Способ триангуляции астрономия кратко

Обновлено: 05.07.2024

Согласно теории всемирного тяготения всякое массивное, изолированное тело, вращающееся вокруг оси с определенной скоростью (не очень быстро), должно принять форму, близкую к шару. Действительно, все наблюдаемые массивные небесные тела (Солнце, Луна, планеты) имеют формы, мало отличающиеся от правильных шаров. Шарообразность Земли хорошо видна на ее фотографиях, полученных из космоса Шарообразность Земли позволяет определить ее размеры способом, который был впервые применен еще Эратосфеном в III в. до н. э. Идея этого способа проста. Возьмем на земном шаре две точки O1 и О2, лежащие на одном географическом меридиане (38). Обозначим длину дуги меридиана O1O2 (например, в километрах) через l, а ее угловое значение (например, в градусах) — через пё. Тогда длина дуги 1ё меридиана l0 будет равна а длина всей окружности меридиана где R — радиус земного шара. Отсюда Угловое значение дуги пё равно разности географических широт точек O1 и О2, т. е. пё = j 1 — j 2, определение которых представляет простую астрометрическую задачу (см. § 86, 87). Значительно сложнее определить линейное расстояние l между точками O1 и О2. Непосредственное измерение расстояния по кратчайшей линии между этими точками, отстоящими одна от другой на сотни километров, невыполнимо вследствие естественных препятствий — гор, лесов, рек и т. п. Поэтому длина дуги l определяется путем вычислений с помощью специального способа, который требует непосредственного измерения только сравнительно небольшого расстояния — базиса и ряда углов. Этот способ разработан в геодезии и называется триангуляцией. Суть метода триангуляции заключается в следующем. По обе стороны дуги O1О2 (39), длину которой необходимо определить, выбирается несколько точек А, В, С, … на расстояниях одна от другой. Точки выбираются так, чтобы из каждой были видны по меньшей мере две другие точки. Во всех точках устанавливаются геодезические сигналы — вышки в форме пирамид — высотой в несколько десятков метров. Наверху сигнала устраивается площадка для наблюдателя и инструмента. Расстояние между двумя точками, например O1А, выбирается на совершенно ровной поверхности и принимается за базис. Длину базиса очень тщательно измеряют непосредственно с помощью специальных мерных лент. Наиболее точные современные измерения базиса длиной в 10 км производятся с ошибкой ±2 мм. Затем устанавливают угломерный инструмент (теодолит) последовательно в точках O1, A, В, С, …, O2 и измеряют все углы треугольников O1АВ, АВС, BCD, … Зная в треугольнике O1AB все углы и сторону O1A (базис), можно вычислить и две другие его стороны O1B и АВ, я зная сторону АВ и все углы треугольника ABC. можно вычислить стороны АС и ВС и т. д. Иными словами, зная в зтой цепи треугольников только одну сторону (базис) и все углы, можно вычислить длину ломаной линии O1BDO2 (или O1ACEO2). При этих вычислениях учитывается, что треугольники не плоские, а сферические. Далее, определив из точки O1 азимут направления стороны O1В (или O1A), можно спроецировать ломаную линию O1ВDO2 (или O1АСЕO2) на меридиан O1O2, т. е. получить длину дуги O1O2 в линейных мерах.

Главная /
Обучение /
Астрономия /
Определение радиуса Земли. Триангуляция

Смотрите также

Колышкин Иван Александрович

Глава 21: Специальные наряды

Отдание воинского приветствия при встречах кораблей

Добавить комментарий

Самое читаемое

Изолирующий дыхательный аппарат ИДА-59М

Устройство ИДА-59М Изолирующий дыхательный аппарат ИДА-59М (рис. 9) представляет собой автономный дыхательный аппарат регенеративного типа с замкнутым циклом дыхания. Аппарат изолирует органы…

Методика проведения искусственной вентиляции легких и закрытого массажа сердца

При различных несчастных случаях, когда у пострадавшего отсутствуют дыхание и признаки сокращения сердца, необходимо как можно раньше приступить к искусственной вентиляции легких и к закрытому…

ДЭПЛ "Волхов" провела в Японском море пуск из подводного положения крылатой ракеты "Калибр" по наземной цели

Атомная подлодка "Братск" признана непригодной к ремонту и восстанавливать ее не будут

Головную многоцелевую атомную подлодку усовершенствованного проекта 885М (шифр "Ясень-М") "Казань", передадут Военно-Морскому Флоту России осенью 2020 года

115 лет подводным силам Тихоокеанского флота

Россия отметила 115-ую годовщину со Дня образования подводных сил Тихоокеанского флота. Во Владивостоке в 1905 году появился первый отряд подлодок "миноносцев"

Экипаж дизель-электрической подводной лодки Балтийского флота "Дмитров" приступил к выполнению учебно-боевых задач и отработке нормативов

Известно, что триангуляция как геодезический термин означает способ создания геодезических сетей. Да, это так. Но следует начать с другого.

Изначально с возникновением потребности человека в познании, обычное мышление приводит его к накоплению определенного багажа знаний. С развитием научного мышления все эти знания систематизируются, в том числе разъясняются на основе фактов, явлений и доказательств. Применяя теоретические предположения на практике, возникают своего рода критерии истины. То есть имеют ли подтверждения практическим путем все те предположения, которые с помощью определенных способов дают конкретный результат. Пожалуй, одним из таких научных методов, решающих задачу по высокоточному измерению больших расстояний между пунктами на земной поверхности с построением примыкающих друг к другу треугольников и измерений внутри них стал способ триангуляции.

В завершение исторического экскурса можно выделить взаимосвязанность и выборность научных познаний для будущего практического применения человеком. И не удивительно, что изобретение способа триангуляции произошло именно в Нидерландах, которые на тот момент считались ведущей морской державой с потребностью новых познаний в навигации, географии, астрономии и конечно геодезии.

Сущность метода

Рис.1. Триангуляционный ряд треугольников по меридиану.

Триангуляционные сети

После первого применения градусного измерения дуги Снеллиусом триангуляционный метод становится основным способом в геодезических высокоточных измерениях. С XIX века, когда триангуляционные работы стали более совершенными с его помощью стали формироваться целые геодезические сети, строящиеся вдоль параллелей и меридианов. Самая знаменитая из всех известна под наименованием геодезической меридианной дуги Струве и Теннера (1816-1852) в последствие зачислена в мировое наследие по ЮНЕСКО. Ее триангуляционный ряд протянулся по Норвегии, Швеции, Финляндии и России от Северного Ледовитого океана до Черного моря в устье Дуная и составил дугу в 25º20´(рис.2).

За основу геодезических сетей триангуляции в нашей стране принята схема профессора Ф.Н.Красовского (рис.3). Ее суть заключается в применении принципа построений от общего к частному. Изначально закладываются вдоль меридианов и параллелей пункты, образующие ряды треугольников протяженностью в пределах 200-240 км. Длины сторон в самих треугольниках составляют 25-40км. Все астрономические измерения азимутов, координат (широт и долгот) выходных точек на пунктах Лапласа (1) и промежуточных астрономических точках (2), высокоточные базисные (3) геодезические измерения и в каждой точке этой цепи должно соответствовать установленным требованиям I класса точности (рис.3). Замкнутый полигон из четырех триангуляционных рядов представляет собой фигуру, напоминающую квадрат с периметром равным ориентировочно около 800 км. Через центральные части первоклассных рядов триангуляции устраиваются в направлении друг к другу основные ряды триангуляционной сети II класса (рис.3) соответствующей точности. Базисные длины сторон в этих рядах не измеряются, а принимаются базисы со сторон триангуляции I класса. Аналогично отсутствуют и астрономические пункты. Возникшие четыре пространства заполняются сплошными триангуляционными сетями и II, и III классов.

Рис.3.Государственные сети триангуляции.

Безусловно описанная схема развития сетей триангуляции по Красовскому не может закрыть всю территорию страны ввиду понятных причин больших лесных и не заселенных территорий страны. Поэтому с запада на восток вдоль параллелей были проложены отдельные ряды первоклассной триангуляции и полигонометрии, а не сплошная триангуляционная сеть.

Достоинства триангуляции

В развитии геодезической науки и ее практического применения очевидны достоинства триангуляционного способа измерений. С помощью этого универсального метода возможно:

Триангуляция

Потребность в измерении громадных, в сотни километров, расстояний – как на суше, так и на море – появилась ещё в древние времена. Метод триангуляции позволил высчитать огромные расстояния и определить фигуру Земли.

Понятие триангуляции

Пежде чем говорить о методе триангуляции, рассмотрим суть термина. Триангуляция — это сеть прилегающих друг к другу треугольников разного вида, можно сравнить с примыканием паркетин; наряду с этим существенно, что примыкают только целые стороны, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли наиболее значимую роль в измерении расстояний на земной поверхности, и тем самым — и в определении фигуры Земли.

История измерения земных расстояний

Капитаны судов, как мы знаем из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, использовавшийся во II в. до н. э. известным древнегреческим философом, великим математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, очевидно, скорости судна).
Но ещё раньше, в III веке до н. э., другой известный древний грек, управлявший библиотекой в Александрии великий математик и астроном Эратосфен, мерил сухопутные расстояния по времени и скорости движения торговых караванов. Возможно предположить, что именно так Эратосфен замерил расстояние между Сиеной и Александрией, которая в настоящее время называется Асуаном (если наблюдать по современной карте, получается приблизительно 850 км). Это расстояние было для него очень серьёзным. Эратосфен желал измерить длину меридиана и думал, что эти два египетских города лежат на одном и том же меридиане; не смотря на то, что это в конечном итоге не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за протяжённость дуги меридиана. Объединив эту длину с наблюдением полуденных высот Солнца над горизонтом в Сиене и Александрии, он потом путём красивых геометрических рассуждений вычислил протяжённость всего меридиана и, как следствие, радиус земного шара. Ещё в XVI веке расстояние (приблизительно 100 км) между Амьеном и Парижем определили подсчитав обороты колеса экипажа. Неточность результатов аналогичных измерений очевидна и объяснима. Но уже в следующем веке голландский математик, астроном и оптик Снеллиус смог изобрести принципиально новый, излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в 1615–1617 гг. измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер 1° 11′ 30″.

Суть метода триангуляции при измерении расстояний

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Вначале выбирают какой-нибудь фрагмент или участок земной плоскости, включающий в себя оба пункта, расстояние между которыми стремятся найти, и доступный для проведения измерительных работ на местности. Данный участок покрывают сетью множества треугольников, образующих триангуляцию т. е. триангулируют. После этого выбирают один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Потом выбирают одну из сторон начального треугольника. Она является базой, и её длину тщательно измеряют. В вершинах начального треугольника строят башни (или вышки) — с таким расчётом, чтобы каждая была видна с других башен. Поднявшись на башню, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие башни. Затем поднимаются на башню, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, путем непосредственного измерения, получают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (в частности: о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По известным и простым формулам тригонометрии (с применением косинуса, синуса, тангенса и катангенса) вычисляют длины 2-х других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не нужно. Используя ту же процедуру, возможно теперь определить длины сторон и углы любого из треугольников, примыкающих к начальному, и т. д. Важно осмыслить, что непосредственное измерение какого-либо расстояния выполняют лишь 1 раз, а дальше уже измеряют только углы между направлениями на башни, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией.

Длина дуги меридиана от широты Северного Ледовитого океана до широты Чёрного моря

Нашу научную экспедицию к берегам Перу мы оставили в том месте, где морской министр Франции, выделивший государственный бюджет на проект, пришел в ужас от кадровой политики ученых и сам занялся подбором персонала, выделением кредитов и денег, а также дипломатической перепиской с испанским двором. Луи Годену, как идеологу, оставалось лишь позаботиться о плане работ и инструментах.

Планирование работ

Планирование работ происходило в публичном пространстве кофеен и трактиров, широко обсуждалось в уже упомянутом нами Градо и в личной переписке всей ученой братии. Над чашками и бокалами разворачивались карты (довольно устаревшие) и шли ожесточенные споры.

Луи Годен, руководитель, ослепленный легким успехом, заявляет о том, что лучше измерить длину не 1 градуса меридиана (около 111 км), а целых четырех. Определенный смысл в этом действительно есть: чем большее расстояние мы измеряем, тем больше мы в безопасности от влияния случайных погрешностей. Но четыре градуса! Почти четыре с половиной сотни километров в малоизученном высокогорье, на которое и карт-то толком нет!

Красным помечена предлагаемая к измерению дуга меридиана.

В чем заключалась задача экспедиции? Требовалось измерить длину дуги меридиана в 1 градус на экваторе и сравнить, на сколько туазов (это местная мера длины) она отличается от 1 градуса Парижского меридиана.

На злобу дня в Академию пришло едкое письмо из России, где в самом вежливом тоне Жозеф Делилль, создатель Санкт-Петербургской обсерватории, предложил коллеге не мелочиться и, чего уж, измерить дугу меридиана до самой Огненной Земли. Чтобы дважды не ходить. Впрочем, Делилль имел право быть сколько угодно резким: Годен был его учеником.

"Осип Николаевич" Делилль (отец российской астрономии), гравюра Конрада Вестрмайра, Википедия).

Маленькая историческая справка

В 1735 году, о котором мы говорим, в России царствовала Анна Иоанновна, племянница Петра I: Екатерина I уже умерла, а ее дочь Елизавета еще не захватила престол. Кстати, если вы окажетесь в Москве, сходите поглядеть на Царь-колокол. Когда Луи Годен готовил свою экспедицию, Царь-колокол отливали в Кремле в специально подготовленной яме. А в Академии Наук Петербурга за астрономию отвечал Жозеф Николя Делилль, приглашенный из Парижа еще Петром I.

Делилль совершенно легендарный дядька. Учился он у Джованни Кассини, итальянца, стоявшего во главе первой обсерватории Парижа. Потом уехал в Россию делать обсерваторию в Петербурге. Тогда она размещалась в здании Кунсткамеры. Он закупил приборы, написал план обучения молодых астрономов, организовал регулярные метеоизмерения, предложил основать службу времени. Кстати, в Кунсткамере в экспозиции "Первая обсерватория" демонстируются те самые заказанные им инструменты. По предложению Делилля, при Академии Наук был создан Географический департамент для руководства картографированием. Страна большая, карты на эту огромную территорию надо создавать, а существующие - обновлять. Более того, Делилль придумал коническую проекцию, как раз для нашей территории подходящую.

Про проекции хочу немного пояснить

Помните старую шутку:

Никто не сделал больше для величия России, чем проекция Меркатора.

Судя по общественному резонансу, слишком многие приняли изящный юмор за чистую монету. Дело в том, что нельзя просто так взять и перенести (земной) шар (мы же еще про XVIII век) на плоскость.

Выше картинка цилиндрической проекции Меркатора Проекция - это математический способ перенести изображение с земного шара на плоскую карту с контролируемым искажением углов и расстояний. Идея проста: земной шар мы оборачиваем бумажным цилиндром, и в месте соприкосновения (это может быть экватор, как на картинке, или меридиан) длина линии (например, дороги) на шаре будет равна длине линии на бумаге. Чем дальше от места касания - тем больше при переносе на бумагу будут искажены длины линий. Поперечная проекция Меркатора (когда цилиндр касается Земного шара по меридиану) - сегодня самая популярная из проекций.

Россия, однако, далеко от экватора и вытянута с востока на запад. Получаются сплошные искажения. Поэтому Делилль в своем XVIII веке придумал специальный подвид конической проекции.

Коническая проекция из "В.Н. Попов, С.И. Чекалин. Геодезия: Учебник для вузов.- М.: "Горная книга", 2007."

Тут земной шар оборачивается конусом, а значит "соприкосновение" бумаги с шаром идет по параллели. Профит: меньше искажений на нашу большую территорию.

Почему Делилль молодец и про проекции надо помнить? Во-первых, до конца ХХ века по бумажным картам выполняли измерения: определяли длины и площади. И подготовка любого путешествия велась по картам. Не учел искажение - не заложил денег и провианта - погиб в пути. Сейчас проекции тоже существуют, хотя обычный пользователь редко сталкивается с ними напрямую. А вот косвенно - еще как. Дело в том, что координаты, которые измеряет GPS-приемник (при обмере приусадебного участка, для постановки на учет, например) - пространственные и относятся к тому самому Земному шару (~~на самом деле, эллипсоиду~~). А координаты, которые фигурируют в документах на собственность - плоские. Относящиеся к поперечно цилиндрической проекции шара на плоскость. И, чтобы пересчитать одно в другое, надо не только помнить о том, что пересчет необходим, но и помнить, с какой точностью выведены те формулы, которые заложены в программу пересчета.

Кстати, Делилль тоже пытался заниматься градусными измерениями: года через два после Луи Годена. Но ему сократили финансирование, поскольку для нашей страны эта сугубо научная (как тогда казалось) задача не была первостепенной. Увы, карьера ученого в Петербурге завершилась бесславно. Он оказался замешан в шпионском скандале (то ли правда было за что, а то ли политическая борьба за место директора обсерватории) и вернулся в Париж к 1747 году. Зато в России весь XVIII век для измерения температуры использовали градусы Делилля. Но вернемся к основному повествованию.

Как измерить длину дуги меридиана?

Что именно собирались делать ученые, когда доберутся до тайного города Кито, что в Перу? Помните, мы уже говорили об Эратосфене и градусных измерениях? Градусные измерения - это когда между двумя точками, расположенными на одном меридиане, измеряют расстояние и разность широт.

Градусные измерения Эратосфена: известно расстояние L в линейной мере и градусной: разность широт между точками.

Про измерение расстояния: к XVIII веку (и, кстати, до конца века двадцатого) для этой цели применялся метод триангуляции. Как следует из названия - она имеет отношение к треугольникам.

Как триангуляция появилась в геодезии?

Был такой голландский ученый, живший в XVI веке, Эратосфен Батавский (в те времена было принято брать себе хвастливые прозвища, подражая ученым древности), он же Виллеборд Снелл. Именно он использовал и популяризировал известную из математики триангуляцию для геодезических работ.

Подобно Эратосфену, Снелл тоже выполнял градусные измерения для определения радиуса Земли. Ему тоже нужно было найти длину дуги меридиана в градусах и в линейной мере (милях, к примеру). Однако караванов с погонщиками в северной Европе не было, так что расстояние пришлось определять самостоятельно.

Как устроена триангуляция?

Предположим, мы хотим найти расстояние между весьма удаленными точками (допустим удаленных на 100 километров). Просто измерить это расстояние невозможно: нет прямой видимости, нет возможности хотя бы построить прямую линию между точками (ведь одна может находиться на холме а другая на низменности, между ними могут быть реки, овраги и озера. На помощь приходит цепочка треугольников.

Это звено триангуляции АВ

Допустим, нам нужно найти расстояние (АВ). Мы строим цепочку стыкующихся треугольников вокруг этой линии и измеряем небольшую (до 10 км) сторону треугольника A-1.

Фрагмент триангуляции. А-1 - измеренная сторона (базис).

Измеренная сторона на рисунке помечена коричневым. Дальше мы угломерным прибором (квадрантом, астролябией, тахеометром) измеряем все внутренние углы треугольника 1-А-2. Получается, нам известны одна сторона и углы в треугольнике. Значит мы можем вычислить оставшиеся стороны в треугольнике. Среди прочего - мы найдем сторону А-2. И, если мы измерим все углы в треугольнике А-2-3, то сможем найти все стороны и для него тоже. Таким образом, последовательно решая стыкующиеся треугольники, для которых известны внутренние углы, мы сможем отыскать длины сторон всех треугольников.

Тут возникает нестыковка: мы можем отыскать все элементы треугольника по стороне и всего лишь двум углам. Значит, измерять все углы нет необходимости, достаточно измерить только два из трех? Теоретически это так. Однако на практике измеряют третий угол, чтобы обеспечить избыточность измерений. Как минимум - это такой простейший контроль: если сумма всех углов не будет равна 180 градусам - где-то в измерения вкралась серьезная ошибка.
Существуют статистические методы (курс ТМОГИ), позволяющие оценить погрешность, с которой были выполнены измерения и вычисления окончательной величины (расстояния), но в первой трети XVIII века, о которой я рассказываю, про все это имелись скорее смутные догадки.

Примерно по такой схеме, как описана выше, строил свои рассуждения Снелл. Он измерил расстояние от своего дома до шпиля местной церкви, а затем построил цепочку стыкующихся треугольников (триангуляции), которая позволила ему определить расстояние между городами Алкмар и Берген-оп-Зом, которые лежат на одном меридиане. Далее, зная длину дуги меридиана в линейной мере (милях) и в градусной мере - он мог вычислить радиус Земли, подобно Эратосфену (настоящему Эратосфену, Киренскому).

Метод Снелла оказался удачным, выполнимым и был взят на вооружение. Разумеется, по мере применения он совершенствовался: измерения выйдут точнее, если треугольники будут, по возможности, равносторонние или хотя бы равнобедренные. Придумали также делать дополнительный базис (измерять еще одну сторону треугольника где-то в конце цепочки) - для контроля. Эта сторона треугольника будет известна из измерений и из вычислений. Разница поможет оценить погрешность, с которой проводились работы.

Кстати, триангуляция была основным методом высокоточных геодезических измерений до самого конца XX века, пока не появились спутниковые системы позиционирования, GPS/ГЛОНАСС. Но это уже - совсем другая история.

Современный (конец ХХ века) пункт триангуляции в Тульской области.

Вернемся к Экваториальной экспедиции 1735 года. Что именно предстояло сделать ученым?

Схема триангуляции из журнала Лакондамина.

Ученые решают разбить вдоль меридиана (с севера на юг) цепочку треугольников. Треугольники требуется делать по возможности равносторонними или хотя бы равнобедренными, на местности необходимо обеспечить видимость хотя бы на две соседние вершины. Учитывая расстояния и сложности местного рельефа, треугольников по плану двадцать семь. Длина стороны в них около 30-40 км.

На современную карту тут наложены треугольники перуанской экспедиции (примерный экскиз)

Измерена будет сторона одного из северных треугольников (базис в районе Яруки) и еще одна сторона на юге (базис в Куэнке), для контроля результатов. К сожалению, ввиду того, что это горная цепь с ущельями, скалами, реками и провалами, удобное плато для базиса было найти трудно, поэтому его длина существенно меньше (раза в четыре), чем длины сторон основных треугольников. Базис составит около 12 км. Во всех прочих треугольниках будут измерены внутренние углы. После этого ученые последовательно вычислят длины сторон всех треугольников.

Казалось бы: как теперь из наклонных сторон треугольников получить длину меридиана? Ученые будут вычислять длину проекции каждой западной стороны треугольника на меридиан. В сумме они дадут длину дуги меридиана:

Искомую длину меридиана вычисляли по сумме проекций сторон треугольника на меридиан

Кстати, вот любопытный факт про измеряемую сторону треугольника (базис, как он называется в триангуляции):

Деллиль в России (и еще кое-то из его коллег в Швеции) считал, что удобно будет измерять базис по замерзшему льду реки или залива, поскольку он образует ровную, поверхность с идеальной видимостью. Очень крутая и новаторская по тем временам мысль. Увы, замерзающих заливов в Перу не было.

Тот план, который Годен изначально представил в Академии, касался измерений в горной долине между западной и восточной цепью Анд. Это казалось разумным: горные вершины послужат отличным ориентиром для наблюдений, а города Кито (на севере) и Куэнка (на юге), упомянутые на карте, должны иметь хоть какие-то подъездные дороги. Однако потом Годен увлекся идеей измерять не меридиан, а параллель, его коллеги вообще хотели держаться ближе к побережью, так что планирование миссии застопорилось и окончательный ответ на вопрос “а что именно мы там будем делать?” не был дан до самого отплытия из Франции.

"Удобная для измерений" горная долина Кито, Википедия.

В защиту такого подхода руководителя миссии следует сказать, что предварительная подготовка работ велась по очень приблизительным картам, самой свежей из которых было лет двадцать. Последним французом, побывавшим в Перу был Амеде Франсуа Фрезье (торговец, инженер и шпион).

Картматериалы из "Описания путешествия" Фрезье, 1712 г.

Любопытно, что широко известен он совсем не разведдеятельностью, а клубничным десертом. Именно он привез чилийскую землянику в королевскую оранжерею. И свое французское имя fraise, ананасная земляника, ее потомок, носит по его фамилии. В общем, планирование экспедиции, хотя и было занимательным, содержало слишком много белых пятен. Все станет понятно на местности. А пока следовало позаботиться об инструментах.

§ 13. О пределение расстояний и размеров тел в С олнечной системе

1. Форма и размеры Земли

П редставление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений науки древнего мира.

Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провёл греческий учёный Эратосфен (276—194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, какую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1 ° , а затем длину окружности и величину её радиуса, т. е. радиуса земного шара. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: ϕ B – ϕ A .

Рис. 3.8. Способ Эратосфена

Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в один и тот же день в двух городах, находящихся на одном меридиане. Измерив высоту Солнца h B (рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александрии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2 ° . В этот день в полдень в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т. е. находится в зените ( h A = 90 ° ). Следовательно, длина дуги составляет 7,2 ° . Расстояние между Сиеной ( A ) и Александрией ( B ) около 5000 греческих стадий — l .

Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооружённый греческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солнце, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.

Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и достаточную громоздкость словесного определения, её введение выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счёта времени.

Обозначив длину окружности земного шара через L , получим такое выражение:

= ,

откуда следует, что длина окружности земного шара равняется 250 тыс. стадий.

Точная величина стадии в современных единицах неизвестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуаном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Результат, полученный Эратосфеном, практически не отличается от современных данных, согласно которым длина окружности Земли составляет 40 тыс. км.

Рис. 3.9. Параллактическое смещение

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — BC ) и двух углов B и C в треугольнике ABC (рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.

Рис. 3.10. Схема триангуляции

Для определения длины дуги используется система треугольников — способ триангуляции , который впервые был применён ещё в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольников выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30—40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса AC (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км составляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодезические сигналы — вышки высотой в несколько десятков метров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмента ( теодолита ) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно узнать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно определить длину дуги AB .

В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения формы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспедиции. Одна из них работала в экваториальных широтах Южной Америки в Перу, другая — вблизи Северного полярного круга на территории Финляндии и Швеции. Измерения показали, что длина одного градуса дуги меридиана на севере больше, чем вблизи экватора. Последующие исследования подтвердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Её полярный радиус на 21 км короче экваториального.

Для школьного глобуса масштаба 1 : 50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т. е. совершенно незаметно.

Отношение разности величин экваториального и полярного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием . По современным данным, оно составляет , или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.

В XX в. благодаря измерениям, точность которых составила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя считать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего (в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передаёт фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, проходящей через центр Земли, не является окружностью.

В настоящее время форму Земли принято характеризовать следующими величинами:

сжатие эллипсоида — 1 : 298,25;

средний радиус — 6371,032 км;

длина окружности экватора — 40075,696 км.

2. Определение расстояний в Солнечной системе. Горизонтальный параллакс

И змерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определён горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является её радиус.

Горизонтальным параллаксом ( p) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11) .

Рис. 3.11. Горизонтальный параллакс светила

Из треугольника OAS можно выразить величину — расстояние OS = D :

D = ,

где R — радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выразить расстояние в километрах.

Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем меньше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Луны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57 ʹ . Параллаксы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца равен 8,8 ʺ . Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 млн км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.) и используется при измерении расстояний между телами Солнечной системы.

Известно, что для малых углов sin p ≈ p , если угол p выражен в радианах. В одном радиане содержится 206 265 ʺ . Тогда, заменяя sin p на p и выражая этот угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:

D = R ,

или (с достаточной точностью)

D = R .

Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определять расстояния до тел Солнечной системы посредством радиолокации . Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На основе радиолокации Венеры величина астрономической единицы определена с точностью порядка километра. Столь высокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчётов траекторий полёта космических аппаратов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.

П РимеР РешениЯ задаЧи

На каком расстоянии от Земли находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9 ʺ ?

Известно, что параллакс Солнца на расстоянии в 1 а. е. равен 8,8 ʺ .

Тогда, написав формулы для расстояния до Солнца и до Сатурна и поделив их одна на другую, получим:

= .

D 1 = = = 9,8 а. е.

Ответ : D 1 = 9,8 а. е.

3. Определение размеров светил

Рис. 3.12. Угловые размеры светила

З ная расстояние до светила, можно определить его линейные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12). Формула, связывающая эти величины, аналогична формуле для определения параллакса:

D = .

Учитывая, что угловые диаметры даже Солнца и Луны составляют примерно 30 ʹ , а все планеты видны невооружённым глазом как точки, можно воспользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ . Тогда:

D = и D = .

r = R .

Если расстояние D известно, то

где величина ρ выражена в радианах.

П РимеР РешениЯ задаЧи

Чему равен линейный диаметр Луны, если она видна с расстояния 400 000 км под углом примерно 30 ʹ ?

Если ρ выразить в радианах, то

d = = 3490 км.

Ответ : d = 3490 км.

В опросы 1. Какие измерения, выполненные на Земле, свидетельствуют о её сжатии? 2. Меняется ли и по какой причине горизонтальный параллакс Солнца в течение года? 3. Каким методом определяется расстояние до ближайших планет в настоящее время?

У пражнение 11 1. Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, наблюдаемого с Земли в противостоянии, если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля? 2. Расстояние Луны от Земли в ближайшей к Земле точке орбиты (перигее) 363 000 км, а в наиболее удалённой (апогее) — 405 000 км. Определите горизонтальный параллакс Луны в этих положениях. 3. Во сколько раз Солнце больше, чем Луна, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы равны 8,8 ʺ и 57 ʹ соответственно? 4. Чему равен угловой диаметр Солнца, видимого с Нептуна?

Читайте также: