м, радиус медного сердечника равен rx = 0,3 см, Внутренний радиус оболочки равен r2 = 1 см, постоянный ток, протекающий через кабель = 50 А, а напряжение U между жилой и оболочкой составляет 10 кВ.

Решения. Вертикальная составляющая электрического поля на поверхности сердечника Ep = = — = 2.77-10 * (e / jw). д. In-0,003 • In-fl Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля Et на поверхности сердечника по закону 0,3 Ом составляет F — 50-3,05 • IO’2 (Вт / м) л. 0,0038 • 5,8 • 107 ‘• Вектор напряженности поля E составляет угол a с нормалью поверхности сердечника (Рисунок 466).

Тангенс — это напряженность магнитного поля поверхности сердечника по полному закону тока 50 2 л. 0,003 = 2650 (а / м). Чтобы определить поток длиной 1 м к сердечнику вектора наведения, умножьте компонент вектора наведения E //, который проникает в сердечник, на размер стороны сердечника длиной 1 м. EtIl • 2lg1. 1 = 3,05. 10 «2. 2650,2l 0,003. 1 == 1,523 (em).

Это значение точно равно потере энергии сердечника кабеля на длине 1 м. = YS Пример 214. 467 — это поперечное сечение сердечника трансформатора Сердечник окружен катушкой Два одинаковых электродинамических вольтметра V и V2 подключены к открытым концам a и b этой катушки, от вольтметра до точек a и b. 467.

Отдельные точки витков и проводов показаны буквами. Магнитный поток вдоль сердечника трансформатора направлен вдоль сердечника трансформатора (вертикальный на рисунке) Он изменяется со временем следующим образом: Ф = 0,001 cos 500 т wb, предполагая, что вне сердечника нет магнитного потока, и что сопротивление каждого вольтметра Ry намного больше, чем сопротивление самой катушки Rfl, то есть решение

Для определения измеренного значения вольтметра: ток i2 через вольтметр Vt2-вольтметр V2 Протекающий ток i-Обозначается стрелками на диаграмме положительного направления тока, протекающего через катушку 467. Согласно первому закону Кирхгофа, G + 4 = E (a)

Два уравнения согласно второму закону Кирхгофа Один из них предназначен для цепи, образованной вольтметром Vj и катушкой, то есть для цепи acdebViO. При написании уравнения, поскольку контур содержит сердечник, контур течет ΦiiRv + ~ = ° — (6)

Образовательный сайт для студентов и школьников

Для теории электромагнитных полей важное значение имеет формулировка законов сохранения энергии и импульса. Мы начнем с рассмотрения закона сохранения энергии, который часто называют теоремой Пойнтинга (1884 г.). Работа, совершаемая электромагнитным полем Е, В в единицу времени над отдельным зарядом q, равна где v — скорость заряда. Магнитное поле работы не совершает, поскольку магнитная сйла перпендикулярна скорости. При непрерывном распределении зарядов и токов полная работа, совершаемая полем в объеме V в единицу времени., равна

Это выражение определяет скорость превращения электромагнитной энергии в механическую или тепловую. Очевидно, с такой же скоростью уменьшается энергия электромагнитного поля

внутри объема V. Чтобы найти этот закон сохранения в явном виде, преобразуем выражение (6.77) с помощью уравнений Максвелла. Для исключения J воспользуемся законом Ампера — Максвелла:

Учитывая векторное тождество

и закон Фарадея, преобразуем правую часть (6.78) к виду

Для дальнейшего необходимо сделать два допущения. Первое из них не имеет существенного значения и делается только для простоты. Будем предполагать, что макроскопическая среда обладает линейными электрическими и магнитными свойствами. Тогда два члена в (6.79), содержащие производные по времени, можно в соответствии с (4.92) и (6.16) интерпретировать как производные по времени от плотностей электростатической и магнитной энергий. Теперь мы сделаем второе предположение, а именно будем считать, что сумма выражений (4.92) и (6.16) представляет собой полную электромагнитную энергию также и в случае переменных во времени полей. Если плотность полной энергии поля обозначить через

то (6.79) перепишется в виде

Поскольку объем V произволен, это соотношение можно представить в форме дифференциального закона сохранения, или уравнения непрерывности:

Вектор S, определяющий поток энергии, называется вектором Пойнтинга. Он равен

и имеет размерность энергия/(площадь X время). Так как в законе сохранения фигурирует только дивергенция этого вектора, к вектору Пойнтинга можно прибавить ротор произвольного вектора поля. Однако этот добавочный член не приводит ни к каким физическим

следствиям, и поэтому обычно используется частная форма (6.83).

Физический смысл интегральной или дифференциальной формы законов (6.81) или (6.82) заключается в том, что скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, вытекающей за единицу времени через поверхность, ограничивающую этот объем, равна взятой со знаком минус полной работе, совершаемой полем над источниками внутри данного объема. Соотношения (6.81) и (6.82) выражают закон сохранения энергии. Если имеются нелинейные эффекты, такие, как гистерезис в ферромагнитных материалах, то простая форма закона сохранения (6.82) неприменима и необходимо добавить соответствующие члены, учитывающие потери на гистерезис.

В этом параграфе будут рассмотрено, как электромагнитное поле запасает и переносит энергию, в частности как энергия переносится электромагнитной волной. Перенос энергии электромагнитным полем был впервые изучен английским физиком Джоном Генри Пойнтингом (1852 — 1914).

А) Энергия, запасенная электростатическим и магнитостатическими полями.

Напомним, что в разделах курса физики, посвященных электростатике и магнитостатике, выводятся соотношения для объемной плотности энергии, запасенной электрическим и магнитным полями.

Объемная плотность энергии электростатического поля:

(Дж/м3 ) (Эрг/см3) (2.2.1)

Объемная плотность энергии магнитного поля:

(Дж/м3 ) (Эрг/см3) (2.2.2)

Очевидно, что полная энергия, запасенная электрическим и магнитным полями в объеме V0, определяется интегралами по объему:

(2.2.3)

(2.2.4)

Записанные выражения полезно сопоставить с выражениями для энергии, запасенной в конденсаторе с емкостью C и катушке с индуктивностью L, если к конденсатору приложена разность потенциалов U, А через катушку протекает ток I:

(2.2.5)

Б) Плотность потока энергии, переносимой электромагнитным полем полем.

При рассмотрении энергетических характеристик полей, меняющихся по гармоническому закону, нельзя использовать сразу комплексную форму записи, т. к. энергетические характеристики связаны с напряженностью полей нелинейной операцией , . Будем использовать уравнения Максвелла в исходной форме:

Умножим скалярно первое уравнение на , второе — на . Т. к. и , то:

Учтем, что и . Вычтем одно уравнение из другого. Получим:

. (2.2.6)

Используем векторное тождество:

(2.2.7)

. (2.2.8)

В результате проделанных преобразований мы получили новый вектор, образованный векторным произведением вектора напряженности электрического поля на вектор напряженности магнитного поля

Принято обозначать вектор Особым вектором:

(2.2.9)

Вектор называется Вектором Пойнтинга. Размерность вектора Пойнтинга в системе СИ: — (В/м).(А/м) = Вт/м2. В системе СГС —

Вектор Пойнтинга перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением переноса энергии электромагнитной волной. Модуль вектора Пойнтинга равен потоку энергии, переносимому электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока. Таким образом, выражение (2.2.8) представляет собой локальное уравнение баланса энергии, справедливое в данной точке пространства в данный момент времени.

Проинтегрируем (2.2.8) по объему V и используем теорему Гаусса-Остроградского (). Получим:

. (2.2.10)

Слагаемые в правой части (2.2.10) представляют собой:

– скорость изменения энергии, запасенной электрическим и магнитным полями в объеме V,

– энергия, которая выделяется (или поглощается) в объеме за единицу времени за счет протекания тока,

— поток энергии, переносимой электромагнитным полем за единицу времени через поверхность S.

Теперь мы можем сформулировать следующее определение:

Вектор Пойнтинга представляет собой Плотность потока энергии, переносимой электромагнитным полем.

В соответствии с формулами (2.2.3) и (2.2.4) соотношение (2.2.10) можно переписать так:

(2.2.11)

Выражение (2.2.11) — это математическая запись теоремы Пойнтинга — закона сохранения энергии для электромагнитного поля. Теорема Пойнтинга Формулируется следующим образом:

• Скорость изменения электромагнитной энергии, запасенной в объеме, равна сумме потока мощности через поверхность, ограничивающую этот объем, и мощности, поглощаемой или выделяемой протекающими в объеме токами.

Вектор Пойнтинга показывает, насколько внутренние процессы в объеме неуравновешенны: при Энергия вытекает из объема V, При Энергия поступает в объем V извне.

В) Теорема Пойнтинга в комплексной форме (баланс энергии при гармонических колебаниях).

Техника высоких частот использует быстрые гармонические колебания, поэтому мгновенные значения энергии практически неинтересны, нужны усредненные во времени энергетические характеристики.

Напомним из курса ТОЭ выражение для мощности в комплексной форме записи. Пусть ток и разность потенциалов имеют следующее физическое описание и представление:

, или

Мощность, переносимая током при заданной разности потенциалов:

Первое слагаемое, содержащее , равно усредненному за период колебаний значению мощности:

Второе слагаемое — колеблющаяся с удвоенной частотой реактивная мощность :

Проведем усреднение гармонических колебаний U И I.

Тогда среднюю мощность можно записать как

Перейдем теперь к теореме Пойнтинга для гармонических колебаний.

Взяв уравнения Максвелла в комплексной форме, произведем над ними следующие операции:

1 . Произведем комплексное сопряжение над вторым уравнением.

2 . Умножим скалярно первое уравнение на , Второе на :

умножим на ,

умножим на .

3. Вычтем первое уравнение из второго:

(2.2.12)

4. Используя векторное тождество (2.2.7), проинтегрируем по объему V с учетом теоремы Гаусса и в результате получим:

(2.2.13)

Для полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, вводится комплексный вектор Пойнтинга

(2.2.14)

Среднее значение комплексного вектора Пойнтинга

(2.2.15)

Соотношение (2.2.13) представляет собой теорему Пойнтинга в комплексной форме.

Чтобы понять физический смысл теоремы Пойнтинга в комплексной форме, разделим вещественные и мнимые части выражения (2.2.13). Учтем, что , . Тогда из (2.2.13) получим:

(2.2.16)

(2.2.17)

Выражение (2.2.16) есть уравнение среднего баланса энергии при гармонических колебаниях. Левая часть уравнения дает средний поток активной мощности через поверхность S, Ограничивающую рассматриваемый объем V. Первый член в правой части равен средней мощности потерь в объеме V, обусловленной потерями проводимости, потерями переполяризации диэлектрика или потерями перемагничивания . В частности, если потери обусловлены только проводимостью среды, то , и

Первый член в правой части (2.3.16) приобретает привычный вид

Второе слагаемое правой части уравнения (2.2.16) характеризует среднюю мощность источников, если они имеются в объеме. В частности, если потери в среде, заполняющей объем, отсутствуют, т. е. И , То вся мощность источников идет на излучение через поверхность объема:

Если объем заполнен средой с потерями, а источники внутри объема отсутствуют, то активная мощность, рассеиваемая в объеме, поступает в объем через его поверхность:

Из приведенного рассмотрения выражения (2.2.16) следует, что среднее значение комплексного вектора Пойнтинга (1.3.13) характеризует плотность потока активной мощности. По аналогии с теорией электрических цепей величины, входящие в выражение (2.2.17), называют реактивным потоком мощности и реактивными мощностями.

Г) Вектор Пойнтинга волны в свободном пространстве.

На рис. 2.2.1 показана схема образования сферической волны, излученной диполем, расположенным в начале сферической системы координат. Ограничимся рассмотрением выделенной области, в пределах которой волну можно считать плоской.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, вектор которой в декартовой системе координат имеет только одну составляющую:

(2.2.18)

Чтобы найти напряженность магнитного поля , используем уравнение Максвелла:

Подставив в это уравнение

Рис.2.2.1. Сферическая волна, излучаемая диполем. Выделен квадрат, в пределах которого волну можно считать плоской.

Воспользовавшись выражением для волнового вектора , получим

. (2.2.19)

Отношение напряженностей электрического и магнитного полей плоской волны имеет размерность сопротивления, обозначается буквой И называется Волновым сопротивлением свободного пространства.

. (2.2.20)

— очень важная величина в электродинамике.

(Ом) = 377 (Ом).

Итак, для плоской волны в свободном пространстве

(2.2.21)

(2.2.22)

Таким значениям векторов и соответствует вектор Пойнтинга:

(2.2.23)

По направлению вектор Пойнтинга совпадает с направлением волнового вектора . На рис.2.2.2 показана взаимная ориентация векторов .

Рис.2.2.2. Взаимная ориентация векторов напряженностей электрического и магнитного полей, вектора Пойнтинга и волнового вектора для плоской волны в свободном пространстве.

В качестве примера оценим, какова максимально возможная плотность мощности электромагнитной волны в сухом воздухе при атмосферном давлении. Пробивная напряженность воздуха при этих условиях В/м.

Вт/м2 = 1,2 МВт/см2 .

Еще одна оценка величин. Поток мощности света от Солнца, находящегося в зените составляет 1,5 кВт/м2. Эта величина соответствует амплитуде напряженности электрического поля световой волны

В/м.

Распространение группы волн (волнового пакета) сопровождается переносом энергии. Группа волн распространяется с групповой скоростью vГр. Отсюда можно заключить, что перенос энергии электромагнитной волной происходит с групповой скоростью. В свободном пространстве (вакууме) групповая скорость равна скорости света.

Перенос энергии электромагнитной волной означает и перенос механического импульса. При любом отражении волна передает отражателю импульс. Передача импульса образует давление волны на предмет, от которого она отражается. Русский физик Петр Николаевич Лебедев (1855 — 1912 г. г.) в 1899 г. экспериментально обнаружил и измерил давление света. Эксперименты П. Н. Лебедева были важнейшим подтверждением правильности теории Дж. К. Максвелла.

Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:

называют вектором Умова - Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.

В электромагнитной волне векторы $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $\overrightarrow$ имеет выражение:

Направление вектора Умова - Пойнтинга перпендикулярно к векторам $\overrightarrowи\ \overrightarrow$, и со направленно с направлением распространения волны ($\overrightarrow$).

Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова - Пойнтинга имеет вид:

и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:

Модуль вектора Умова -- Пойнтинга можно выразить как:

В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:

Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:

В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин. Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около $^Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени. Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова - Пойнтинга равно:

Вектор Умова - Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:

где $\frac<\partial W><\partial t>$ -- энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcos\alpha $ -- проекция вектора $\overrightarrow$ на нормаль $\overrightarrow$ к площадке $S$. Направление вектора Умова - Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.

Готовые работы на аналогичную тему

Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $\overrightarrow$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.

Теорема Пойнтинга

Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение. Теорема Пойнтинга - один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.

Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:

где $P_n$ -- нормальная составляющая вектора Умова - Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$. Положительным считают направление внешней нормали $\overrightarrow$, что означает поток вектора $\overrightarrow$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $\overrightarrow$ выводят наружу из объема.

При этом $-\frac<\partial W><\partial t>$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова - Пойнтинга.

Задание: Напишите выражение для вектора Умова - Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $\overrightarrow=10cos\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow(\frac).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_m\overrightarrow$, частота волны $\omega \ при\ ней\ \varepsilon =2,\ \mu \approx 1\ .$

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова - Пойнтинга:

Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова - Пойнтинга колеблется по $оси Y$.

Модуль искомого вектора можно найти как:

Найдем амплитуду вектора $\overrightarrow$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:

Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:

При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:

Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова -- Пойнтинга:

Ответ: $\overrightarrow=\sqrt_0><\mu <\mu >_0>>^2c^2\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow.$

Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$. Запишите выражение для вектора Умова - Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора. Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова -- Пойнтинга:

Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:

и материальное уравнение:

Возьмем производную от $\overrightarrow$ по времени:

Возьмём интеграл от $rot\overrightarrow$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):

Найдем модуль вектора Умова -- Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):

Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?

Решение:

сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $\overrightarrow\ $и $\overrightarrow$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:

где $k=\frac<2\pi ><\lambda >$. Следовательно, мгновенное значение вектора $\overrightarrow$ можно записать в виде:

\[P=E_0^2 \left(\omega t-kx\right)\ >\left(1.3\right).\]

По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $\varepsilon =1,\ \mu =1\ $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:

Кроме того, известно, что среднее значение $\left\langle ^2\alpha \right\rangle =\frac,$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова - Пойнтинга ($\left\langle P\right\rangle $) равно:

Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $\left\langle P\right\rangle =\sqrt_0><<\mu >_0>>\frac.$

Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова - Пойнтинга в стоячей волне.

Решение:

Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:

где $_E,\ \varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:

здесь $\theta ,\vartheta $ - изменение фазы при отражении, они равны или $\pi ,\ $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:

тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:

при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $\theta =\pi $, тогда:

Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова - Пойнтинга получим:

Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $\overrightarrow$ происходят с частотой $2\omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($\left\langle P\right\rangle =0$).

Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $\left\langle P\right\rangle =0$.

Читайте также: