Тела вращения история возникновения кратко
Обновлено: 05.07.2024
Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Какие же основные тела вращения существуют?
- Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
- Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
- Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.
Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).
Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.
Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.
Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Описание презентации по отдельным слайдам:
История изучения тел вращения
Выполнила:
учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №1 г.Воткинска Колесникова Татьяна Павловна
Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел можно выводить из других свойств путем рассуждения.
Так возникли теоремы и доказательства.
Начальные сведения о свойствах тел вращения относятся ко времени зарождения геометрии как будущей математической науки. Еще за тысячи лет до наших времен земледельцы пытались хотя бы приблизительно узнать о собранном урожае, вычисляя размеры куч зерна и тех емкостей, где зерно сохраняли.
В связи с развитием мореплавании были нужны астрономические наблюдения, что заставляло человека изучать свойства шара и его частей. Длительное время зависимости между геометрическими величинами, с помощью которых производились различные вычисления, употреблялись как некоторые практические правила, без должного обоснования.
Уже в 7 в. до н.э. в Греции начали накапливаться знания в области, стереометрии, вырабатывались приемы математических рассуждений.
В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как
эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения
=3,1605
(погрешность менее 1 %).
Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различных цилиндрических тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:
Начали формироваться общие представления о пространственных фигурах и способах доказательства их свойств. Важная роль в изложении сведений по стереометрии в определенной логической последовательности принадлежит греческому математику Евклиду
( 3 в. до н.э. ), автору известного научного сочинения " Начала ", состоящему из 13 книг.
Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.
Формулу вычисления объёма конуса даёт Герон Александрийский.
великий физик, математик, механик и инженер древней Греции. Жил предположительно в I-II
века до нашей эры в Александрии Египетской.
Много работ Герона Александрийского было посвящено Математике. Больше всего в его работах формул по геометрии, задач по вычислению геометрических фигур. Так же здесь описывается и знаменитая формула Герона, с помощью которой можно вычислить площадь треугольника по трем сторонам. Надо отметить, что открыл эту формулу все-таки Архимед, а не Герон. Большинство формул приведенных Героном Александрийским в своих книгах приводятся без всяких доказательств, только с примерами.
Труды Евклида и Архимеда после их перевода на арабский язык, а с арабского на латинский проникают в Европу и создают основу для составления учебников для средних школ.
Сейчас мы знаем, что аналитически объём может быть выражен с помощью интегралов.
Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась к вычислению объёмов некоторых тел вращения, чем и была подготовлена почва для развития интегрального исчисления в 17-18 веках.
.
Жозеф Луи Лагранж
(Joseph Louis Lagrange)
Даты жизни: 25 января 1736 – 10 апреля 1813
Лагранж родился в Турине. Из-за материальных затруднений семьи он был вынужден рано начать самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание.
В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой вариационного исчисления. В этой работе он решил ряд задач, которые сам Эйлер не смог одолеть.
В середине 18 века Эйлер и Лагранж свободно владели двойным и тройным интегралами. В 1756 году Лагранж выразил с их помощью объёмы цилиндрических тел и площади криволинейных поверхностей
Эйлер Леонард
15 апреля 1707 года - 18 сентября 1783 года
Родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под руководством
Я. Бернулли), а в 1720-1724 годы в Базельском университете, где слушал лекции по математике
И. Бернулли.
В конце 1726 года Эйлер был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 года приехал в Петербург. В только что организованной Петром 1 академии Эйлер нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он очень быстро изучил русский язык.
За время существования Академии наук в России, видимо, одним из самых знаменитых ее членов был математик Леонард Эйлер.
Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К. Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках.
Эйлера-математика нередко характеризуют как гениального "вычислителя". Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид. Однако Эйлер был не только исключительной силы "вычислителем". Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.
Слайды и текст этой презентации
История изучения тел вращения
Выполнила:
учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №1 г.Воткинска Колесникова Татьяна Павловна
Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел можно выводить из других свойств путем рассуждения.
Так возникли теоремы и доказательства.
Начальные сведения о свойствах тел вращения относятся ко времени зарождения геометрии как будущей математической науки. Еще за тысячи лет до наших времен земледельцы пытались хотя бы приблизительно узнать о собранном урожае, вычисляя размеры куч зерна и тех емкостей, где зерно сохраняли.
В связи с развитием мореплавании были нужны астрономические наблюдения, что заставляло человека изучать свойства шара и его частей. Длительное время зависимости между геометрическими величинами, с помощью которых производились различные вычисления, употреблялись как некоторые практические правила, без должного обоснования.
Уже в 7 в. до н.э. в Греции начали накапливаться знания в области, стереометрии, вырабатывались приемы математических рассуждений.
В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как
эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения
=3,1605
(погрешность менее 1 %).
Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различных цилиндрических тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:
Начали формироваться общие представления о пространственных фигурах и способах доказательства их свойств. Важная роль в изложении сведений по стереометрии в определенной логической последовательности принадлежит греческому математику Евклиду
( 3 в. до н.э. ), автору известного научного сочинения " Начала ", состоящему из 13 книг.
Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.
Формулу вычисления объёма конуса даёт Герон Александрийский.
великий физик, математик, механик и инженер древней Греции. Жил предположительно в I-II
века до нашей эры в Александрии Египетской.
Много работ Герона Александрийского было посвящено Математике. Больше всего в его работах формул по геометрии, задач по вычислению геометрических фигур. Так же здесь описывается и знаменитая формула Герона, с помощью которой можно вычислить площадь треугольника по трем сторонам. Надо отметить, что открыл эту формулу все-таки Архимед, а не Герон. Большинство формул приведенных Героном Александрийским в своих книгах приводятся без всяких доказательств, только с примерами.
Содержание математических трудов Герона догматично, правила чаще всего не выводятся, а поясняются на примерах. Это сближает труды Герона с работами математиков Древнего Египта и Вавилона
Труды Евклида и Архимеда после их перевода на арабский язык, а с арабского на латинский проникают в Европу и создают основу для составления учебников для средних школ.
Сейчас мы знаем, что аналитически объём может быть выражен с помощью интегралов.
Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась к вычислению объёмов некоторых тел вращения, чем и была подготовлена почва для развития интегрального исчисления в 17-18 веках.
.
Жозеф Луи Лагранж
(Joseph Louis Lagrange)
Даты жизни: 25 января 1736 – 10 апреля 1813
Лагранж родился в Турине. Из-за материальных затруднений семьи он был вынужден рано начать самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание.
В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой вариационного исчисления. В этой работе он решил ряд задач, которые сам Эйлер не смог одолеть.
В середине 18 века Эйлер и Лагранж свободно владели двойным и тройным интегралами. В 1756 году Лагранж выразил с их помощью объёмы цилиндрических тел и площади криволинейных поверхностей
Эйлер Леонард
15 апреля 1707 года - 18 сентября 1783 года
Родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под руководством
Я. Бернулли), а в 1720-1724 годы в Базельском университете, где слушал лекции по математике
И. Бернулли.
В конце 1726 года Эйлер был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 года приехал в Петербург. В только что организованной Петром 1 академии Эйлер нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он очень быстро изучил русский язык.
За время существования Академии наук в России, видимо, одним из самых знаменитых ее членов был математик Леонард Эйлер.
Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К. Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках.
Эйлера-математика нередко характеризуют как гениального "вычислителя". Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид. Однако Эйлер был не только исключительной силы "вычислителем". Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.
Тема: Тела вращения в быту Проект выполнила : Студентка 14 -НК Линькова А.А.
Актуальность темы: расширяет знания в области геометрии позволяет узнать о геометрических фигурах, которые встречаются в быту архитекторы создают проекты с использованием форм тел вращения.
Задачи: Узнать историю появление тел вращения Распространение тел вращения в быту Использование тел вращения в архитектуре
Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
История создания: Первоначальные сведений о свойствах геометрических фигур люди нашли, наблюдая за окружающим миром и в практической деятельности. Позже ученые заметили, что некоторые свойства тел можно выводить путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.
В связи с развитием мореплавании были нужны астрономические наблюдения, что заставляло человека изучать свойства шара.
Уже в 7 в. до нашей эры в Греции начали накапливаться знания в области стереометрии.
Начали формироваться представления о пространственных фигурах и доказательства их свойств. Важную роль в исследовании стереометрии внес греческий математик Евклид. Начали формироваться представления о пространственных фигурах и доказательства их свойств. Важную роль в исследовании стереометрии внес греческий математик Евклид.
Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.
Свойства шара Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой. Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой. По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке являют собой её базу.
Формула вычисления объема шара: Площадь поверхности шара:
Геометрическая фигура шар встречается в быту. Например, футбольный мяч, елочная игрушка, глобус, надувной круг. Геометрическая фигура шар встречается в быту. Например, футбольный мяч, елочная игрушка, глобус, надувной круг.
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Свойства цилиндра: Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.
Геометрическая фигура цилиндр встречается в быту. Например, свеча, кастрюля, чашка
Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Свойства конуса: Все образующие конуса равны. Углы наклона образующих к основанию равны. Углы между осью и образующими равны. Углы между осью и основанием прямые.
Свойства конуса: Все образующие конуса равны. Углы наклона образующих к основанию равны. Углы между осью и образующими равны. Углы между осью и основанием прямые.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S(бок.)=πRl, где R — радиус конуса, l — образующая конуса. Площадь основания конуса вычисляется по формуле S(полн.) = S(бок.) + S(круга) = S(круга) =πR2. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S(полн.) =S(бок.) +S(круга) =πRl+πR2. Объём конуса вычисляют по формуле V = 13⋅H⋅ S(круга) = πR2⋅H3
Геометрическая фигура конус встречается и в быту. Например, мороженное, детская пирамида, елка.
Вывод Знание геометрических фигур не только расширяет кругозор человека , но и применяются в разных областях человеческой деятельности. Во многих профессиях они просто необходимы. Например, профессия архитектор, который занимается организацией пространства, разрабатывает сложнейшие чертежи зданий с необычной формой. Конструктор , который занимается технологическим проектированием , разрабатывает конструкции различного назначения и форм. И этот список можно перечислять долго . Из выше сказанного , можно сделать вывод, что знание геометрических фигур очень важно для человека .
Читайте также: