Теорема лагранжа доказательство кратко

Обновлено: 05.07.2024

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна тонка с, что

Доказательство. Обозначим буквой Q число

т. е. положим и рассмотрим вспомогательную функцию определенную равенством

Выясним геометрический смысл функции F(x). Для этого напишем сначала уравнение хорды АВ (рис. 95), учитывая, что ее угловой коэффициент равен и что она проходит через точку

Но . Следовательно, для каждого. значения равняется разности ординат кривой y = f(x) и хорды для точек с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что непрерывна на отрезке дифференцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т. е. Следовательно, к функции применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка существует точка с такая, что Но Значит, откуда

Подставляя значение Q в равенство (2), будем иметь:

откуда непосредственно следует формула (1). Таким образом, теорема доказана.

Чтобы выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа, обратимся к рис. 95. Из рисунка непосредственно ясно, что величина представляет собой тангенс угла а наклона хорды, проходящей через точки А и В графика с абсциссами а и b.

С другой стороны, есть тангенс угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой с. Таким образом, геометрический смысл равенства (Г) или равносильного ему равенства (1) состоит в следующем: если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В.

Заметим, далее, следующее. Так как значение удовлетворяет усдовию то или где 0 есть некоторое число, заключенное между 0 и 1, т. е. Но тогда и формуле (1) можно придать следующий вид:

Теорема Лагранжа

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке.
Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя теорему Лагранжа к промежутку , получим

Однако во всех точках промежутка . Тогда

Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и , а производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в некоторой средней точке промежутка . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.

Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

Теорема(Лагранж) (о конечных приращениях). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство

f(b) – f(a) = f'(с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении).

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши, если положить φ(х) = х. В этом случае

φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1.

Подставляя эти значения в формулу , получаем или f(b) – f(a) = f'(с) (b – a).

Формула Лагранжа: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a, b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл формулы Лагранжа.

Запишем формулу Лагранжа в виде , где a

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ.

Следствие 1.Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть f'(х) = 0 для любого х є (a, b). Возьмем произвольные х₁ и х₂ из (a, b) и пусть х₁

Пусть существует число $\delta > 0$ такое, что функция $f(x)$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_$, то есть на множестве $U_(x_0)=(x_0-\delta,x_+\delta)$, и пусть для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\geq f(x_).\label
$$
Тогда говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный минимум.

Аналогично, если существует число $\delta > 0$ такое, что для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\leq f(x_).\label
$$
то говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция $y=f(x)$, график которой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках $x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=4$, а именно минимумы при $x=1$ и $x=4$ и максимум при $x=3$.

Если функция $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x_0$ и дифференцируема в этой точке, то
$$
f'(x_0)=0\label
$$

$\circ$ Пусть, например, функция $f(x)$ имеет локальный минимум в точке $x_0$. Тогда в силу \eqref для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_)\geq 0.\label
$$
Если $x\in (x_0-\delta,x_0)$, то \(x-x_0 Рис. 17.2

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке локального экстремума $(x_0,f(x_0))$ параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).

Теорема Ролля о нулях производной.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, принимает в концах этого отрезка равные значения, то есть
$$
f(a)=f(b),\label
$$
и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
f'(\xi)=0.\label
$$

Если $m=M$, то $f(x)=\operatorname$, и в качестве $\xi$ можно взять любую точку интервала $(a,b)$.

Если $m\neq M$, то $m 0$ такое, что $U_(c_)\subset (a,b)$. Так как для всех $x\in U_(c_)$ выполняется условие $f(x)\geq f(c_)=m$, то по теореме Ферма $f'(c_)=0$, то есть условие \eqref выполняется при $\xi=c_$. Аналогично рассматривается случай, когда $c_\in(a,b).\quad \bullet$

Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая $f(a)=f(b)=0$ теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы 2 существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна оси $Ox$ (рис. 17.3).

Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 17.4—17.6 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале $(-2,2)$, в которой производная была бы равно нулю.

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то в этом интервале найдется хотя бы одна точка $\xi$ такая, что
$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda x,\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi(a)=\varphi(b)$, то есть $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b$. Отсюда находим
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0$. Отсюда в силу условия \eqref получаем равенство
$$
f'(\xi)=\frac,\label
$$
равносильное равенству \eqref. $\bullet$

Правая часть, формулы \eqref равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$ графика функции $y=f(x)$, а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $(\xi,f(\xi))$. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна секущей (рис. 17.7), соединяющей точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$.

Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Если $x_\in[a,b]$, а приращение $\Delta x\neq 0$ таково, что точка $x_+\Delta x$ также принадлежит отрезку $[a,b]$, то, применив теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке $l$ с концами $x_0$ и $x_0+\Delta x$ ($\Delta x$ может быть и отрицательным), получим
$$
f(x_+\Delta x)-f(x_)=\Delta xf'(\xi),\label
$$
где $\xi$ — некоторая внутренняя точка отрезка $l$.

Пусть, $\Delta x > 0$; тогда \(0 Пример 1.

$$
\operatorname(1+x) 0,\label
$$
$$
|\operatornamex_2-\operatornamex_1|\leq|x_-x_|,\quad x\in\mathbb,\ x\in\mathbb.\label
$$

$\triangle$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\operatorname(1+x)$ на отрезке $[0,x]$, где $x > 0$, получаем $\operatorname(1+x)=\displaystyle \frac<1+\xi>x$ откуда следует неравенство \eqref, так как \(0

Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $f'(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$, то
$$
f(x)=C=\operatorname,\quad x\in (a,b).\nonumber
$$

$\circ$ Пусть $x_$ — фиксированная точка интервала $(a,b)$, $x$ — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке с концами $x_0$ и $x$ получаем
$$
f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi),\nonumber
$$
где $\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0$, откуда $f(x)=f(x_)=C$. $\bullet$

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство $f'(x)=k$, где $k$ — постоянная, то
$$
f(x)=kx+B,\quad x\in[a,b],\nonumber
$$
то есть $f$ — линейная функция.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f$ на отрезке $[a,x]$, где $a\leq x\leq b$, получаем $f(x)-f(a)=k(x-a)$, откуда следует, что $f(x)=kx+B$, где $B=f(a)-ka$. $\bullet$

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$, за исключением, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, и непрерывна в точке $x_0$. Тогда если существует конечный или бесконечный
$$
\lim_-0>f'(x)=A,\label
$$
то в точке $x_0$ существует левая производная, причем
$$
f_'(x_)=A.\label
$$

Аналогично, если существует
$$
\lim_+0>f'(x)=B,\label
$$
то
$$
f_'(x_0)=B.\label
$$
$\circ$ Пусть приращение $\Delta x$ таково, что $\Delta x\neq 0$ и точка $x_0+\Delta x$ принадлежит интервалу $(a,b)$. Запишем равенство \eqref в виде
$$
\frac=f'(x_+\theta\Delta x),\quad 0

Найти точки разрыва функции $f'(x)$, если
$$
f(x)=\left\
\displaystyle x^2\sin> & при\ x\neq 0,\\\nonumber
0 & при\ x=0.\nonumber
\end\right.
$$

$\triangle$ Если $x\neq 0$, то $f'(x)=2\displaystyle \sin\frac-\cos\frac$, а если $x=0$, то по определению производной $f'(0)=\displaystyle\lim_\frac<\displaystyle x^2\sin<\frac>>=0$. Следовательно, функция $f'(x)$ определена на $\mathbb$ и непрерывна при $x\neq 0$. В точке $x=0$ эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
$$
f'(x)=2x\sin\frac-\cos\frac\quad при \ x\rightarrow 0.\quad \blacktriangle\nonumber
$$

Если функции $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы при $x\geq x_0$ и удовлетворяют условиям $\varphi(x_0)=\psi(x_0)$, $\varphi'(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$, то $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_$.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\varphi(x)-\psi(x)$ на отрезке $[x_0,x]$, где $x > x_0$, получаем $f(x)=f'(\xi)(x-x_0)$, так как $f(x_0)=0$. Отсюда, учитывая, что
$$
\xi > х_0,\ f'(\xi)=\varphi'(\xi)-\psi'(\xi) > 0,\nonumber
$$
получаем $f(x) > 0$, то есть $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$. $\bullet$

$\triangle$ Пусть $\varphi(х)=\operatorname(1+x)$, $\psi(x)=x-\displaystyle \frac>$, тогда $\varphi(0)=\psi(0)$, $\displaystyle \varphi'(x)=\frac$, $\psi'(x)=1-x$, и при $x > 0$ справедливо неравенство $\displaystyle \frac > 1-x$, так как при $x > 0$ это неравенство равносильно очевидному неравенству $1 > 1-x^2$. Применяя следствие 4 к функциям $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, получаем неравенство \eqref. $\blacktriangle$

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g'(x)\neq 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
\frac=\frac.\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi(a)=\varphi(b)$, которое равносильно следующему:
$$
f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.\label
$$
Заметим, что $g(b)\neq g(a)$, так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка $c\in(a,b)$ такая, что $g'(c)=0$ вопреки условиям теоремы. Итак, $g(b)-g(a)\neq 0$, и из равенства \eqref следует, что
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, а при значении $\lambda$ определяемом формулой \eqref, принимает равные значения в точках $a$ и $b$, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=0$ и , то есть $f'(\xi)+\lambda g'(\xi)=0$, откуда $\displaystyle \frac=-\lambda$. Из этого равенства и формулы \eqref следует утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши $(g(x)=x)$.

Теорему Коши нельзя получить, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства \eqref.

Действительно, эту дробь, по теореме Лагранжа можно записать в виде $\displaystyle \frac$, где $\xi_\in (a,b),\ \xi_\in (a,b)$, но, вообще говоря, $\xi_\neq\xi_$.

Если функция непрерывна на отрезке , а также дифференцируема на интервале , то на интервале найдется хотя бы одна точка , для которой будет справедливо равенство:

$\[ \frac<f(b)-f(a)> = f$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

На графике функции найдется точка, касательная к которой параллельна отрезку, соединяющему точки графика с абсциссами и (рис. 1).

Примеры решения задач

$f(1) = -1^ +2 \cdot 1 = 1 \text< >;\text < >f(3) = -3^+2 \cdot 3 = -3$

$\frac<f(3)-f(1)> = \frac=-2$

Таким образом . Найдем производную заданной функции . В точке производная равна

Получили уравнение относительно . Решая его, получим, что . Эта точка принадлежит заданному интервалу .

Задание	На дуге кривой между точками и найти точку , касательная в которой параллельна хорде .
Решение	Согласно геометрическому смыслу теоремы Лагранжа, абсцисса точки удовлетворяет условию:

$\[ \frac<f(b)-f(a)> = f$

Найдем значение правой части этого равенства:

$\frac<0-(-6)> = 2$

Тогда . Вычислим производную заданной функции . В точке она будет иметь значение

Решая полученное уравнение относительно , имеем

$3c^ = 3 \text < >\Rightarrow \text < >c^=1 \text < >\Rightarrow \text < >c = \pm 1$

По условию теоремы Лагранжа , таким образом, подходит значение . Найдем ординату точки

$f(c)=(-1)^<3> -(-1)=0$

Читайте также: