Теорема больцано вейерштрасса доказательство кратко

Обновлено: 30.06.2024

Теорема Вейерштрасса — фундаментальная теорема матанализа, которая состоит из двух частей:

Сейчас мы сформулируем и докажем обе эти теоремы. Прежде всего дадим определения, на которые будем опираться:

Определение 1. Функция $f\left( x \right)$ непрерывна в точке $x=a$, если $\lim\limits_f\left( x \right)=f\left( a \right)$.

Определение 2. Функция $f\left( x \right)$ непрерывна на интервале $\left[ a;b \right]$, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом на концах отрезка речь идёт об односторонней непрерывности.

Всё это подробно разобрано в уроке про непрерывность функции в точке. Перейдём к теоремам.

1. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции

Теорема 1. (об ограниченности непрерывной функции) Функция, непрерывная на отрезке $\left[ a;b \right]$, ограничена на этом отрезке.

Другими словами, найдётся $M\in \mathbb$ такое, что

\[\forall \left( x\in \left[ a;b \right] \right)\quad \left| f\left( x \right) \right| \lt M\]

Приведу два доказательства — выбирайте то, которое больше нравится именно вам (или вашему преподу).

1.1. Доказательство методом Больцано

Предположим противное: пусть $f\left( x \right)$ не ограничена на $\left[ a;b \right]$. Обозначим середину этого отрезка $_>=<\left( a+b \right)>/\;$ и рассмотрим два новых отрезка:

Вместе эти отрезки покрывают отрезок $\left[ a;b \right]$. Следовательно, функция $f\left( x \right)$ не ограничена как минимум на одном из них. Иначе если $f\left( x \right)$ ограничена на обоих отрезках, то она будет ограничена и на из объединении, что противоречит нашему предположению.

Проделаем эту операцию много раз. Получим последовательность стягивающихся отрезков:

\[_>\supset _>\supset \ldots \supset _>\supset \ldots \]

Длина отрезка $_>$ равна $\left| _> \right|=\left| b-a \right|\cdot ^>$ и стремится к нулю при $n\to +\infty $. По лемме о стягивающихся отрезках существует точка $_>\in \mathbb$ такая, что $_>\in _>$ для любого $n\in \mathbb$.

Кроме того, $_>\in \left[ a;b \right]$, поэтому функция $f\left( x \right)$ непрерывна в т.ч. и в точке $x=_>$:

Вспомним определение предела функции в точке:

\[\begin & \lim\limits__>> f\left( x \right)=f\left( _> \right)\Rightarrow\\ & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( \delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0 \right): \\ & x\in <<\overset<\circ ><\mathop>\,>_>\left( _> \right)\Rightarrow \left| f\left( x \right)-f\left( _> \right) \right| \lt \varepsilon\\ \end\]

Возьмём $\varepsilon =1$. Следовательно, найдётся $\delta =\delta \left( 1 \right) \gt 0$ такое, что в проколотой $\delta $-окрестности точки $_>$ выполняется условие $\left| f\left( x \right)-f\left( _> \right) \right| \lt 1$. Но тогда

Получается, что внутри $\delta $-окрестности функция ограничена числом $M=1+\left| f\left( _> \right) \right|$. Но поскольку $\delta \gt 0$ — фиксированное положительное число, а длины отрезков $\left| _> \right|=\left| b-a \right|\cdot ^>$ стремятся к нулю, начиная с какого-то момента эти отрезки будут полностью лежать внутри этой $\delta $-окрестности:

Мы даже можем приблизительно вычислить этот момент — достаточно потребовать, чтобы величина $\delta $ оказалась больше длины $\left| _> \right|$:

Но тогда для всякого такого отрезка, полностью лежащего в $\delta $-окрестности точки $_>$, одновременно выполняется два условия:

Функция $f\left( x \right)$ ограничена на этом отрезке, потому что $\left| f\left( x \right) \right| \lt \left| f\left( _> \right) \right|+1$;
Функция $f\left( x \right)$ не ограничена на этом отрезке, потому что мы так выбрали $_>$.

Получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема доказана.

1.2. Доказательство по Гейне

Рассмотрим более хитрое доказательство, которое опирается на теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности.

Итак, нужно доказать, что функция, непрерывная на отрезке $\left[ a;b \right]$, будет ограничена на этом отрезке. Вновь предположим, что это не так: пусть функция $f\left( x \right)$ не ограничена, т.е.

Рассмотрим натуральные значения $c$.

Пусть $c=1$. Тогда найдётся $_>\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( _> \right) \right| \gt 1$.

Пусть $c=2$. Тогда найдётся $_>\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( _> \right) \right| \gt 2$.

Продолжаем так много раз. Пусть $c=n$. Тогда найдётся $_>\in \left[ a;b \right]$ такое, что $\left| f\left( _> \right) \right| \gt n$.

Получили последовательность $\left\< _> \right\>$, которая бесконечна и ограничена: $a\le _>\le b$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $\left\< _<<_>>> \right\>$:

Но поскольку члены последовательности $a\le __>>>\le b$, её предел $\xi \in \left[ a;b \right]$ (почему это так — смотрите свойства предела последовательности), и функция $f\left( x \right)$, непрерывная на $\left[ a;b \right]$, будет непрерывна и в точке $x=\xi $.

Согласно определению непрерывности функции по Гейне имеем

С другой стороны, последовательность \[\left\< __>>> \right\>\] сконструирована таким образом, что

Но тогда предел

Получаем, что один и тот же предел одновременно равен и $f\left( \xi \right)\in \mathbb$, и $\infty \notin \mathbb$. Чего не может быть, поскольку если предел существует, то он единственный.

Вновь получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции доказана.

1.3. Важное замечание

Эту теорему можно обобщить, рассмотрев вместо отрезка произвольный компакт.

С другой стороны, если вместо отрезка рассмотреть интервал (или любое другое открытое множество), то теорема будет не верна!

Пример 1. Функция $y= \operatornamex$, где $x\in \left( -\frac<\pi >;\frac<\pi > \right)$.

Тангенс непрерывен в каждой точке указанного интервала, однако неограниченно возрастает при $x\to <\pi >/\;$ и неограниченно убывает при $x\to -<\pi >/\;$.

Принципиально важно, чтобы функция была определена на концах отрезка $\left[ a;b \right]$, т.е. принимала бы конкретные значения $f\left( a \right)$ и $f\left( b \right)$. И следовательно, была бы ограниченна в некоторой $\delta $-окрестности этих концов.

2. Теорема Вейерштрасса о достижении максимума и минимума

В матанализе есть понятие локального максимума и минимума (смотрите раздел про производные), поэтому при формулировке теоремы Вейерштрасса лучше говорить о точной верхней грани и точной нижней грани значений функции на отрезке:

Докажем эту теорему только для точной верхней грани. Затем достаточно рассмотреть функцию $g\left( x \right)=-f\left( x \right)$ и заметить, что

2.1. Доказательство для точной верхней грани

Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на $\left[ a;b \right]$. Тогда по теореме Вейерштрасса об ограниченности, которую мы доказали выше, найдётся такое $M\in \mathbb$, что

\[\forall \left( x\in \left[ a;b \right] \right)\quad \left| f\left( x \right) \right| \lt M\]

Но тогда существует точная верхняя грань

Докажем теорему от противного. Пусть $A\ne f\left( x \right)$ для любого $x\in \left[ a;b \right]$. Тогда очевидно, что $A \gt f\left( x \right)$ при каждом $x\in \left[ a;b \right]$.

Рассмотрим функцию $g\left( x \right)=A-f\left( x \right)$. Она непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Кроме того для всякого $x\in \left[ a;b \right]$

\[g\left( x \right)=A-f\left( x \right) \gt 0\]

тоже непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$ и принимает лишь положительные значения. Но тогда $_>\left( x \right)$ ограничена на $\left[ a;b \right]$. Следовательно, найдётся число $B \gt 0$ такое, что

\[\begin A-f\left( x \right) & \gt \frac \gt 0 \\ f\left( x \right) & \lt A-\frac \\ \end\]

Получается, что мы нашли верхнюю грань $A-/\;$, которая меньше точной верхней грани $A=\sup\limits_ f\left( x \right)$.

Но это противоречит определению точной меньшей грани. Следовательно, исходное предположение неверно. Теорема доказана.

$\mathbb<R> Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства ^n$
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности ( n = 1 ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга ее сформулировали и доказали.

Содержание

Формулировки

Известно несколько формулировок теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Первая формулировка

$\mathbb<R> Пусть предложена последовательность точек пространства ^n$
:

$x_1, x_2, \ldots$

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

$\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots$

где C > 0 — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

$x_<k_1> , x_, \ldots$

$\mathbb<R> которая сходится к некоторой точке пространства ^n$
.

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

Расширенный вариант первой формулировки

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства ^n" width="" height="" />
неограничена, то из нее можно выделить последовательность, имеющую пределом .

Для случая n = 1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака ( или ).

$\overline<\mathbb<R> Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел >$
.

Вторая формулировка

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество E пространства ^n " width="" height="" />
имеет по крайней мере одну предельную точку в ^n " width="" height="" />
.

Более подробно, это означает, что существует точка ^n " width="" height="" />
, всякая окрестность (x_0) " width="" height="" />
которой содержит бесконечное число точек множества E .

Пусть E — ограниченное бесконечное подмножество пространства ^n " width="" height="" />
. Возьмем в E последовательность различных точек

$x_1, x_2, \ldots$

Поскольку эта последовательность ограничена, в силу первой формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность

$x_<k_1> , x_, \ldots$

$x_0 \in \mathbb<R> сходящуюся к некоторой точке ^n$
. Тогда всякая окрестность точки x₀ содержит бесконечное число точек множества E .

Обратно, пусть дана произвольная ограниченная последовательность точек пространства ^n " width="" height="" />
:

Множество значений E данной последовательности ограничено, но может быть как бесконечным, так и конечным. Если E конечно, то одно из значений повторяется в последовательности бесконечное число раз. Тогда эти члены образуют стационарную подпоследовательность, сходящуюся к точке a .

$x_0 \in \mathbb<R> Если же множество E бесконечно, то в силу второй формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса, существует точка ^n$
, в любой окрестности которой имеется бесконечное много различных членов последовательности.

Выберем последовательно для точки \in U_(x_0)" width="" height="" />
, соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность , x_, \ldots " width="" height="" />
сходится к точке x₀ .

Доказательство

Теорема Больцано — Вейерштрасса выводится из свойства полноты множества действительных чисел. В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков.

Одномерный случай

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

$x_1, x_2, \ldots$

Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим [a₀,b₀] .

Разделим отрезок [a₀,b₀] пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₁,b₁] .

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком [a₁,b₁] : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₂,b₂] .

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков

$[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots$

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности x_k> .

Длины отрезков стремятся к нулю:

$|b_m - a_m| = \frac<|b_0 - a_0|> \to 0$

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка ξ , принадлежащая всем отрезкам:

$a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots$

По построению на каждом отрезке [a_m,b_m] лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательно

$x_<k_m> \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots$

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность \> " width="" height="" />
сходится к точке ξ . Это следует из того, что расстояние от " width="" height="" />
до ξ не превосходит длины содержащего их отрезка [a_m,b_m] , откуда

$|x_<k_m> - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \to 0$

Распространение на случай пространства произвольной размерности

Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

$\mathbb<R> Пусть дана последовательность точек пространства ^n$
:

$\begin x_1 = (x_1^, x_1^, \ldots, x_1^) \\ x_2 = (x_2^, x_2^, \ldots, x_2^) \\ \ldots \\ \end$

$\mathbb<R> (нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ^n$
ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

$x_1^ , x_2^, \ldots$

$\nu = 1, \ldots, n$

также ограничена ( — номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейрштрасса из последовательности x_k> можно выделить подпоследовательность точек \> " width="" height="" />
, первые координаты которых ^ \> " width="" height="" />
образуют сходяющуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности еще раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После n шагов получим некоторую последовательность

$x_<r_1> , x_, \ldots$

$x_1, x_2, \ldots$

являющуюся подпоследовательностью , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.

История

Теорема Больцано — Вейерштрасса (для случая n = 1 ) впервые была доказана чешским математиком Больцано в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, известной теперь как теорема Больцано — Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса, остались незамеченными.

Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Сегодня эта теорема носит имена Больцано и Вейерштрасса. Нередко эту теорему называют леммой Больцано — Вейерштрасса, а иногда леммой о предельной точке.

Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

$M \subset \mathbb<R> Теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает следующее интересное свойство ограниченного множества ^n$
: всякая последовательность точек M содержит сходящуюся подпоследовательность.

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приему: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из нее выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. Например, именно так доказывается теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Фреше вводит следующее определение: множество M называется компактным, или же компактом, если всякая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества. При этом предполагается, что на множестве M определена метрика, то есть оно является метрическим пространством, либо подмножеством метрического пространства.

Если исходить из этого определения, то не всякое ограниченное множество ^n " width="" height="" />
является компактным: подпоследовательность точек из M может сходится к точке, уже не принадлежащей этому множеству. Однако замыкание ограниченного множества уже будет компактом. Тем самым теорема Больцано — Вейерштрасса устаналивает достаточное условие компактности в пространстве ^n " width="" height="" />
: для того чтобы множество ^n " width="" height="" />
было компактным достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным. Нетрудно убедится в необходимости этих условий (это намного проще, чем доказать достаточность).

Таким образом, с точки зрения общего определения компактности роль теоремы Больцано — Вейерштрасса заключается в том, что она устанавливает критерий компактности в пространстве ^n " width="" height="" />
: компакты в ^n " width="" height="" />
— в точности замкнутые ограниченные множества.

Пусть задана последовательность $\\>$. Рассмотрим строго возрастающую последовательность $\$ натуральных чисел, то есть такую, что
$$
n_ Теорема.

(Теорема Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$\circ$ Пусть $\\>$ — ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, то есть
$$
\exists a, \ b:\forall n\in\mathbb\rightarrow x_\in\Delta=[a, \ b].\label
$$

Разобьем отрезок $\Delta=[a, \ b]$ пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков $[a, \ d], \ [d, \ b]$ содержит бесконечное число членов последовательности $\\>$. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $\Delta_1=[a_, \ b_]$, его длина равна
$$
b_-a_=\frac.\nonumber
$$

Разделив отрезок $\Delta_$ пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок $\Delta_=[a_,b_]$, содержащий бесконечное число членов последовательности $\\>$.

Продолжая эти рассуждения, получим последовательность $\<\Delta_n=[a_n, \ b_n]\>$ отрезков таких, что:

$\Delta_\supset\Delta_\supset\ldots\supset\Delta_\supset\Delta_\supset\ldots$;
$b_-a_=\displaystyle \frac<2^>\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$.

Следовательно, $\Delta_n$ — стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, то есть
$$
\exists c:\forall k\in\mathbb\rightarrow c\in\Delta_.\label
$$

Покажем, что найдется подпоследовательность $\>\>$ последовательности $\\>$ такая, что
$$
\lim_x_>=c.\label
$$

Так как отрезок $\Delta_$ содержит бесконечное число членов последовательности $\$, то
$$
\exists n_\in\mathbb:x_\in\Delta_.\nonumber
$$

Отрезок $\Delta_$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому
$$
\exists n_2>n_1: x_\in\Delta_2.\nonumber
$$
Вообще, можно записать, что
$$
\forall k\in\mathbb\quad\exists n_k: \ x_\in\Delta_k, \ где \ n_1 Замечание.

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать так: любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Теорема Больцано-Вейерштрасса (или лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке).

Из всякой ограниченной последовательности точек пространства $R^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку $x$. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке $x$ .

Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Доказательство. Действительно, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Пусть $\left\\right\>$ - ограниченная последовательность, элементы которой принадлежат промежутку $[a;b]$ . Тогда предел $c$ любой сходящейся подпоследовательности $\left\>\right\>$ этой последовательности также находится на сегменте $[a;b]$ .

Доказательство. Действительно, так как для любого номера $k_n$ имеет место соотношение $a \le x_> \ge b$, то в силу утверждения, что если все элементы сходящейся последовательности $\$ находятся на сегменте $[a;b]$, то и ее предел $c$ также находится на этом сегменте, выполняются неравенства $a \le c \ge b$. То есть $c \in[a ; b]$ .

Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность $\left\ ; 2 ; \frac ; \ldots ; n ; \frac ; \ldots\right\>$ - неограниченная, однако подпоследовательность $\left\\right\>=\left\<\frac\right\>=\left\<\frac ; \frac ; \ldots ; \frac ; \ldots\right\>$ ее элементов с четными номерами сходится.

Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности $\left\\right\>=\=\$ расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.

Историческая справка

Теорема Больцано-Вейерштрасса (для случая $n = 1$ ) впервые была доказана чешским математиком, философом и теологом Бернардом Больцано (1781 - 1848) в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, известной теперь как теорема Больцано-Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса, остались незамеченными. Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально она называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Эта теорема используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней.

Читайте также: