Связь между температурой и кинетической энергией молекул газа кратко
Обновлено: 03.07.2024
Для описания разреженных газов в физике используется модель идеального газа. В рамках этой модели делаются следующие допущения.
1. Пренебрегаем размерами молекул. Иными словами, молекулы газа считаются материальными точками.
2. Пренебрегаем взаимодействием молекул на расстоянии.
3. Соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда считаем абсолютно упругими.
Таким образом, идеальный газ — это газ, частицы которого являются не взаимодействующими на расстоянии материальными точками и испытывают абсолютно упругие соударения друг с другом и со стенками сосуда.
Средняя кинетическая энергия частиц газа
Оказывается, что ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая энергия его частиц.
Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится частиц, скорости которых равны . Масса каждой частицы равна . Кинетические энергии частиц:
Средняя кинетическая энергия частиц газа это среднее арифметическое их кинетических энергий:
Последний множитель — это средний квадрат скорости, обозначаемый просто :
Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:
Корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратической скоростью:
Основное уравнение МКТ идеального газа
Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Эта связь выводится из законов механики и имеет вид:
где — концентрация газа (число частиц в единице объёма). С учётом (1) имеем также:
Что такое ? Произведение массы частицы на число частиц в единице объёма даёт массу единицы объёма, то есть плотность: . Получаем третью разновидность основного уравнения:
Энергия частиц и температура газа
Можно показать, что при установлении теплового равновесия между двумя газами выравниваются средние кинетические энергии их частиц. Но мы знаем, что при этом становятся равны и температуры газов. Следовательно, температура газа — это мера средней кинетической энергии его частиц.
Собственно, ничто не мешает попросту отождествить эти величины и сказать, что температура газа — это средняя кинетическая энергия его молекул. В продвинутых курсах теоретической физики так и поступают. Определённая таким образом температура измеряется в энергетических единицах — джоулях.
Но для практических задач удобнее иметь дело с привычными кельвинами. Связь средней кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа даётся формулой:
В природе существует три агрегатных состояния вещества. Наиболее простым для изучения в термодинамике является газ. Молекулы упакованы в жидкостях и твердых телах достаточно плотно и между молекулами силы взаимодействия велики, в отличие от разряженных газов, в которых расстояние между молекулами намного больше самих размеров молекул. Силы взаимодействия в результате этого в газах достаточно малы.
Идеальный газ
Для того, чтобы описать разряженные газы используется их модель – идеальный газ, это газ размерами молекул и взаимодействием между ними можно пренебречь, считая их материальными точками. Соударения молекул идеального газа со стенками и друг с другом считаются абсолютно упругими. Молекулы газа, в котором содержится N частиц, движутся с разными скоростями v1, v2…. vN, mо— масса каждой частицы. Е – кинетическая энергия частиц газа. Кинетические энергии частиц равны:
Чтобы найти среднюю кинетическую энергию N молекул, находим среднее арифметическое их кинетических энергий:
Молекулы газа при соударении оказывают давление p на стенки сосуда. Между давлением и кинетической энергией молекул газа существует зависимость, названная основным уравнением молекулярно-кинетической теории газа,
где n это концентрация газа, или число молекул, приходящихся на единицу объема.
Если смешать газы, находящиеся в двух сосудах, через какое-то время установится состояние теплового равновесия. При установлении теплового равновесия между двумя газами, происходит обмен энергией, и средние кинетические энергии частиц газов становятся равны. Но при этом будет равна и температура газов, так как она характеризует интенсивность движения частиц газа. Можно сделать вывод, что температура является мерой средней кинетической энергии молекул.
Для любых газов находящихся в состоянии теплового равновесия,
то есть, если значения температуры газов и их концентрация одинакова, давление любых газов будет одинаково, вне зависимости из каких молекул он состоят. Приравняем правые части формул
Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа пропорциональна температуре газа.
Данное соотношение было выведено австралийским физиком Людвигом Больцманом, где постоянная Больцмана k= 1,38*10 -23 Дж/К, показывает связь между температурой и энергией.
Найдём связь между средней кинетической энергией $$ \overline$$ поступательного движения молекулы газа и его температурой $$ T$$. Учитывая соотношение $$ n=N/V$$ перепишем уравнение (12) в виде:
Сравнивая полученное уравнение с уравнением Менделеева–Клапейрона:
получаем для средней кинетической энергии $$ \overline$$:
где $$ k=\mathrm·^ \mathrm\mathrm\mathrm\mathrm\mathrm< >\mathrm$$ постоянная Больцмана. С учётом этого соотношения выражение (12) для давления можно записать в виде:
В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поступательного движения любых молекул имеет одно и то же значение, т. е. средняя кинетическая энергия молекул обладает основным свойством температуры – в состоянии теплового равновесия она одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также для различных молекул газовой смеси. Величину $$ \overline$$ можно принять поэтому за меру температуры газа. В этом и состоит физический смысл температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.
Скорость хаотического (теплового) движения молекул характеризуется средней квадратичной скоростью:
Дополнительно хочется отметить, что:
где в $$ <\overline
Таким образом, ещё раз напоминаем, температура есть мера средней кинетической энергии молекул. В этом и состоит молекулярно-кинетический смысл температуры. В частности при температуре $$ T=0 \mathrm$$ прекращается всякое тепловое движение молекул.
10.1 Примеры решений
(МКТ идеального газа)
Определить массу водорода $$ \left(<\mathrm
Для определения массы водорода воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[m = pVM/(RT) = 4\ \mathrm\]
Концентрацию $$ n$$ водорода найдём, воспользовавшись одним из уравнений молекулярно-кинетической теории идеального газа:
\[p = nkT, n = p/(kT) = 6\cdot 10^\ \mathrm^\].
Здесь $$ k=\mathrm·^ \mathrm\mathrm\mathrm\mathrm -$$ постоянная Больцмана.
Средняя квадратичная скорость молекул водорода:
При получении значения средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул водорода можно рассуждать следующим образом. Средняя кинетическая энергия `varepsilon` поступательного движения одной молекулы определяется выражением $$ \varepsilon =3kT/2$$. Если в сосуде находится $$ N$$ молекул, то их суммарная энергия $$ \overline$$ равна $$ \overline=N\varepsilon =3NkT/2$$.
Используя молекулярно-кинетическую теорию идеального газа, оцените площадь купола парашюта. Масса парашютиста со снаряжением $$ m=100 \mathrm$$. Скорость снижения $$ v=5 \mathrm\mathrm\mathrm$$. Условия нормальные $$ (p=^ \mathrm,T=273 \mathrm)$$. Молярная масса воздуха $$ _<\mathrm<В>>=29 \mathrm\mathrm\mathrm\mathrm\mathrm\mathrm$$.
Сила сопротивления воздуха, действующая на купол равна:
где `Delta p` - импульс, переданный молекулами воздуха куполу за время `Delta t`.
Задачу о столкновении молекулы воздуха с куполом парашюта можно рассматривать как известную задачу из механики об упругом столкновении лёгкого тела с массивным подвижным телом.
Будем считать купол плоской площадкой, площадью $$ S$$, перемещающийся со скоростью $$ v$$. В таком предположении импульс, переданный куполу одной молекулой, равен $$ 2_v$$. За время `Delta t` на купол набежит количество молекул $$ N$$, содержащихся в объёме `V = Sv Delta t`.
Так как купол движется равномерно, то сила сопротивления равна силе тяжести парашютиста $$ mg$$. Тогда:
Вопросы и задачи, отмеченные знаком *, относятся к задачам повышенной сложности.
Найденная Шарлем зависимость от изображена на рис. 4.3, а. Если перенести начало координат в точку А, то график будет проходить через начало координат. Все значения температуры увеличатся на поскольку длина отрезка равна 273 °С (§ 4.3). Это соответствует формуле т. е. по оси абсцисс теперь откладываются значения абсолютной температуры (рис. 4.5). В этом случае между р и Т получается прямо пропорциональная зависимость. Действительно, из подобия треугольников на рис. 4.5 имеем
Итак, с одной стороны, давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре, а с другой стороны (см. (4.1)), прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа (при постоянной массе и неизменном объеме). Это означает, что величина Епост прямо пропорциональна абсолютной температуре газа Т. По предложению выдающегося немецкого ученого Л. Больцмана коэффициент пропорциональности в зависимости от Г. записывают в виде
Тогда, после подстановки этого значения Епост в формулу получим простое выражение
Из (4.9) видно, что давление газа не зависит от его природы, а определяется только концентрацией молекул и температурой газа Т.
Постоянную величину в (4.8) и (4.9) принято называть постоянной Больцмана. В СИ она имеет следующее значение (§ 5.3):
Из формулы (4.8) следует, что среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул не зависит от природы газа, а определяется только его температурой.
Поскольку при заданной температуре Т средние значения энергии поступательного движения молекул для различных газов одинаковы, можно записать откуда получаем
При одинаковой температуре средние квадратичные скорости движения молекул обратно пропорциональны корням квадратным из масс молекул.
Читайте также: