Теорема о площади треугольника 9 класс кратко

Обновлено: 07.07.2024

Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 ah_a
Также мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона): S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где p = (a + b + c)/2.
Выведем формулу для вычисления площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними.
Для этого воспользуемся методом координат.
Расположим треугольник ABC в координатной плоскости так, чтобы точка C совпадала с началом координат, точка B лежала на положительной полуоси Cx, а точка А располагалась в верхней полуплоскости. Найдём координаты точки А.

S = 1/2 ah,
h = b sin C,
S = 1/2 a b sin C
Подставив выражение для вычисления высоты в формулу для вычисления площади треугольника получили, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Теперь рассмотрим параллелограмм АВСD.

Диагональ ВD разбивает параллелограмм на два треугольника: треугольник АВD и треугольник СDВ. Тогда площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих треугольников: S_ABCD = S_ABD + S_CDB
S_ABD = 1/(2) AB  AD sin⁡A
Треугольники АВD и СDВ равны по трём сторонам. Следовательно, S_ABD = S_CDB
Подставим формулу для вычисления площади треугольника в выражение для нахождения площади параллелограмма.
S_ABCD = 1/2 AB  ADsin⁡A + 1/2 AB  AD sin⁡A
Получаем, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S_ABCD = AB ∙ AD ∙ sin⁡A

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Для всех треугольников

Площадь треугольника по основанию и высоте

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Для равнобедренных треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

Площадь треугольника - это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Одну из сторон треугольника часто называют основанием. Если основание выбрано, то под словом "высота" подразумевают высоту треугольника, проведенную к основанию.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС

Доказать: S = АВ СН

Доказательство:

Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. АВС = DCB (по трем сторонам (ВС - общая, AB = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABCD)), а у равных многоугольников равные площади, значит площади данных треугольников равны. Следовательно, площадь S - площадь АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S = АВ СН. Теорема доказана.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Доказательство

Дано: АВС, СН - высота, S - площадь АВС, А₁В₁С₁, В₁Н₁ - высота, S₁ - площадь А₁В₁С₁, А = А₁

Доказать:

Доказательство:

Наложим треугольник А₁В₁С₁ на треугольник АВС так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной А, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ наложились соответственно на лучи АВ и АС.

Треугольники АВС и АВ₁С имеют общую высоту СН, поэтому

Треугольники АВ₁С и АВ₁С₁ также имеют общую высоту - В₁Н₁, поэтому

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ площадь треугольника.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная. И.Ф.Шарыгин

А B C 5 13 12 M N K 8 17 15

X Y M A O (OA cosα ; ОА  sin α) α 1 1 -1

X M O α K Y A(1; 0) В(0; 1) С(- 1; 0)

1). ∆ АВС – равнобедренный. АВ = ВС = 8см, А = 60˚. S∆ = ? А B C H

2). ∆ АВС. АВ = 6см, АС = 8см, А = 60˚ . S∆ = ? А B C H

3). ∆ АВС. АВ = 6см, АС = 8см, А = 75˚ . S∆ = ? А B C H

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. S = · a·b·sin

2). Найти площадь треугольника ABC, если BC = 3 см, AB = 18√2 см, угол B= 45 1). Найти площадь треугольника ABC, если AB = 62 см, АС = 4 см,  А = 60 4). Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚. 3). Найти площадь треугольника ABC, если AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 30

5). Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 15 и боковой стороной 5 см. Домашнее задание. № 1020 (задачи на применение новой формулы) и № 1022. 6). ∆ АВС. АВ = 8см, АС = 17см, cos А = . S∆ = ?

Выбранный для просмотра документ теорема о площади треугольника.doc

Тоболева Наталья Владимировна,

учитель математики высшей категории

МОУ СОШ №5 г.Гусева Калининградской области.

- Доказать теорему о площади треугольника.

- Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о площади треугольника.

- Развивать математическое и логическое мышление, самостоятельность. Учить работать с книгой, чертежами и дополнительным материалом.

- Воспитывать уважительное отношение к своему и чужому труду, умение выступать и слушать.

Оборудование:

- листы с заданиями с копировальной бумагой;

- распечатанные задания для устного счета и домашнего задания.

- готовые чертежи для демонстрации.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Организация учебного процесса на этапе 1

1 слайд Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная.

-Вы догадались, о какой фигуре на уроке пойдет речь (о треугольнике)?

- Как вы думаете, можете ли вы узнать что-то новое о треугольнике ( да)

-Тогда этим мы и займемся.

А сейчас мы с вами повторим теоретический материал

1.Дайте определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.

Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника

Дайте определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника

2 слайд 2. 1) Чему равен синус угла А

2) Чему равен тангенс угла В

3) Чему равен косинус угла В

3. Проверить табличные значения синуса, косинуса и тангенса. Выборочно, после самопроверки, данные значения спрашивает учитель.
(например: Чему равен sin60˚? Косинус какого угла равен 1? и т.д.)

3 слайд 4.Обясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка от 0  до 180 

5. Какие формулы используются для вычисления координат точки А?

( Х= ОА  cos α , Y = ОА  sin α)

4 слайд 6. Найдите синус, косинус и тангенс углов

 АОМ

7.Назовите известные вам формулы для нахождения площади треугольника.

Давайте решим задачи, используя эти формулы:

∆ АВС – прямоугольный. АВ = 5, СВ = 3. S_∆ = ?

№ 2. ∆ АВС – равнобедренный. АВ = ВС = 8, А = 60˚. S_∆ = ?

∆ АВС. АВ = 6, АС = 8, А = 60˚. S_∆ = ?

∆ АВС. АВ = 6, АС = 8, А = 75˚. S_∆ = ?

Надо найти метод решения, чтобы задачи решались независимо от значения угла. (Таким образом, последняя задача демонстрирует нерациональность решения, опираясь на прежние знания или недостаточность знаний по теме “Площадь треугольника”.). Попробуем сформулировать проблемную задачу, тем самым поставим цель сегодняшнего урока (вывести новую формулу площади треугольника через две его стороны и угол между ними).

Давайте проанализируем, что мы получили в результате решения этой задачи

Ребята делают вывод, формулируют теорему,

5. Первичное закрепление.

5) Найти площадь треугольника ABC, если AB = 6  8 см, АС = 4 см, угол А = 60 

6) Найти площадь треугольника ABC, если BC = 3 см, AB = 18√2 см, угол B= 45 

7) Найти площадь треугольника ABC, если AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 30 

8) Площадь треугольника ABC равна 60 см 2 . Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.

6. Систематизация новых знаний.

7. Домашнее задание.

№ 1020 (задачи на применение новой формулы) и № 1022.

Краткое описание документа:

Цель данного урока доказать теорему о площади треугольника, научиться решать задачи на применение теоремы о площади треугольника, развивать математическое и логическое мышление, самостоятельность.На уроке используется технология проблемного обучения, специально созданная система специфических приемов и методов, которые способствуют тому, чтобы обучающийся самостоятельно добывал знания и учился самостоятельно их применять в решении новых познавательных и практических задач, а не получал знания в готовом виде или решал задачи по образцу. Без создания проблемных ситуаций потенциальные развивающие возможности занятий используются не в полной мере. Проблемное обучение вносит в процесс познания учащихся поисково-исследовательский характер, развивает теоретическое мышление, формирует познавательный интерес к содержанию учебных предметов.

Читайте также: