Тарский истина и доказательство кратко

Обновлено: 08.07.2024

Истина и доказательство

Предметом обсуждения в этой статье является старый вопрос, который довольно часто рассматривался в современной литературе, и поэтому нелегко сделать оригинальный вклад в его обсуждение. Я боюсь, что для многих читателей ни одна из идей, изложенных в этой статье, не покажется существенно новой. Однако я надеюсь, что они, возможно, проявят интерес к способу расположения и связывания материала.[1]

Предложение является истинным, если оно отмечает действительное положение дел.

Истинность предложения состоит в его согласии (или соответствии) с реальностью.

У автора в этом и других аналогичных местах речь идёт о соответствующих выражениях английского языка.

В каком состоянии возможна истина? Истина возможна только в том случае, если она материально адекватна и формально определена.

Автор исходит из понятия истины, которое было определено Аристотелем и которое имеет дело с адекватностью интеллекта вещи, оно принимается автором для достижения того, что он называет материальной адекватностью, когда предложение входит в отношение вещи, сделанного или чего-то, что происходит. Исходя из этого, он сформулирует формальную эквивалентность, где установит отношение: (V) X истинно, если p. где X соответствует названию предложения, то есть пропозиции, а p соответствует предложению, факту или вещи как таковой. Автор делает принципиальное уточнение: название предложения не совпадает с предложением, поскольку для эквивалентности оно дается как грамматическое отношение субъекта и типа сказуемого, имя предложения - это субъект, с помощью которого можно сказать что-то, что является фактическим состоянием вещи, и поэтому сказать, что оно истинно.

Эта схема еще не позволяет дать удовлетворительное определение истины, поскольку она отвечает ограничениям, заключающимся в том, что в ней представлен общий язык, поэтому автор будет включать семантические элементы, обеспечивающие средства для удовлетворения истины.

Общий язык - это система со многими неточностями и двусмысленностями, что делает семантику трудной для применения, потому что семантика нуждается в точности, чтобы действовать. Таким образом, общий язык-это семантически замкнутый язык, язык, где его значение относится к собственным выражениям, порождающим круг. Истина не может быть дана в семантически замкнутом языке, где их выражения относятся к самим себе и где инструменты для проверки правильности утверждения минимальны, поэтому общий язык-это семантически замкнутая система.

Используемые инструменты - это инструменты семантики, и в этой области понятие истины имеет модификацию. Семантика встречается в определенных языках, где могут быть выполнены критерии определения, обозначения и соответствия (эти свойства встречаются только в языках дедуктивной логики, поэтому семантика будет работать с этими языками, чтобы определить, является ли утверждение истинным) . Определение истины в семантике - это характеристика, которая находится в пределах метаязыка, охватывающего материальное и формальное, что позволяет оценивать истину с помощью деклараций.

Формальная эквивалентность - это отправная точка метаязыка для определения истинности утверждения, за которой следуют механизмы, с помощью которых мы демонстрируем, что эта истина выполняется. Эта истина дана для объектов или состояний объектов, которые происходят из семантически замкнутого языка, это называется объектным языком.

Механизмы в метаязыке задаются детализацией семантической системы, ее правилами, аксиомами, именами, знаками и т. д. Чем точнее, тем лучше инструменты для достижения действительно удовлетворяющего состояния. Единственные языки, которые обладают этой особенностью, - это языки дедуктивной логики.

С помощью этих языков можно определить истинность общих языковых утверждений, выполнив своего рода передачу данных. С помощью знаков логики высказывание переводится в терминах предиката, переменной или в зависимости от случая, и из этого применяются правила дедуктивной логики. Таким образом, существуют инструменты для проверки истинности утверждения.

Опровержения этой теории даются формой и простотой адекватно материальной концепции истины.

Первое опровержение - это критика денотации истины, поскольку она использует логические соединители, а они имеют семантическую интерпретацию. Мы имеем тогда X истинно ↔p автор понимает, что в первом случае интерпретация соединителя является семантической интерпретацией, которая не соответствует этому первому формальному этапу.

Второе опровержение связано с неполнотой формальной эквивалентности, поскольку неясно, к чему относится эквивалентность, если логическое отношение или описательное логическое отношение предлагается путем расширения определения формальной эквивалентности в первую очередь. (V) X истинно тогда и только тогда, когда P истинно, тогда (V) X истинно тогда и только тогда, когда p происходит для автора, это предложение показывает, что различие между именем предложения и предложением не ясно, так как он не понимает, что имя-это субъект, а предложение-то, что проповедуется, тогда p истинно и p происходит, они не обозначают, а только называют, таким образом, ничего не говорится.

Третье опровержение показывает, что обозначение истины бесполезно, так как исключение истинного из X истинно не влияет на его истинностное состояние. Автор отвечает, что это возможно не во всех случаях. Это возможно только тогда, когда только утверждение может свидетельствовать о своей истинности. Когда высказывание неточно, необходимо поставить истинный термин.

Четвертое опровержение - это включение метафизических элементов в определение истины. Автор видит, что это возражение соответствует неясности термина метафизика как нечто такое, что можно рассматривать как онтологию, как нематериализм или за отсутствием дедуктивных процедур. Автор отвечает на это тем, что определение истины-это конкретная система, в которой метаязык использует дедуктивные средства с использованием дедуктивной логики, предшествующего и конкретного определения знаков, правил и аксиом.

Пятое и последнее возражение касается неприменимости определения истины к эмпирическим наукам. Автор говорит, что эта теория применима в системе эмпирической науки, но что применимость заключается не в том, чтобы дать что-то конкретное, то есть семантическая концепция истины-это не поиск чего-то реального, а поиск когерентности внутри семантической системы. Эмпирические науки имеют семантическую систему, и именно в этой системе определение истины применимо, когда мы исследуем этот метаязык и видим его возможные недостатки. Поиск недостатков не имеет применимости к продуктам научной работы материально, но теоретически и вполне возможно, что понимание этих недостатков приводит к появлению новых теорий, позволяющих делать что-то практическое.

Теория истины возможна только в семантической системе, которая имеет различные инструменты, и теория стремится к согласованности в семантической системе. Поэтому истина возможна только в сочетании с семантическими элементами внутри метаязыка.

Программа 1933 года и семантическая концепция

Мы будем говорить, что язык является полностью интерпретированным, если все его предложения обладают значениями, благодаря которым эти предложения либо истинны, либо ложны. Все языки, рассматриваемые Тарским в статье 1933 года, были полностью интерпретированными — за одним исключением, которое описывается ниже в разделе 2.2. В этом состоит гласное различие между определением 1933 года и более поздним теоретико-модельным определением 1956 года, которое мы будем рассматривать в разделе 3.

Тарский описывает несколько ограничений на удовлетворительное определение истины.

Объектный язык и метаязык

В духе, свойственном его времени, Тарский заключил, что объектный язык L и метаязык М должны быть языками логики некоторого более высокого порядка. В наши дни в качестве метаязыка принято принимать какую-нибудь неформальную теорию множеств; это влияет на некоторые детали работы Тарского, но не на ее основное значение. Кроме того, в наши дни семантика, как правило, определяется с помощью теории множеств, так что, к примеру, строчка из букв становится последовательностью. В самом деле, чтобы работать с объектным языком, содержащим несчетное множество символов, нам необходимо использовать синтаксис теории множеств, как это и делали теоретики моделей на протяжении более полувека.

Формальная корректность

Для всех х Истинно(х), если и только если φ(x),

где Истинно никогда не встречается в φ; или же, в противном случае, определение должно быть доказуемо эквивалентно предложению такого вида. Эквивалентность должна быть доказуема за счет использования аксиом метаязыка, не содержащих символа Истинно. Такого рода определения, как правило, называют эксплицитными; впрочем, Тарский в своей статье 1933 года называет их нормальными.

Материальная адекватность

φ(s), если и только если ψ,

где s — имя предложения S языка L, а ψ — копия S в метаязыке. Таким образом, техническая проблема заключается в том, чтобы найти единственную формулу ψ, которая позволит нам вывести все эти предложения из аксиом метаязыка М; данная формула ψ послужит нам для того, чтобы задать эксплицитное определение Истинно.

Сам Тарский обозначал критерий материальной адекватности термином конвенция Т. Более общее название его подхода к определению истины с использованием данного критерия — семантическая концепция истины.

Как утверждал сам Тарский, конвенция Т приводит к парадоксу лжеца, если язык L обладает достаточными средствами для того, чтобы описывать свои же предложения (см. статью о ревизионной теории истины ). Собственное заключение Тарского состоит в том, что определение истины для языка L должно быть задано в метаязыке, который по определению будет более сильным, чем L.

Из этого возникает одно следствие для оснований математики. Первопорядковую теорию множеств Цермело-Френкеля часто приводят в качестве эталона математической корректности — в том смысле, что доказательно корректно, если и только если его можно формализовать в качестве формального доказательства в рамках теории множеств. Мы хотели бы суметь дать определение истины для теории множеств; однако, если исходить из выводов Тарского, данное определение не может быть дано внутри самой теории множеств. Как правило, эту проблему разрешают тем, что дают неформальное определение истины в естественном языке. Однако существует ряд способов задать ограниченное формальное определение истины для теории множеств. Например, Азриэль Леви показал, что для всякого натурального числа n существует формула Σ n , которой удовлетворяют все имена истинных предложений Σ n теории множеств. Определение Σ n чересчур технически сложно, чтобы приводить его здесь, однако некоторые пункты стоит упомянуть. Во-первых, всякое предложение теории множеств доказуемо эквивалентно предложению Σ n для любого достаточно большого n. Во-вторых, класс формул Σ n замкнут относительно начального введения кванторов существования, но не замкнут относительно введения кванторов всеобщности. В-третьих, данный класс не замкнут относительно отрицания — за счет чего Леви удается избежать парадокса Тарского (см. статью о теории множеств ). По большей части тот же инструментарий позволяет Яакко Хинтикке задать внутреннее определение истины для своей IF-логики ; данная теория разделяет второе и третье свойства, присущие классам формул Леви.

Некоторые типы определений истины, основанных на идеях 1933 года

В статье 1933 года Тарский стремился показать, что для многих полностью интерпретированных формальных языков существует определение истины, которое полностью удовлетворяет его условиям. В своей работе он приводит четыре примера. Один пример представляет собой тривиальное определение для финитного языка, которое просто задает список конечного числа истинных предложений данного языка. Другое определение формулируется за счет удаления кванторов (см. раздел 2.2 ниже). Оставшиеся два определения, соответствующие другим классам языков, представляют собой примеры того, как мы сегодня представляем себе стандартное определение истины по Тарскому — это прообразы теоретико-модельного определения 1956 года.

Стандартные определения истины

Два стандартных определения истины на первый взгляд вовсе не выглядят как определения истины — скорее, они представляются определениями более сложного отношения, которое включает приписывания, или назначения ( assignments ), а объектов переменным:

а удовлетворяет формуле F

Причина, по которой Тарский дает непосредственное определение удовлетворительности, а затем выводит определение истины, состоит в том, что удовлетворительность подчиняется рекурсивным условиям в следующем предложении: если F — составная формула, тогда, чтобы знать, какие приписывания удовлетворяют F, достаточно знать, какие приписывания удовлетворяют непосредственным составляющим F. Ниже приведены два типичных примера:

S(a,G), если и только если S(a,G1) и S(a,G2).

а удовлетворяет F, если и только если существует отношение удовлетворительности S, такое что S(a,F).

В таком случае остается лишь логическое упражнение — показать, что данное определение удовлетворительности материально адекватно. В сущности, сперва нужно записать аналог конвенции Т для удовлетворительности формул, но я предоставлю это читателю.

Определение истины через удаление квантора

Можно полагать, что язык L — язык первого порядка с предикатными символами ⊆ и = . Данный язык затем интерпретируется как язык, в котором говорится о подклассах класса А. В нем мы можем определить следующее:

Теперь мы хотим доказать следующее :

Доказательство проводится через индукцию по сложности формул. Для атомарных формул это довольно просто. Для булевых комбинаций формул это также просто, поскольку булевы комбинации булевых комбинаций, опять же, являются булевыми комбинациями. Для формул, предваряемых квантором общности , мы берем отрицание. Это оставляет единственный случай, требующий какой-то кропотливой работы, а именно — случай, когда формулу предваряет квантор существования. С помощью индуктивной гипотезы мы можем заместить следующую за квантором часть формулы булевой комбинацией формул указанного вида. Таким образом, типичный случай мог бы выглядеть следующим образом:

∃ z (существу ю т ровно два элемента, содержащихся в z и в x и не содержащихся в у).

Теорема. Если область А бесконечна, тогда предложение S языка L будет корректно в А, если и только если S выводимо из Т и предложений, в которых утверждается, что число элементов, содержащихся в А, не равно никакому конечному числу.

Описанный нами метод почти полностью вращается вокруг кванторов существования, предваряющих формулы; поэтому он известен как метод удаления квантора. Он не так далеко отстоит от двух стандартных определений, как может показаться. Во всех случаях Тарский, используя индукцию по сложности формул, приписывает каждой формуле описание класса приписываний, удовлетворяющих данной формуле. В двух предыдущих определениях истины данный класс описывается непосредственно; в случае удаления квантора он описывается через булеву комбинацию простых формул.

Примерно в то же время, когда он работал над статьей 1933 года, Тарский дает определение истины через удаление квантора для языка первого порядка в области действительных чисел. В его работе 1931 года оно появляется лишь как любопытный способ описания множества отношений, определимого формулами. Позднее он предлагает более полную концепцию, подчеркивая, что его метод позволяет не только сформулировать определение истины, но и вывести алгоритм для определения того, какие предложения о действительных числах являются истинными, а какие — ложными.

Определение 1956 года и его наследие

В 1933 году Тарский приходит к выводу, что формальные языки, с которыми он работал, содержат два типа символов (помимо пунктуации), а именно — константы и переменные. Константы включают в себя логические постоянные, но также и любые другие термины с фиксированным значением. У переменных нет какого-либо независимого значения, и они просто составляют часть аппарата квантификации.

Таким образом, нам ничего не стоит применить определение 1933 года к теоретико-модельным языкам.

По большому счету существует два подхода:

1) берем по одной структуре А за раз и рассматриваем нелогические константы как константы, интерпретированные в А;

2) рассматриваем нелогические константы как переменные и используем определение 1933 года, чтобы определить, когда предложению удовлетворяет приписывание составляющих структуры А этим переменным.

В обоих подходах возникают некоторые проблемы, которые сам Тарский описывает в нескольких местах.

Главная проблема, возникающая в связи с первым подходом, состоит в том, что в рамках теории моделей мы зачастую пытаемся использовать один и тот же язык, связывая его с двумя или более различными структурами, например, при определении элементарных вложений различных структур (см. статью о первопорядковой теории моделей).

К концу 1940-х годов становится ясно, что прямое теоретико-модельное определение истины все же необходимо. Тарский и его коллеги предпринимают множество попыток решения этой проблемы. Версия, которую мы ныне используем, основывается на работе Тарского и Вота ( Tarski and Vaught 1956) . Подробное изложение см. в статье о классической логике .

Правильное представление о теоретико-модельном определении состоит в том, что мы располагаем предложениями, истинностное значение которых изменяется в зависимости от ситуации, в которой они употребляются. Таким образом, нелогические константы оказываются неизменными; они являются определенными дескрипциями, референция которых зависит от контекста. Кванторы обладают этим же индексальным свойством, так что охватываемая ими область зависит от контекста употребления. В том же духе можно прибавить и другие типы индексации. Например, крипкеанская структура — это индексированное семейство структур, связанных с индексным множеством; подобные и родственные им структуры являются основополагающими для семантики модальной, темпоральной и интуиционистской логики.

Уже в 1950-е годы исследователи в области теории моделей изучали формальные языки, включающие типы выражений, отличающихся от всего того, о чем говорит Тарский в своей статье 1933 года. Расширение определения истины ло инфинитной логики не составило никакой проблемы. Также не возникло никаких серьезных сложностей с большинством обобщенных кванторов, выдвинутых в то время. Например, квантор Qxy со значением:

QxyF(x,y), если и только если существует бесконечное множество Х таких элементов, что для всех а и b в Х верно F(a,b).

Данное определение само по себе показывает, как должны выглядеть необходимые условия в определении истины.

В 1961 году Леон Хенкин указал два вида теоретико-модельных языков, которые не предполагали непосредственно определение истины в духе Тарского. Первый вид включает бесконечные цепочки кванторов:

∀ v 1 ∃ v 2 ∀ v 3 ∃ v 4 …R(v1,v2,v3,v4,…)

Кваторы в языке второго типа не образуют линейного порядка. Для простоты обозначения я буду использовать более позднюю нотацию, введенную Хинтиккой:

∀ v 1 ∃ v 2 ∀ v 3 ( ∃ v 4 / ∀ v 1 ) R(v1,v2,v3,v4).

Здесь косая черта, следующая за ∃ v 4 , означает, что данный квантор находится вне области предыдущего квантора ∀ v 1 (а также вне области предыдущего квантора существования).

Хенкин отмечает, что в обоих случаях можно задать естественную семантику при помощи функций Скулема. Например, второе предложение можно переформулировать следующим образом:

∃ f ∃ g ∀ v 1 ∀ v 3 R(v1,f(v1),v3,g(v3)),

что характеризуется прямым условием истинности по Тарскому в логике второго порядка. Позднее Хинтикка заме тил , что функции Скулема можно читать как выигрышные стратегии в игре, как это делают в статье, посвященной логике и играм. Таким образом можно построить композициональную семантику, приписывая каждой формуле некоторую игру. Предложение истинно, если и только если игрок Я (в записи Хинтикки) обладает выигрышной стратегией в игре, приписываемой предложению. Такая игровая семантика согласуется с идеями Тарского о конвенциональных первопорядковых предложениях. Но она далеко не полностью абстрактна: вероятно, ее следует рассматривать как операциональную семантику, которая описывает, каким образом верифицируется предложение, а не показывает, является ли оно истинным.

Проблема задания семантики в духе Тарского для двух типов языков Хенкина оказывается различной для этих двух случаев. В случае с первым типом проблема состоит в том, что синтаксис языка не является вполне обоснованным : убирая кванторы один за другим, получаем бесконечно нисходящую последовательность подформул. Таким образом, нет никакой возможности задать определение удовлетворительности через рекурсию по сложности формул. Решение может состоять в следующем: эксплицитная форма определения истины Тарского, приведенная ранее в разделе 2.1, не требует рекурсивного определения — она лишь требует, чтобы ее сузили условия, накладываемые на удовлетворительность S. И хотя это будет верно для первого типа языков по Хенкину, все же причина состоит в том, что синтаксис языка не вполне обоснован.

Библиография

● Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М.: РОСПЭН, 1999.

● Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Иностранная литература, 1948.

● Feferman, S., 2004, “Tarski’s conceptual analysis of semantical notions”, in Sémantique et Épistémologie, ed. Ali Benmakhlouf, Casablanca: Editions Le Fennec, 79–108; reprinted in Patterson 2008.

● Henkin, L., 1961, “Some remarks on infinitely long formulas”, in Infinitistic methods: Proceedings of the symposium on foundations of mathematics, Oxford: Pergamon Press, 167–183.

● Hintikka, J., 1996, The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge: Cambridge University Press.

● Hodges, W., 1997, “Compositional semantics for a language of imperfect information”, Logic Journal of the IGPL, 5: 539–563.

● –––, 2008, “Tarski’s theory of definition”, in Patterson 2008, pp. 94–132.

● Katz, J. and Fodor, J., 1963, “The structure of a semantic theory”, Language, 39: 170–210.

● Levy, A., 1965, A hierarchy of formulas in set theory, (Memoirs of American Mathematical Society 57), Providence: American Mathematical Society.

● Patterson, D. (ed.), 2008, New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.

● Putnam, H. 1975, “Do true assertions correspond to reality?”, in Mind, Language and Reality (Philosophical Papers: Volume 2), Cambridge: Cambridge University Press, 70–84.

● Skolem, T., 1919, “Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen”, Videnskapsselskapets Skrifter, I. Matem.-naturv. klasse, 3; reprinted in T. Skolem, Selected Works in Logic, J. E. Fenstad (ed.), Oslo: Universitetforlaget, pp. 67–101.

● Tarski, A., 1931, “Sur les ensembles définissables de nombres réels. I”, Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.

● –––, 1983 [1956], Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, 2nd edition, John Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Company; 1st edition, Oxford: Oxford University Press, 1956.

● Tarski, A. and Vaught, R., 1956, “Arithmetical extensions of relational systems”, Compositio Mathematica, 13: 81–102.

● Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Warsaw: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Popper К. R. Philosophical Comments on Tarski’s Theory of Truth. // Popper K. R. Objective Knowledge. An Evolutionary Approach. Oxford, Clarendon Press, 1979. Ch. 9. pp. 319–340. Эта работа основана на обсуждении, имевшем место во время симпозиума в честь Альфреда Тарского по случаю его 70-летия, проведённого в Калифорнийском университете июня 1971 года.

Часть I

Главной нашей заботой в науке и в философии является — или должен бы быть — поиск истины на пути смелых догадок и критического поиска того, что ложно в различных наших конкурирующих теориях 292 .

Причиной моего беспокойства в связи с понятием истины было, конечно, то, что это понятие в течение некоторого времени подвергалось нападкам ряда философов, причём на весьма серьёзных основаниях. Меня пугал не столько парадокс лжеца, сколько трудность объяснения теории истины как соответствия: в чём может состоять соответствие высказывания фактам? К тому же существовал взгляд, который я определённо не разделял, но не чувствовал себя в силах убедительно опровергнуть. Согласно этому взгляду, если мы хотим говорить об истине, мы должны быть способны указать критерий истинности. Я считал, что всё равно законно говорить об истине, но я не умел защитить свой взгляд, согласно которому отсутствие критерия истинности не может использоваться как аргумент против логической законности понятия истины.

Однако я не собираюсь вступать здесь в полемику с философами, отрицающими философское значение теории истины Тарского. Я предпочитаю припомнить глубочайшую радость и облегчение, испытанные мною в 1935 году, когда я осознал, что из теории истины Тарского вытекают следующие выводы: 1) что это понятие определимо в логических терминах, которые никто ещё не ставил под сомнение, и потому логически законно; 2) что оно применимо к любому недвусмысленно сформулированному (замкнутому) высказыванию (любого не-универсалистского языка), если только оно не применимо к его отрицанию, и потому очевидным образом не пусто, невзирая на то, 3) что оно не связано ни с каким общим критерием, хотя всякое предложение, выводимое из истинного предложения или из истинной теории, доказуемо (demonstrably) истинно; 4) что класс истинных предложений образует дедуктивную систему; и 5) что эта дедуктивная система неразрешима, если только рассматриваемый язык достаточно богат (в связи с этим результатом Тарский ссылается на Гёделя).

Язык-объект Lo, как нам известно, может содержать свой собственный синтаксис и, в частности, дескриптивные имена всех своих выражений. Но L0 не может, без риска породить антиномии, содержать специфически семантические термины, такие как обозначение (denotation), удовлетворение (satisfaction) или истина, то есть понятия, соотносящие имена выражений L0 с фактами или объектами, на которые эти выражения ссылаются.

Всё это дало мне материал для размышлений, продолжавшихся много лет. Далее я изложу некоторые из этих мыслей.

Часть II

Я думаю, именно кажущаяся невозможность раскрыть или описать это соответствие и делала все теории истины как соответствия до Тарского столь подозрительными — подозрительными даже в глазах людей вроде меня, ценивших теорию соответствия просто за её реалистический характер, соответствующий здравому смыслу 301 .

А теперь проявим смелость и всерьёз примем, что есть высказывания, которые соответствуют фактам. Любая теория, имеющая дело с подобной ситуацией, должна иметь возможность говорить: 1) о высказываниях некоторого языка, который мы назовём рассматриваемым языком, или языком-объектом 302 и 2) о фактах или предполагаемых фактах.

  1. Для того, чтобы говорить о высказываниях, мы должны иметь в своём распоряжении имена для высказываний, например цитирующие имена (quotation names) или описательные (дескриптивные) имена высказываний. Это значит, что любая теория соответствия должна формулироваться на метаязыке, то есть на языке, на котором можно обсуждать или говорить о выражениях некоторого исследуемого языка-объекта.
  2. Чтобы говорить о каких бы то ни было отношениях между высказываниями и фактами, мы должны иметь в своём распоряжении описания фактов; иначе говоря, мы должны быть способны описать на нашем метаязыке все те факты, которые мы можем описать на языке-объекте. Таким образом, метаязык должен содержать переводы высказываний языка-объекта или же должен содержать язык-объект в качестве собственной части (в этом случае мы можем избежать неприятной проблемы существования верных переводов).

Таковы три почти очевидные минимальные требования к любому языку, на котором можно было бы сформулировать некоторую теорию соответствия.

Я усматриваю величие и смелость достижений Тарского в том, что он открыл эти минимальные требования, а также в том, что он обнаружил, что предикаты и отношения, упомянутые в пункте (3), соотносящие выражения с миром фактов, существенно выходят за пределы средств, которыми мы располагаем в языке-объекте 303 .

Преподавая теорию истины Тарского, я обнаружил, что мне и по крайней мере некоторым из моих студентов было легче, когда я употреблял такой способ выражения, то есть говорил не об истине, а о соответствии фактам. Кстати, я обнаружил также, что дело шло легче, если я использовал среди прочих примеров ложные высказывания языка-объекта.

Часть III

Для определения истины Тарскому нужен, как мы видим, семантический метаязык более высокого порядка, чем язык-объект, семантику которого этот метаязык содержит. Заметим, однако, что термины, являющиеся семантическими по отношению к языку-объекту, в метаязыке могут иметь тот же статус, что и другие морфологические или синтаксические термины. Таким образом, семантика языка-объекта Ln может быть частью синтаксиса метаязыка более высокого порядка (скажем, Ln + 1): в Ln + 1 могут не входить никакие термины неморфологического или несинтаксического характера. Это равносильно сведению семантики языка Ln к синтаксису языка Ln + 1.

Этот момент имеет общефилософский интерес не только потому, что на семантические термины принято было смотреть с подозрением, но и потому, что всякое сведение подозрительных терминов к общепринятым терминам заслуживает нашего внимания. Во всяком случае, достижение Тарского, сумевшего свести термины, принадлежащие семантике языка Ln, к несемантическим терминам языка Ln + 1, устраняет всякие основания для подозрительности.

Я считаю это сведение важным, поскольку в философии мы не часто имеем возможность ввести совершенно новую (и притом подозрительную) категорию терминов на основе (свободных от всяческих подозрений) установленных категорий. Это — реабилитация, акт спасения чести подозреваемого термина.

Часть IV

Как было упомянуто ранее, я реалист. Я признаю, что такой идеализм, как кантовский, можно защищать в той мере, в какой он утверждает, что все наши теории созданы человеком и что мы пытаемся наложить их на мир природы. Но я реалист постольку, поскольку считаю, что ответ на вопрос о том, истинны или нет созданные человеком теории, зависит от реальных фактов — реальных фактов, которые, за очень немногими исключениями, явным образом не созданы человеком. Наши созданные человеком теории могут приходить в столкновение с этими реальными фактами, и тогда в наших поисках истины нам приходится приспосабливать теории к фактам или же отказываться от этих теорий.

Часть V

Я попытался скомбинировать некоторые из наиболее очевидных результатов работы Тарского об истине с результатами его работы по исчислению систем. Мы сразу же получаем следующие в высшей степени тривиальные теоремы, в которых предполагается, что упоминаемые в них языки не универсалистские (universalistic).

Теорема. Множество T истинных высказываний любого языка есть дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского. Эта система полна. 309

Как дедуктивная система, T представляет собой класс (всех собственных) следствий (consequence class); это значит, что он совпадает с классом Cn (T) своих собственных логических следствий (T = Cn (T). Эта система полна в том смысле, что если к T прибавить любое высказывание, не принадлежащее T, получившийся класс будет противоречивым.

Теорема. Множество истинных высказываний любого достаточно богатого языка есть неаксиоматизируемая дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского.

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Теперь я введу новое понятие — понятие истинностного содержания высказывания a.

Определение. Множество всех истинных высказываний, следующих из любого данного высказывания a, называется истинностным содержанием a. Это — дедуктивная система.

Теорема. Истинностное содержание любого истинного высказывания A есть аксиоматизируемая система AT = A; истинностное содержание любого ложного высказывания a есть дедуктивная система AT⊂А, где AT неаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) a соответствует (финитно) аксиоматизируемая система A, такая что

И наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе A соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) a. Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы A систему AT — истинностное содержание A. Она совпадает с A, если и только если A состоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема A: очевидно, AT есть произведение, или пересечение, множеств A и T.

Чтобы ввести понятие ложностного содержания АF высказывания a или класса следствий A, можно обратиться к понятию относительного содержания A при данном B, которое можно ввести как обобщение дедуктивной системы в смысле Тарского, или (абсолютного) содержания A = Cn (A). Я попытаюсь разъяснить это понятие, и ввиду возможной интуитивной критики я введу также понятие меры содержания. В конце этой главы я введу с помощью понятия мер истинностного содержания и ложностного содержания понятие степени приближения к истине, или правдоподобности (verisimilitude).

Часть VI

Как релятивизацию (relativization) Cn(А) Тарского, которое является особым случаем при B = L = Cn (0):

А отсюда очевидным образом следует

Теорема: A = Cn (A) = A, L=Cn (А, L) = Cn (A + L) — Cn (L).

Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания

АТ = AT, L=Cn (А. Т) + L) — Cn (L),

А для ложностного содержания

Что превращает ложностное содержание в относительное содержание, объём (extension) которого совпадает (как первоначально и предлагалось) с классом всех ложных высказываний в A.

Часть VII

Против предложенного определения ложностного содержания Ар как относительного содержания AрАT можно выдвинуть следующее возражение. Это определение интуитивно опирается на цитату из Тарского, в которой Тарский принимает L за наименьшую или нулевую дедуктивную систему. Вместе с тем в нашей последней теореме

А = A, L = Cn (А + L) — Cn (L)

Относимся мы к этому возражению серьёзно или нет, оно в любом случае исчезает, если мы решим оперировать с мерой содержания ct (A) или ct (A, B), а не с самим содержанием, или классом следствий Cn (А) или Cn (А, В).

В 1934 году Тарский привлёк внимание пражской конференции к аксиоматизации исчисления относительной вероятности дедуктивной системы А при данной дедуктивной системе В, предложенной Стефаном Мазуркевичем 311 и опирающейся на исчисление систем Тарского. Такую аксиоматизацию можно рассматривать как введение функции меры для дедуктивных систем или содержаний А, В, С, …, даже хотя данная конкретная функция — функция вероятности

И возрастает с уменьшением относительного содержания. Это наводит на мысль ввести меру содержания с помощью определения, такого как

Определение: ct (A, В) = 1 - p (А, В).

Эта функция возрастает и убывает с возрастанием и убыванием относительного содержания. (Возможны, конечно, и другие определения, но это кажется самым простым и очевидным). Мы сразу же получаем:

ct (L) = 0 ct (AT) = 1 - p (А. T, L) = 1 - р (А, Т) ct (AF) = 1 - p (A, AT),

Что соответствует ранее полученным результатам.

Это наводит на мысль, что мы можем ввести понятие правдоподобности, или verisimilitude, высказывания а таким образом, чтобы оно возрастало вместе с возрастанием истинностного содержания этого высказывания и убывало с ростом его ложностного содержания. Это можно сделать несколькими способами 312 .

Самый очевидный способ — принять ct (At) — ct (AF) за меру правдоподобности A. Однако по причинам, которые я здесь не буду обсуждать, мне кажется несколько более предпочтительным определить правдоподобность vs (A) как разность, умноженную на некий нормализующий множитель, предпочтительно следующий:


Таким путём мы получаем следующее Определение:


Что, конечно, можно переписать как:


А это приводит к

И, в частности, к

В этих заключительных разделах главы 9 я лишь кратко очертил программу сочетания теории истины Тарского с его исчислением систем с целью получить понятие правдоподобности, позволяющее нам говорить — без опасения говорить бессмыслицу — о теориях, являющие лучшими или худшими приближениями к истине. Я, конечно, не предполагаю, что может существовать критерий применимости этого понятия не более, чем может существовать такой критерий для понятия истины. Вместе с тем некоторым из нас (например, Эйнштейну) иногда хочет говорить такие вещи, как например что у нас есть основания предполагать, что эйнштейновская теория тяготения не истинна, но является лучшим приближением к истине, чем ньютоновская. Иметь возможное со спокойной совестью говорить подобные вещи кажется мне важным пожеланием к методологии естественных наук.

Добавление. Замечание к определению истины по Тарскому

Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых понятие номера места n (place number n) (или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длины конечной последовательности f, то есть число мест в f (символически Np (f)) равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечны последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определённое место — скажем, n-е, — и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или n-м членом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности так же как и в разных последовательностях 318 .

Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22a и Определением 22b, которое соответствует собственному определению Тарского.

Определение 22а. Конечная последовательность объектов f адекватна пропозициональной функции x (или достаточно длина относительно x), если и только если для каждого натурального числа n, если vn входит в x, то число мест в f по крайней мере равно n (то есть Np (f) ⩾ n).

Определение 22b 321 . Последовательность f удовлетворяет пропозициональной функции x, если и только если f — конечная последовательность объектов, x — пропозициональная функция, и (1) f адекватна x, (2) x соблюдает одно из следующих четырёх условий:

(β) Существует пропозициональная функция y такая, что x = y, и f не удовлетворяет y.

(γ) Существуют две пропозициональные функции у и z такие, что x = y + z и f удовлетворяет либо y, либо z, либо обеим.

(δ) Существует натуральное число k и пропозициональная функция y такая, что (a) x = Pky, (b) любая конечная последовательность g, длина которой равна f, удовлетворяет y, если только g соблюдает следующее условие: для любого натурального числа n, если n- номер места в f и n ≠ k, то gn = fn.

Теперь Определение 23 Тарского [р. 193] можно заменить любым из двух следующих эквивалентных 322 определений:

Определение 23+. X — истинное высказывание (то есть x∈Wr), если и только если (а) x — высказывание (x∈As) и (b) любая конечная последовательность объектов, адекватная x, удовлетворяет x.

Определение 23++. X — истинное высказывание (то есть x∈Wr), если и только если (a) x — высказывание (x∈As) и (b) существует по крайней мере одна конечная последовательность объектов, удовлетворяющая x.

Аналогичным образом определение 23++, если распространить его на функции, приводит к понятию удовлетворимой (erfullbare) пропозициональной функции.

Читайте также: