Сохранение энергии при колебаниях кратко

Обновлено: 05.07.2024

Колебания - это самая общая форма движения динамических систем около положения равновесия. При малых отклонениях от положения равновесия колебания обычно являются гармоническими. В этом заключается их особенная значимость.

где $\omega^2$ - циклическая частота колебаний; $x$ -расстояние положения равновесия

называют уравнением механических гармонических колебания. Колебания происходят вдоль оси $X$.

Решением уравнения (1) можно считать функции:

$x=A\sin (\omega t+\varphi)$ или

$x=A\cos (\omega t+\varphi_1)$,

где $A$ - амплитуда колебаний.

Систему, которая реализует данные малые колебания, называют линейным или гармоническим осциллятором. Примером гармонического осциллятора может служить

малое тело, подвешенное на упругую пружину (Пружинный маятник);
физический маятник (Тело, которое совершает колебания относительно точки (или оси, проходящей через точку тела), не являющейся его центром масс);
математический маятник; (Малое тело, совершающее колебания на длинном, нерастяжимом, невесомом подвесе).

Собственными называют колебания системы под воздействием только внутренних сил при отсутствии внешних воздействий.

В полной механической энергии гармонического осциллятора выделяют:

потенциальную энергию;
и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Говорить о потенциальной энергии можно только, если действующие силы потенциальны. Если колебательные движения между двумя точками являются одномерным, то автоматически обеспечивается условие потенциальности и всякую силу, зависящую только от координат, можно считать потенциальной.

Если рассматривается линейный осциллятор, то обычно считают, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия. Считая, что осциллятор заставляет совершать колебания сила упругости;

и зная, как связана потенциальная энергия и потенциальная сила, (для одномерного случая: $F=-\frac$), потенциальную энергию линейного осциллятора определим как:

Готовые работы на аналогичную тему

Из формулы (3) видно, что потенциальная энергия при колебаниях изменяется с течением времени, так как изменяется $x$. Частота колебаний потенциальной энергии $2\omega$.

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия тела – это энергия движения, она зависит от скорости перемещения материальной точки, задается выражением:

Кинетическая энергия является переменной во времени физической величиной. Колебания ее происходят с частотой $2\omega$ (эта частота в два раза больше, чем частота колебаний $x$)

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

Как было отмечено, кинетическая энергия и потенциальная энергия являются переменными во времени величинами, однако, их сумма у гармонического осциллятора, выполняющего свободные колебания, не изменяется:

Полная энергия системы ($E$) не изменяется, поскольку при гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии, так как сила упругости является консервативной.

Закон сохранения энергии позволяет сделать два существенных вывода

Вывод первый. Наибольшая кинетическая энергия осциллятора равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия осциллятора максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

где $V$ - максимальная скорость.

Вывод второй. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Средняя кинетическая энергия.

Пусть параметр $f$ функция времени, тогда средняя ее величина на отрезке времени от $t_1$ до $t_2$ равна:

где пределы интегрирования обозначают 1 - время $t_1$; 2 - $t_2$.

Если функцию $f(t)$ изобразить на графике (рис.1), то ее среднее значение будет соответствовать высоте прямоугольника, площадь которого ограничивают функция $f$ и ось $t$ на заданном отрезке времени.

Площадь под осью $t$ считают отрицательной.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем закон движения осциллятора как:

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi) (7)$,

его скорость равна:

$\dot=-A\omega\sin (\omega t+\varphi) (8).$

Выражение для потенциальной энергии представим как:

Кинетическую энергию представит выражение:

Отрезком времени, на котором будем брать среднее, станет период колебаний, вернее одного колебания. Нахождение средних значений кинетической и потенциальной энергии сводят к поиску средних от $\cos^2 (\omega t+\varphi)$ и $\sin^2 (\omega t+\varphi)$:

$(\sin^2 (\omega t+\varphi))_=\frac\int_0^T \cos^2 (\omega t+\varphi)dt=\frac\int_0^T\frac(1-\cos 2(\omega t+\varphi)dt)=\frac,$

где $T$ - период колебаний; $\omega T=2\pi.$

По аналогии получаем:

$\sin^2 (\omega t+\varphi)_sr=\frac.$

В результате имеем:

средняя по времени потенциальная энергия гармонического колебания за один период равна:

средняя по времени кинетическая энергия составила:

Сравнивая (10) и (11) мы видим, что:

где $E$ - полная механическая энергия гармонических колебаний.

то есть средняя по времени кинетическая энергия осциллятора равна средней по времени потенциальной энергии.

Рассмотрим колебательное движение математического маятника (Рис. 1). Известно, что маятник, как и всякая колебательная система, производит колебания до тех пор, пока обладает энергией.

Если тело маятника отклонить от положения равновесия, то колебательная система получит начальную энергию, которая равна потенциальной энергии тела:

Если отпустить маятник, произойдет увеличение скорости тела маятника, а значит, и увеличение его кинетической энергии:

Если потери энергии на преодоление сил трения или сопротивления чрезвычайно малы и ими можно пренебречь, то, согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия маятника будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела:

Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, т.е. взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости.

Следует отметить, что кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы изменяются с течением времени с заданным периодом. Период их изменения в два раза меньше периода колебаний системы.

Если маятник будет расположен в самых крайних положениях, то полная энергия колебательной системы будет определяться только потенциальной энергией. При прохождении положения равновесия энергия системы будет определяться уже максимальной кинетической энергией тела.

Рассмотрим графики колебательного процесса маятника (Рис. 2).

При допущении, что силами трения и сопротивления можно пренебречь, в случае свободных колебаний система (маятник) получает энергию лишь в начальный момент времени, а дальше полная энергия колебательной системы не меняется, как и амплитуда колебаний (кривая 1). В этом случае в каждый момент времени полная механическая энергия, равная сумме потенциальной и кинетической энергий тела, остается постоянной. То есть при любых процессах, происходящих в консервативной системе, ее полная механическая энергия остается неизменной.

Но обычно в реальных колебательных системах мы наблюдаем различные силы трения, сопротивления среды. Поэтому энергия реальной колебательной системы будет уменьшаться с течением времени из-за присутствия данных сил. Например, механическая энергия будет расходоваться на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуху. Амплитуда колебаний при этом уменьшится, а со временем колебания затухнут (кривая 2). Такие колебания получили название затухающие колебания. Свободные колебания всегда являются затухающими.

Если на практике в колебательной системе действуют значительные силы трения и сопротивления среды, то механическая энергия системы может быть израсходована уже за один период колебания, и колебания в этом случае уже не будут периодическими (кривая 3).

Также на колебательную систему может воздействовать некая периодическая сила извне, так называемая вынуждающая сила. Например, движение качелей, которые кто-то раскачивает, в этом случае мы наблюдаем вынужденные колебания.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся переменной силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой изменения внешней силы.

При совпадении частоты изменения прилагаемой к системе внешней силы и собственной частоты колебаний системы возникает явление резонанса.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте этой системы.

Вынужденные колебания по сравнению со свободными оказываются незатухающими, так как при вынужденных колебаниях система получает энергию от источника внешней силы непрерывно. Данная энергия восполняет потери, связанные с необходимостью преодолевать силы трения (сопротивления), и поэтому вынужденные колебания будут незатухающими.

Кинетическая и потенциальная энергии тела при колебательном процессе переходят друг в друга: если маятник расположен в самых крайних положениях, то полная энергия колебательной системы будет определяться потенциальной энергией, а при прохождении положения равновесия – энергия системы будет определяться максимальной кинетической энергией тела.

Энергия реальной колебательной системы будет уменьшаться с течением времени из-за присутствия в ней сил трения и сопротивления.

Умножим уравнение (1.18) гармонических колебаний на скорость изменения переменной x:

Каждое из слагаемых можно представить как соответствующую производную:

так что уравнение (1.28) записывается в виде:

Отсюда следует, что величина в скобках не зависит от времени, то есть сохраняется в процессе колебаний:

Для выяснения физического смысла сохраняющейся величины применим эти соотношения к пружинному маятнику, когда

Видим, что уравнение (1.30) можно записать в виде суммы кинетической энергии груза и потенциальной энергии деформированной (сжатой или растянутой) пружины:

Таким образом, найденный закон сохранения есть не что иное, как закон сохранения полной энергии системы.

Аналогично, для электромагнитного контура переменная

В этом случае соотношение (1.30) принимает вид:

Первый член — это энергия магнитного поля в катушке, а второй — энергия электрического поля в конденсаторе. Снова мы получили, что сохраняется полная энергия системы.

Возвращаясь к общей форме (1.30) закона сохранения энергии и подставляя сюда общее решение (1.23), получаем законы изменения во времени кинетической и потенциальной энергий (или их аналогов) и выражение для сохраняющейся полной энергии:

Отсюда следует, что

кинетическая и потенциальная энергии — периодические функции времени с периодом, равным половине периода колебаний;

кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе: когда кинетическая энергия достигает максимума, значение потенциальной энергии минимально и наоборот;

Сказанное проиллюстрировано на рис. 1.11, на котором показаны изменения кинетической и потенциальной энергий для пружинного маятника и электромагнитного контура.

Рис. 1.11. Изменения во времени различных форм энергии в колебательной системе:
1 – пружинный маятник; 2 – электромагнитный колебательный контур

Механическая энергия.
Закон сохранения энергии

Раздел ОГЭ по физике: 1.18. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Формула для закона сохранения механической энергии в отсутствие сил трения. Превращение механической энергии при наличии силы трения.

1. Энергия тела – физическая величина, показывающая работу, которую может совершить рассматриваемое тело (за любое, в том числе неограниченное время наблюдения). Тело, совершающее положительную работу, теряет часть своей энергии. Если же положительная работа совершается над телом, энергия тела увеличивается. Для отрицательной работы – наоборот.

Энергией называют физическую величину, которая характеризует способность тела или системы взаимодействующих тел совершить работу.
Единица энергии в СИ 1 Джоуль (Дж).

2. Кинетической энергией называется энеpгия движущихся тел. Под движением тела следует понимать не только перемещение в пространстве, но и вращение тела. Кинетическая энергия тем больше, чем больше масса тела и скорость его движения (перемещения в пространстве и/или вращения). Кинетическая энеpгия зависит от тела, по отношению к которому измеряют скорость рассматриваемого тела.

3. Потенциальной энергией называется энергия взаимодействующих тел или частей тела. Различают потенциальную энергию тел, находящихся под действием силы тяжести, силы упругости, архимедовой силы. Любая потенциальная энергия зависит от силы взаимодействия и расстояния между взаимодействующими телами (или частями тела). Потенциальная энергия отсчитывается от условного нулевого уровня.

Потенциальной энергией обладают, например, груз, поднятый над поверхностью Земли, и сжатая пружина.
Потенциальная энергия поднятого груза Е_п = mgh .
Кинетическая энергия может превращаться в потенциальную, и обратно.

4. Механической энергией тела называют сумму его кинетической и потенциальной энергий. Поэтому механическая энеpгия любого тела зависит от выбора тела, по отношению к которому измеряют скорость рассматриваемого тела, а также от выбора условных нулевых уровней для всех разновидностей имеющихся у тела потенциальных энергий.

Механическая энергия характеризует способность тела или системы тел совершить работу вследствие изменения скорости тела или взаимного положения взаимодействующих тел.

5. Внутренней энергией называется такая энергия тела, за счёт которой может совершаться механическая работа, не вызывая убыли механической энергии этого тела. Внутренняя энеpгия не зависит от механической энергии тела и зависит от строения тела и его состояния.

6. Закон сохранения и превращения энергии гласит, что энеpгия ниоткуда не возникает и никуда не исчезает; она лишь переходит из одного вида в другой или от одного тела к другому.

Закон сохранения механической энергии: если между телами системы действуют только силы тяготения и силы упругости, то сумма кинетической и потенциальной энергии остается неизменной, то есть механическая энергия сохраняется.

7. Изменение механической энергии системы тел в общем случае равно сумме работы внешних по отношению к системе тел и работы внутренних сил трения и сопротивления: ΔW = А_внешн + А_диссип

Если система тел замкнута (А_внешн = 0), то ΔW = А_диссип, то есть полная механическая энергия системы тел меняется только за счёт работы внутренних диссипативных сил системы (сил трения).

Если система тел консервативна (то есть отсутствуют силы трения и сопротивления А_тр = 0), то ΔW = А_внешн, то есть полная механическая энергия системы тел меняется только за счёт работы внешних по отношению к системе сил.

8. Закон сохранения механической энергии: В замкнутой и консервативной системе тел полная механическая энергия сохраняется: ΔW = 0 или W_п1 + W_к1 = W_п2 + W_к2 . Применим законы сохранения импульса и энергии к основным моделям столкновений тел.

Абсолютно неупругий удар (удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью). Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется:

Абсолютно упругий удар (удар, при котором сохраняется механическая энергия системы). Сохраняются и импульс системы тел, и полная механическая энергия:

Удар, при котором тела до соударения движутся по прямой, проходящей через их центры масс, называется центральным ударом.

Схема «Механическая энергия.
Закон сохранения энергии. Углубленный уровень«

Читайте также: