Теорема о вертикальных углах кратко
Обновлено: 02.07.2024
Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая — из C и D.
В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.
Содержание
Теорема о вертикальных углах
Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными [1] . Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.
Алгебраическое решение вертикальных углов
Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г
См. также
Литература
- ↑Euclid The Elements. — c. 300 BC. Proposition I:13.
Ссылки
-
With interactive applet with interactive applets that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Вертикальные углы" в других словарях:
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Большой Энциклопедический словарь
Вертикальные углы — пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рис. две пары В. у. Рис. к ст. Вертикальные углы … Большая советская энциклопедия
вертикальные углы — см. Угол. * * * ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
углы геометрической видимости — Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор параллелен грунту. Эти сегменты… … Справочник технического переводчика
углы геометрической видимости — 2.12 углы геометрической видимости: Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Инсоляционные углы светопроема — горизонтальные и вертикальные углы, в пределах которых на плоскости светопроема возможно поступление прямых солнечных лучей. При расчете инсоляционных углов глубина световых проемов принимается равной расстоянию от наружной плоскости стены до… … Официальная терминология
ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия
ГОСТ Р ИСО 12509-2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели — Терминология ГОСТ Р ИСО 12509 2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели оригинал документа: 3.1.5 габаритная ширина (overall width): Расстояние между двумя вертикальными плоскостями объемного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.
Теорема о смежных и вертикальных углах
Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.
Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.
Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.
Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Смежные углы
Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:
- угол, смежный с прямым, является прямым; смежный с острым – тупым; смежный с тупым – острым;
- чем больше угол, тем меньше СУ, и наоборот;
- биссектрисы СУ образуют прямой угол.
Приведем пример решения задачи со СУ.
Задача
∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.
Решение
Ответ: ∠1=54°, ∠2= 126°.
Вертикальные углы
Отметим также неупомянутые свойства ВУ:
- ВУ по-другому называют углом между двумя прямыми;
- биссектрисы ВУ лежат на одной прямой.
Приведем пример решения задачи с ВУ.
Задача
Пусть на рисунке 1 ∠ C O D равен 45° . Чему равны ∠ A O B и ∠ A O C ?
Решение
Так как ∠ C O D и ∠ A O B вертикальные, то значит, они равны, а тогда:
\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)
\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)
Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)
Начертите две пересекающиеся прямые. Углы, образованные их пересечением, называются вертикальными. Каждые две прямые, пересекаясь, образуют четыре вертикальных угла.
Углы называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.
Теорема о вертикальных углах
Вертикальные углы равны
Доказательство
- Пусть $a \cap b = O$.
Пусть $A, B \in a$, и $O$ лежит между$A$ и $B$
Тогда $ \angle AOB$ — развернутый, равен $180 \degree$ - Пусть $C, D \in b$, и $O$ лежит между $C$ и $D$
Tогда $\angle DOC$ – развеpнутый и равен $180 \degree$ - $\color \angle AOC$ и $\color \angle COB$ – смежные
$ \angle AOB = \textcolor+ \textcolor= 180 \degree$. - $\color \angle COB$ и $\color \angle BOD$ – смежные
$ \angle COD = \textcolor+ \textcolor= 180 \degree$ - Значит, $\textcolor+ \textcolor= \textcolor+ \textcolor$
Отсюда $\textcolor= \textcolor$.
Задача 1
Найти углы, образованные пересечением двух прямых, если сумма двух из них равна $114$ градусов.
Короткая запись условия:
- $a \cap b = O$;
- $A \in a, B \in a, O$ находится между $A$ и $B$;
- $C \in b, D \in b, O$ находится между $C$ и $D$;
- $ \angle COB$ и $ \angle AOD$ – верт. $ \angle AOC$ и $ \angle BOD$ — верт.
- $ \angle COB + \angle AOD = 114 \degree$.
Найти: $ \angle COB, \angle AOC, \angle BOD, \angle AOD$.
Решение и чертеж:
На примере этой задачи мы видим, как важно научиться правильно делать короткую запись условия. Уже на этом этапе удается получить первые подсказки для решения. Например, пытаясь написать, что сумма некоторых двух углов из четырех, образованных пересечением прямых, равна $114 \degree$, мы уже увидели, что это могут быть только вертикальные, но никак не смежные углы, поскольку сумма смежных углов всегда равна $180 \degree$.
Поскольку в задаче не указано, сумма каких именно вертикальных углов равна $144 \degree$, мы выбрали пару произвольно. Собственно, мы и углы назвали сами, как захотели, поскольку в задаче ничего не говорится ни о названиях прямых, ни о точках, ни об углах.
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).
∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.
Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:
Сумма смежных углов
Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.
∠ABD + ∠DBC = 2d,
где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).
Вертикальные углы
Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:
∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.
Равенство вертикальных углов
Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:
Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3
Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.
Читайте также: