Стоячие волны физика кратко

Обновлено: 04.07.2024

Физика

Электродинамика

Магнитное поле

Механические колебания

Электромагнитные колебания

Механические волны

Электромагнитные волны

Оптика

Геометрическая оптика

Задачи на сферическое зеркало

Линза

Волновая оптика

Основы теории относительности

Основы квантовой физики

Излучения и спектры

Световые кванты

Атомная физика

Ядерная физика

Физика элементарных частиц

Открытие позитрона. Античастицы

Современная физическая картина мира

Строение Вселенной

Звёзды и источники их энергии. Современные представления о происхождении и эволюции Солнца и звёзд

Помимо бегущих волн предыдущего раздела, в природе существуют и стоячие волны, образующиеся в результате суперпозиции бегущих. Мы постоянно встречаемся с ними в своей практической жизни: когда говорим, поем, слушаем музыку. В этом разделе, после общих математических формул, мы совсем коротко обсуждаем некоторые вопросы музыкальной акустики – в надежде, что эта часть не покажется нашим студентам самой скучной.

Струна, закрепленная на одном конце

Предположим, что струна закреплена неподвижно в точке с координатой и тянется в положительном направлении оси х. Пусть по струне справа налево (то есть в отрицательном направлении оси х) распространяется волна

Дойдя до точки закрепления, волна отразится. Если пренебречь потерями энергии, то амплитуда отраженной волны совпадет с амплитудой падающей волны. Надо учесть также, что при отражении происходит изменение направления движения элемента на обратное (как в упругом ударе шарика о стенку):

Суперпозиция падающей и отраженной волн имеет вид:

Мы видим, что в любой момент времени

Это и есть условие закрепления струны в точке . Воспользовавшись известными формулами тригонометрии для преобразования разности косинусов, записываем (2.53) в виде:

где — наибольшее смещение в стоячей волне.

Мы нашли особый тип колебаний: в каждой точке пространства струна колеблется с частотой и амплитудой , причем все точки струны одновременно достигают своих максимальных отклонений (или проходят положение равновесия), и если мы находимся, например, в узле струны, то есть в точке с координатой

то в любой момент времени эта точка остается узлом. Иными словами, здесь нет движения волны, точки узлов волны (нулевых значений смещения) неподвижны, равно как и точки ее максимумов. Такие колебания и называются стоячими волнами.

Стоячая волна — периодическое колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием узлов (нулей) и пучностей (максимумов). В одномерных (линейных) системах может быть представлена как сумма двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу.

В стоячей волне плотность энергии меняется от точки к точке и зависит от времени, но в отличие от бегущей волны, здесь нет переноса энергии.

Это очевидно хотя бы потому, что точки узлов волны неподвижны, и переноса энергии через них быть не может. Можно рассуждать и иначе: две бегущие волны, образовавшие стоячую, переносят одну и ту же энергию, но в противоположных направлениях, так что оба эти процесса взаимно компенсируются.

На рис. 2.9 показано образование стоячей волны при сложении двух бегущих навстречу друг другу монохроматических волн.

Рис. 2.9. Возникновение стоячей волны

Подставляя найденное решение (2.53) в выражение (2.39), получаем для мгновенного значения плотности энергии стоячей волны выражение

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе [1] ; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде [2] и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

Двумерная стоячая волна на диске. Основная мода

Высшая гармоника стоячей волны на диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

$u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi)$

где u — возмущения в точке х в момент времени t, — амплитуда стоячей волны, — частота , k — волновой вектор, — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Содержание

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

$y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)$
$y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)$

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y₁ и y₂:

$y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).$

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

$y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).$

Если рассматривать моды и антимоды , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны .

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

$\left (\nabla^2 - \frac<1></p> <p>\frac<\partial^2 x><\partial t^2>\right )u = 0$

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

$\left (\nabla^2 - \frac<1></p> <p>\frac<\partial^2 x > <\partial t^2>\right) u = f_0 u$
,

См. также

Примечания

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Стоячая волна" в других словарях:

СТОЯЧАЯ ВОЛНА — периодическое или квазипериодическое во времени синфазное колебание с характерным пространств. распределением амплитуды чередованием узлов (нулей) и пучностей (максимумов). В линейных системах С. в. может быть представлена как сумма двух бегущих… … Физическая энциклопедия

Стоячая волна — Стоячая волна. Распределение давлений и скоростей в стоячей звуковой волне при открытом и закрытом концах трубы. СТОЯЧАЯ ВОЛНА, волна, в разных участках которой колебания происходят в одной и той же фазе, но с различной амплитудой. В стоячей… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

СТОЯЧАЯ ВОЛНА — СТОЯЧАЯ ВОЛНА, в физике ВОЛНА, точки максимальной и минимальной вибрации которой (антиузлы и узлы, соответственно) не двигаются. Стоячая волна возникает под воздействием БЕГУЩИХ ВОЛН равной частоты и интенсивности, движущихся в противоположном… … Научно-технический энциклопедический словарь

стоячая волна — Тип волны, когда поверхность колеблется вертикально между фиксированными точками, называемыми узлами , без продвижения вперед (в какой то момент гребень становится ложбиной волны и наоборот), подобная волна формируется в океане при отражении волн … Словарь по географии

Стоячая волна — 22. Стоячая волна Периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн Источник: ГОСТ 18238 72: Линии передачи сверхвысоких частот … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

стоячая волна — stovinčioji banga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. immobile wave; standing wave vok. stehende Welle, f; Stehwelle, f rus. стоячая волна, f pranc. onde immobile, f; onde stationnaire, f … Fizikos terminų žodynas

СТОЯЧАЯ ВОЛНА — колебания, возникающие в распределённой системе (напр., упругой среде) в результате интерференции двух бегущих волн, амплитуды к рых одинаковы, а направления распространения взаимно противоположны. С. в. возникают, напр., при отражениях волн от… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Стоячая волна — 1. Периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн Употребляется в документе: ГОСТ 18238 72 Линии передачи сверхвысоких… … Телекоммуникационный словарь

ВОЛНА — • ВОЛНА, в океанографии колебательное возмущение, распространяющееся по поверхности или в толще воды без перемещения самих частиц воды. Ветер вызывает волны благодаря сцеплению между частицами воды. Сила и величина волны зависит от скорости ветра … Научно-технический энциклопедический словарь

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

Виды механических волн

Различают следующие виды механических волн:

Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2 . 6 . 1 );

Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2 . 6 . 2 ).

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2 . 6 . 1 . Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок 2 . 6 . 2 . Распространение продольной волны по упругому стержню.

Модель твердого тела

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2 . 6 . 3 ).

Рисунок 2 . 6 . 3 . Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m , а пружинки – жесткость k . Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ . Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ .

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y ( x , t ) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси O X , вдоль которой распространяется волна, и от времени t :

y ( x , t ) = A cos ω t - x υ = A cos ω t - k x .

В приведенном выражении k = ω υ – так называемое волновое число, а ω = 2 π f является круговой частотой.

Бегущая волна

Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси O X , испытывающими колебание в одинаковых фазах.

Расстояние, величина которого есть длина волны λ , волна проходит за период Т . Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ = υ T , где υ является скоростью распространения волны.

С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4 ), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:

ω t - k x = ω ( t + ∆ t ) - k ( x + ∆ x ) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .

Из указанного выражения следует:

υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .

Волновое число k = 2 π λ – это пространственный аналог круговой частоты ω = - 2 π T .

Сделаем акцент на том, что уравнение y ( x , t ) = A cos ω t + k x является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси O X , со скоростью υ = - ω k .

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω . Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляется поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Скорость распространения волны

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T :

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модуль всестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δ p и относительным изменением объема Δ V V , взятому с обратным знаком):

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

При температуре 20 ° С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м / с , в различных сортах стали υ ≈ 5 – 6 к м / с .

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20 – 30 % и больше.

Рисунок 2 . 6 . 5 . Модель продольных и поперечных волн.

Стоячая волна

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x = 0 , а другой – в точке x 1 = L (рисунок 2 . 6 . 6 ). В струне имеется натяжение T .

Рисунок 2 . 6 . 6 . Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

y 1 ( x , t ) = A cos ( ω t + k x ) – волна, распространяющаяся справа налево;
y 2 ( x , t ) = A cos ( ω t - k x ) – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка x = 0 - один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y 1 в результате отражения создает волну y 2 . Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y 1 и y 2 в отдельности. Таким образом:

y = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = ( - 2 A sin ω t ) sin k x .

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце ( x = 0 ) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце ( x = L ) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l = n λ n 2 или λ n = 2 l n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие ( f 2 , f 3 , … ) называются гармониками.

Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .

Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Читайте также: