Статистика бозе эйнштейна кратко

Обновлено: 05.07.2024

Научная теория ( in )

Статистика частиц ( in )

В квантовой механике и статистической физике , Бозе-Эйнштейна статистика относится к статистическому распределению по неразличимых (все подобные) бозонов над энергетическими состояниями системы в состоянии термодинамического равновесия . Рассматриваемое распределение является результатом особенности бозонов : частицы с целым спином не подчиняются принципу исключения Паули , а именно, что несколько бозонов могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии .

Резюме

Распределение Бозе-Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна был введен Бозе в 1920 году для фотонов и обобщается атомов от Альберта Эйнштейна в 1924 году . Статистически при термодинамическом равновесии число n _i частиц энергии E _i равно

g _i - вырождение уровня энергии E _i , а именно количество состояний, имеющих эту энергию;
μ - химический потенциал ;
k_B - постоянная Больцмана ;
Т - температура .

Энтропия и вывод в микроканоническом ансамбле

Энтропии системы , состоящей из неразличимых бозонов , описываемых симметричных волновых функций ( целое число спиновых ), могут быть найдены с использованием статистического описания в связи с Гиббс . Она хочет

k _B	Постоянная Больцмана ,
n _j	количество занятий (доля бозонов в данном состоянии энергии),
G _j	количество возможных состояний в группе j ( вырождение ).

Следуя методу, изложенному в статистической физике Дж. У. Гиббсом , мы подсчитываем в исследуемой системе бозоны с энергией E _j , их количество в этой группе N _j , причем каждая из этих групп может включать G _j состояний. Вычисление энтропии сводится к вычислению статистического веса Ω такой системы, то есть количества микросостояний, доступных для выполнения этого макросостояния. Предполагается, что каждая группа независима, поэтому Ω = Π _j Ω _j . Таким образом, проблема сводится к знанию Ω _j .

Число возможностей распределения N _j неразличимых частиц по состояниям G _j равно

Используя формулу Стирлинга , мы сохраняем приближение, в котором вычисляем энтропию (мы будем считать, что 1 пренебрежимо мала по сравнению с N _j или G _j ) бревно ⁡ НЕТ ! ≈ НЕТ бревно ⁡ НЕТ \ приблизительно N \ log >

S знак равно k B бревно ⁡ Ω знак равно k B ∑ j бревно ⁡ Ω j знак равно k B ∑ j [ - грамм j бревно ⁡ грамм j - НЕТ j бревно ⁡ НЕТ j + ( грамм j + НЕТ j ) бревно ⁡ ( грамм j + НЕТ j ) ] > \ log \ Omega = k _ > \ sum _ \ log \ Omega _ = k _ > \ sum _ \ left [-G_ \ log - N_ \ log + (G_ + N_ ) \ журнал <(G_ + N_ )> \ right]>

Либо, введя количество занятий нет j знак равно НЕТ j грамм j = > >>>

В микроканоническом наборе термодинамические переменные в состоянии равновесия получаются путем максимизации энтропии при ограничении, учитывающем общее количество бозонов и полную энергию . Используя метод множителей Лагранжа , α для числа частиц и β для энергии, решение проверяет НЕТ знак равно ∑ я грамм я нет я G_ п_ > E знак равно ∑ я нет я грамм я E я n_ G_ E_ >

Решением этой системы независимых уравнений является статистическое распределение Бозе-Эйнштейна

Мы можем найти значения α и β из первого принципа термодинамики . Итак, α = - μ β и β = ( k _B T ) -1 .

Классический предел и сравнение с фермионами

При высоких температурах, когда квантовые эффекты больше не ощущаются, статистика Бозе-Эйнштейна, как и статистика Ферми-Дирака, которая управляет фермионами , стремится к статистике Максвелла-Больцмана . Однако при низких температурах эти две статистики отличаются друг от друга. Таким образом, при нулевой температуре:

согласно статистике Бозе-Эйнштейна самый низкий уровень энергии содержит все бозоны;
согласно статистике Ферми-Дирака, самые низкие уровни энергии содержат не более g _iфермионов .

Конденсат Бозе-Эйнштейна

Как было показано ранее, статистика Бозе-Эйнштейна предсказывает, что при нулевой температуре все частицы занимают одно и то же квантовое состояние с наименьшей энергией. Это явление наблюдается в макроскопическом масштабе и представляет собой конденсат Бозе-Эйнштейна .

$S = k_B \, \ln\Omega$

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. В 1920 году она была предложена Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924 году Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Описание

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя т. н. Бозе-конденсат.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i, равняется

$n_i = \frac<g_i></p> <p><e^<(\varepsilon_i-\mu)/kT>-1>$

где , n_i — количество частиц в состоянии i, g_i — вырождение уровня i, ε_i — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

В пределе статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе — в распределение Рэлея — Джинса:

$n_i = \frac<g_i kT></p> <p> <\varepsilon_i-\mu>$
.

БО́ ЗЕ – ЭЙНШТ Е́ЙНА СТАТИ́СТИКА (бозе-статистика), квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (ядра с чётным числом нуклонов, фотоны, пи-мезоны и др. – т. н. бозоны). Характерная особенность Б. – Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. Предложена в 1924 Ш. Бозе для фотонов и развита А. Эйнштейном применительно к молекулам идеального газа.

Одним из важнейших объектов изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ, что связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц можно задать с помощью чисел заполнения Ni—чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, которая состоит из многих тождественных частиц.

Бозоны — это вам не фермионы.

В системе частиц, образованных бозонами, — бозе-газ, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0,

1, 2. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна общему числу частиц системы.

Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, то есть определить средние числа заполнения Ni.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули, а это значит, что произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение довольно сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый бозе-конденсат.

Напомним, что бозоны, например фотоны и атомы гелия-4, имеют нулевой или целочисленный спин. Бозоны так же, как и фермионы, абсолютно тождественны, но поскольку принципиально отличаются от фермионов, то и статистическая вероятность распределения их по энергетическим уровням будет подчиняться другому распределению.

Это распределение для фотонов в 1924 году предложил индийский физик Шатьендранат Бозе, а в 1924-1925 годах Альберт Эйнштейн обобщил его для систем атомов с целым спином. Это распределение и получило название статистика Бозе — Эйнштейна.

Шатьендранат Бозе (18941974) — индийский физик, специализировавшийся в математической физике. Один из создателей квантовой статистики, теории конденсата Бозе — Эйнштейна. В его честь назвали бозон

А по сути — просто газ

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение бозе-газа, впрочем как и ферми-газа, отличается от классического газа, поэтому они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при довольно низких температурах и больших плотностях.

При довольно высокой температуре статистическое описание бозонов переходит в классическое распределение Максвелла — Больцмана.

Функции распределения различаются между системами бозонов (распределение Бозе — Эйнштейна), фермионов (распределение Ферми — Дирака) и классических частиц (распределение Больцмана)

Статистику Бозе — Эйнштейна можно применить, например, к теории теплоемкости твердых тел. Тепловые колебания твердого тела описываются как возбужденные совокупности частиц, соответствующие колебаниям кристаллической решетки. Возбужденные состояния системы частиц можно описать как идеальный газ квазичастиц, называемых фононами. На основании этого представления удается правильно описать поведение твердых тел при низких температурах.

С помощью статистики Бозе — Эйнштейна можно также обосновать теорию излучения абсолютно черного тела, опираясь на представление о фотонах.

Конденсат Бозе — Эйнштейна — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлажденные до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли кельвина).

Читайте также: