Теорема об изменении кинетического момента кратко

Обновлено: 04.07.2024

Первая производная по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.

Рассмотрим мех. систему из N материальных точек, к каждой из которых приложены равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точки запишем теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра О.

Просуммировав по всем точкам

и преобразовав левую часть уравнения получим:

Здесь - главный момент количеств движения механической системы относительно центра О.

Главный момент внутренних сил

а главный момент внешних сил

Окончательно имеем: (9)

1. Закон сохранения главного момента количеств движения механической системы относительно центра О в векторной форме:

Если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра О равен нулю, то главный момент количеств движения механической системы относительно этого центра постоянен по модулю и направлению.

Пусть главный момент внешних сил системы относительно центра О равен нулю, т.е. . Тогда, согласно (9)

2. Если главный момент внешних сил, действующих на механическую систему, относительно какой-либо оси равен нулю, то главный момент количеств движения механической системы относительно этой оси постоянен.

Пусть сумма внешних моментов внешних сил, действующих на механическую систему, относительно оси Ох равна нулю, т.е. . Тогда

Если рассматривается тело или система тел, вращающихся вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью и , то .

11. Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения.

Главный момент количеств движения вращающегося тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на проекцию угловой скорости вращения тела на ось вращения.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью. Определи главный момент количеств движения этого тела относительно оси Oz. Согласно определению

Проекция скорости точки тела на касательную к траектории её движения

а момент количества движения относительно оси Oz

где . Подставив в (10), получим

Где - момент инерции тела относительно оси вращения. Окончательно имеем:

Знак - главного момента количеств движения твёрдого тела относительно оси вращения – определяется знаком проекции угловой скорости

Первая производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту равнодействующей силы относительно того же центра О.

Уравнение движения мат. точки::

умножим его векторно слева на радиус-вектор

Преобразуем левую часть полученного уравнения

Но как векторное произведение коллинеарных векторов.

Просуммировав по всем точкам

и преобразовав левую часть уравнения получим:

Здесь - главный момент количеств движения механической системы относительно центра О.

Главный момент внутренних сил

а главный момент внешних сил

Окончательно имеем: (9)

Пусть главный момент внешних сил системы относительно центра О равен нулю, т.е. . Тогда, согласно (9)

Если рассматривается тело или система тел, вращающихся вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью и , то .

11. Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения.

Проекция скорости точки тела на касательную к траектории её движения

а момент количества движения относительно оси Oz

где . Подставив в (10), получим

Где - момент инерции тела относительно оси вращения. Окончательно имеем:

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы:

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M_j с массой m_j (рисунок 3.3). На выделенную точку в итоге будут действовать две силы: равнодействующая внешних сил и равнодействующая внутренних сил (F_j e и F_j i соответственно).

Аналогичные уравнения запишем для всех точек системы (j=1,2,3,…,n) и сложим их почленно:

Рассмотрим каждую сумму в отдельности:

где ∑K_0j = K₀ – главный момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно некоторого центра O;
∑M₀(F_j e ) = M₀ e – главный момент внешних сил механической системы;
M₀(F_j i ) = M₀ j = 0 – главный момент внутренних сил механической системы, который равен нулю (по свойству внутренних сил механической системы).

В итоге получаем

Уравнение (3.9) выражает теорему об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы, которая гласит: производная по времени от главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.9) на неподвижные оси декартовой системы координат, получаем

Уравнения (3.10) выражают собой теорему об изменении кинетического момента системы относительно координатных осей: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно какой-либо неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.

Рассмотрим следствия из теорем (3.9) и (3.10).

Следствие 1

Если главный момент внешних сил системы относительно центра равен нулю (M₀ e ), то, согласно (3.9), момент количества движения (кинетический момент) системы относительно того же центра остается постоянным по величине и направлению, т.е. M₀ = const.

Этот частный случай выражает закон сохранения момента количеств движения (кинетического момента) системы относительно центра.

Следствие 2

Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, например, M_x e = ∑M_x(F_j e ) = 0, то из (3.10) следует, что K_x = const, т.е. момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Из теорем об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно центра (3.9) и относительно оси (3.10), а также следствий из них следует, что внутренние силы не могут непосредственно изменить момент количеств движения (кинетический момент) изолированной механической системы.

Внутренние силы могут влиять на момент количества движения (кинетический момент) механической системы в том случае, если их действие приводит к возникновению внешних сил, т.е. косвенным образом через возникновение внешних сил.

Приведенные выше теоремы об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы (3.9) и (3.10) остаются справедливыми и по отношению к подвижным осям координат, имеющим свое начало в центре системы и движущимся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат.

Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.

Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),

Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):

(3.20)

Кинетический момент приложен к точке О, относительно которой он вычисляется.

Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:

(3.21)

Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).

Согласно формулам (3.21), имеем

Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость причем количество движения точки перпендикулярно отрезку d_k и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz, следовательно,

Рис. 3.15

Рис. 3.16

где J_z – момент инерции относительно оси вращения.

Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы

Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)

Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:

(3.22)

Учтем, что тогда выражение (3.22) примет вид

Или, с учетом того, что

– сумма моментов внешних сил относительно центра O, окончательно имеем:

(3.23)

Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.

Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.

Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:

Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если

(3.24)

Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,

(3.25)

Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.

Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A, движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью

Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)

так как то

Учитывая, что где – скорость центра масс системы, получаем

Вычислим производную по времени от кинетического момента

В полученном выражении:

Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что

Если точка совпадает с центром масс системы C, то и теорема принимает вид

т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О.

3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az (рис. 3.18) под действием системы внешних сил Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

где J_z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.

Учитывая это, получаем:

Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство имеем

(3.26)

Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс

Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox₁y₁z₁ и подвижную Cxyz с началом в центре масс C, движущуюся поступательно (рис. 3.19).

Из векторного треугольника:

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

или

где – абсолютная скорость точки M_k, - абсолютная скорость центра масс С, - относительная скорость точки M_k, т.к.

Кинетический момент относительно точки О

Подставляя значения и , получим

В этом выражении: – масса системы; ; – кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz.

Кинетический момент принимает вид

Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид

Подставим значения и получим

Преобразуем это выражение с учетом, что

или

Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Возьмем какой-нибудь неподвижный центр и применим к одной -й точке системы теорему об изменении момента ее количества движения относительно этого центра. По формуле (171) будем иметь:

Составляя аналогичные равенства для всех точек системы и суммируя их почленно, получим:

По установленному ранее (стр. 280), главный момент всех внутренних сил системы относительно произвольного центра всегда равен нулю:

Подставляя значения (II) и (III) в равенство (I), окончательно получаем:

Производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Проектируя векторное равенство (178) на какую-либо неподвижную ось , проходящую через точку , получим:

Производная no времени от кинетического момента системы относительно какой-либо неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно той же оси.

Рассмотрим теперь теорему об изменении кинетического момента системы в ее относительном движении по отношению к центру масс.

Пусть некоторая система материальных точек (рис. 196) движется относительно неподвижных осей координат . Примем центр масс системы за начало новой системы координат , движущихся вместе с системой , но остающихся все время параллельными относительно неподвижных осей . Следовательно, оси движутся поступательно относительно неподвижных осей с ускорением , равным ускорению центра масс системы.

Найдем закон изменения кинетического момента системы относительно подвижных осей , проходящих через центр масс. Как было установлено в § 73, уравнениям динамики для относительного движения точки можно придать вид уравнений динамики для ее абсолютного движения, если к силам, действующим на точку, добавить соответствующие силы инерции этой точки.

Так как переносное движение (движение осей ) есть движение поступательное, то кориолисово , а ускорение и кориолисова сила инерции для всех точек системы равны нулю.

Переносные ускорения у всех точек системы равны ускорению ее центра масс. Следовательно, переносная сила инерции точки (рис. 196) системы

Применяя установленную выше теорему к относительному движению системы по отношению к центру масс, можно записать:

где — скорость -й точки системы по отношению к подвижной системе отсчета .

По формуле (19) (см. § 19) для момента силы относительно центра будем иметь:

где — радиус-вектор точки (рис. 196), проведенный из центра масс.

По формуле (138′) имеем

так как точка является началом координат для осей и для нее радиус-вектор

Таким образом, получаем, что

и равенство (1) принимает вид

Полученное уравнение полностью аналогично уравнению (178), выражающему теорему об изменении кинетического момента системы относительно неподвижного центра .

Проектируя векторное равенство (180) на координатные оси и проходящие через центр масс системы, мы также получим уравнения, аналогичные уравнениям (179).

Таким образом, теорема об изменении кинетического момента системы как относительно неподвижного центра, так и относительно неподвижной оси приложила в той же самой форме и к относительному движению системы по отношению к осям координат, движущимся поступательно вместе с центром масс системы.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: