Случайные события и операции над ними кратко

Обновлено: 04.07.2024

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.


Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События Ak (k=1, 2, . n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:



.

Примеры:

1. Пусть испытание - бросание кубика. Событие А - выпадение четного количества очков, В - нечетного, С - выпадение очков менее 4-х. Тогда событие А+В- выпадение четного или нечетного количества очков, т.к. эти события несовместны; событие C+В(совместные события)- выпадение нечетных очков или выпадение очков менее 4-х, или одновременное наступление событий C и В - выпадение 3-х или одного очка.

2.Испытание - бросание кубика. События: А - выпадение четного количества очков, В - выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ - выпадение шести очков.

Используя операции сложения и умножения событий можно сложное событие разложить на более простые и наоборот.

3. Пусть некоторый прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Испытание -работа элементов прибора в течении некоторого отрезка времени. Обозначим события: А1- поломка первого элемента в течение указанного времени, А2- поломка второго, А3- поломка третьего. Рассмотрим противоположные им события : А1, А2, А3- бесперебойная работа соответственно первого, второго и третьего элементов. Записать с помощью операций событие: а) только второй элемент выйдет из стоя за время работы; б) только один элемент выйдет из строя; в) какие-либо два элемента выйдут из строя; г) все элементы выйдут из строя; д) ни один элемент не выйдет из строя; е) хотя бы один элемент выйдет из строя.

Решение: а) Это событие означает совместное наступление трех событий: А1-бесперебойная работа первого элемента и А2 -поломка второго и - А3 работа третьего. Этому событию соответствует выражение - А1А2 А3

б) Это событие означает поломку или первого, или второго , или третьего. Поломка первого-А1А2 А3; поломка второго-А1А2 А3; поломка третьего- А1А2 А3Событие- только один элемент выйдет из строя- это сумма описанных событий, являющихся несовместными, ему соответствует выражение

в) Это событие можно представить как сумму несовместных событий : произошла поломка первого и второго, а третий - работает А1А2 А3; поломка первого и третьего и работа второго А1А2 А3; поломка второго и третьего и работа первого А1А2 А3. Искомое событие - А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3.

г) Это совместное наступление событий - поломка первого и второго и третьего, а значит их произведение : А1А2А3;

д) Это совместное наступление событий - работа первого и второго и третьего, а значит их произведение А1А2 А3.

е) Это событие означает поломку или одного, или двух, или всех трех элементов. Этому событию соответствует выражение: А1+А2+А3 или А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2 А3+ А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2А3. Но это событие является противоположным событию - ни один элемент не выйдет из строя, тогда его можно записать в виде:

Теория вероятностей занимается изучением случайных событий и их вероятностей.

Будем говорить, что производится испытание (опыт, эксперимент, наблюдение), если осуществляется некоторая совокупность условий, в результате чего могут происходить какие-то события.

Примеры испытаний: 1)бросание одной или нескольких монет (или кубиков), 2) выбор наугад из заданной однородной группы предметов (урна с шарами, колода карт, партия деталей и т.п.) некоторого меньшего количества этих предметов, 3)стрельба по мишени.

Основным понятием в теории вероятностей является понятие случайного события. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти (см. также с.5).

Все события можно разделить на три типа:

невозможное событие ( обозначим его - Æ) - это такое событие, которое в результате испытания не может произойти,

достоверное событие ( обозначим его W) - это событие, которое в результате испытания обязательно происходит. Наконец, основная масса событий – это

случайные события ( их обычно обозначают А, В, С. ), т.е. такие, которые в результате испытания могут произойти, а могут и не произойти.

Вероятность P(A) случайного события А - это число, отражающее меру возможности появления события А в данном испытании.

Р(Æ)= 0, Р( ) = 1.

Рассмотрим некоторое испытание и связанное с ним случайное событие А. Предположим, что это испытание произведено многократно при неизменных условиях. Пусть n - число всех проведенных испытаний, k - число испытаний, при которых событие А произошло.

Относительной частотой (частостью) события А в этой серии испытаний называется число

Длительные наблюдения показывают, что имеет место свойство устойчивости относительных частот:

1) при проведении нескольких серий из n испытаний относительные частоты каждой из этих серий будут примерно одинаковыми и

2) с увеличением числа испытаний n относительные частоты все меньше и меньше будут отклоняться друг от друга.

Если эти относительные частоты разумным образом округлить, то полученное таким образом число P(А) называют статистической вероятностью события А. Условно эту процедуру можно обозначить так:

Статистическое определение вероятности используют в качестве оценки вероятности, но оно требует больших затрат времени. Однако в некоторых случаях статистическое определение является единственной пригодным.

Например, пусть испытанием является бросание заведомо несимметричного кубика или кубика, у которого центр тяжести смещен относительно геометрического центра (фальшивая игральная кость). В этом случае вероятности выпадения каждой из шести граней можно найти только статистически.

Проведение повторных испытаний может быть сопряжено с большими материальными затратами или невозможно. Поэтому важно уметь находить вероятность случайного события без проведения испытаний, а лишь используя знание о возможных результатах проведенного испытания.

Пространством элементарных исходов (событий) W некоторого испытания (опыта ) будем называть множество всех возможных результатов проведения этого испытания.

№ Испытание Случайные события Пространство элементарных исходов W
Монету подбрасывают два раза А - число орлов и решек будет поровну В - выпадет хотя бы один орел С - обе монеты выпадут орлом
Кубик (игральную кость) бросают два раза А - выпадет хотя бы одна шестерка В - сумма выпавших очков будет меньше десяти С - выпадут две единицы
Из колоды в 36 карт достают наугад три карты А - все три карты будут одной масти В - хотя бы одна из трех карт является тузом С - все три карты будут разного достоинства
Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, достают по очереди наугад 3 шара А - все шары будут одного цвета В - цвета шаров будут чередоваться С - среди вынутых шаров белых больше, чем черных
Производится один выстрел в тире А - попадание в мишень Стена в тире, на которой установлена мишень

В случаях примеров испытаний 3),4) пространства W содержат большое число элементов, которое находят, применяя формулы комбинаторики (см. стр. 12).




Понятие пространства элементарных исходов используется для определения понятия случайного события.

Случайным событием называется всякое подмножество А пространства элементарных исходов W некоторого испытания.

Случайное событие А происходит, если в результате испытания имеет место один из исходов события А. Поэтому исходы, входящие в событие А называются благоприятствующими событию А.

Случайное событие можно задать указанием характеристического свойства, как это было сделано в примерах 1) – 5) или в простых случаях, например, 1) и 2) перечислением исходов благоприятствующих случайному событию:

№ Испытание Случайные события
Монету подбрасывают два раза А - число орлов и решек будет поровну А= В – выпадет хотя бы один орел В = С – обе монеты выпадут орлом С =
Кубик (игральную кость) бросают два раза А – выпадет хотя бы одна шестерка А= В – сумма выпавших очков будет меньше десяти В = С – выпадут две единицы, С =

В теории вероятностей над случайными событиями производятся операции. Будет использоваться геометрическая интерпретация этих операций на примере испытания - неприцельной стрельбы в тире. Пусть W - ограниченная область на плоскости ( например, - стена в тире). Испытание состоит в том, что внутри области W наугад отмечается точка М (выстрел наудачу). Тогда каждому подмножеству А (мишень) в W соответствует (случайное) событие А, состоящее в том, что точка М попадет в А. Определим операции над случайными событиями:

1) суммой событий А и В называется событие A+B, состоящее в том, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий А или В . Геометрически сумма событий соответствует объединению подмножеств А и В.

2) произведением событий А и В называется событие А×В, состоящее в том, что в результате испытания произойдут оба этих события А и В одновременно. Этой операции геометрически соответствует пересечение подмножеств А и В.

Случайные события А и В называются несовместными (несовместимыми), если в результате испытания они не могут произойти одновременно, т.е. А×В=Æ. ( геометрически это означает, что подмножества А и В не пересекаются).

Если же А.В Æ, то события А и В называются совместными (Рис. 2). Так, например, в рассматриваемых выше примерах совместными являются следующие пары событий:

в 1-м испытании - А и В, В и С; во 2-м испытании - А и В, В и С;

несовместными являются следующие пары событий:

в 1-м испытании - А и С; в 4-м испытании - А и С;

3) разностью событий А и В называется событие А - В, состоящее в том, что в результате испытания произойдет событие А, а событие В не произойдет. Этой операции геометрически соответствует дополнению подмножества В в А..

4) событием, противоположным к событию А, называется событие состоящее в том, что в результате испытания событие А не произойдет. Т.е. соответствует дополнению А в W или =W-А.

Событие удовлетворяет также следующим соотношениям: и Æ.

Множество всех случайных событий с введенными операциями называется алгеброй событий.

Теория вероятностей занимается изучением случайных событий и их вероятностей.

Будем говорить, что производится испытание (опыт, эксперимент, наблюдение), если осуществляется некоторая совокупность условий, в результате чего могут происходить какие-то события.

Примеры испытаний: 1)бросание одной или нескольких монет (или кубиков), 2) выбор наугад из заданной однородной группы предметов (урна с шарами, колода карт, партия деталей и т.п.) некоторого меньшего количества этих предметов, 3)стрельба по мишени.

Основным понятием в теории вероятностей является понятие случайного события. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти (см. также с.5).

Все события можно разделить на три типа:

невозможное событие ( обозначим его - Æ) - это такое событие, которое в результате испытания не может произойти,

достоверное событие ( обозначим его W) - это событие, которое в результате испытания обязательно происходит. Наконец, основная масса событий – это

случайные события ( их обычно обозначают А, В, С. ), т.е. такие, которые в результате испытания могут произойти, а могут и не произойти.

Вероятность P(A) случайного события А - это число, отражающее меру возможности появления события А в данном испытании.

Р(Æ)= 0, Р( ) = 1.

Рассмотрим некоторое испытание и связанное с ним случайное событие А. Предположим, что это испытание произведено многократно при неизменных условиях. Пусть n - число всех проведенных испытаний, k - число испытаний, при которых событие А произошло.

Относительной частотой (частостью) события А в этой серии испытаний называется число

Длительные наблюдения показывают, что имеет место свойство устойчивости относительных частот:

1) при проведении нескольких серий из n испытаний относительные частоты каждой из этих серий будут примерно одинаковыми и

2) с увеличением числа испытаний n относительные частоты все меньше и меньше будут отклоняться друг от друга.

Если эти относительные частоты разумным образом округлить, то полученное таким образом число P(А) называют статистической вероятностью события А. Условно эту процедуру можно обозначить так:

Статистическое определение вероятности используют в качестве оценки вероятности, но оно требует больших затрат времени. Однако в некоторых случаях статистическое определение является единственной пригодным.

Например, пусть испытанием является бросание заведомо несимметричного кубика или кубика, у которого центр тяжести смещен относительно геометрического центра (фальшивая игральная кость). В этом случае вероятности выпадения каждой из шести граней можно найти только статистически.

Проведение повторных испытаний может быть сопряжено с большими материальными затратами или невозможно. Поэтому важно уметь находить вероятность случайного события без проведения испытаний, а лишь используя знание о возможных результатах проведенного испытания.

Пространством элементарных исходов (событий) W некоторого испытания (опыта ) будем называть множество всех возможных результатов проведения этого испытания.

№ Испытание Случайные события Пространство элементарных исходов W
Монету подбрасывают два раза А - число орлов и решек будет поровну В - выпадет хотя бы один орел С - обе монеты выпадут орлом
Кубик (игральную кость) бросают два раза А - выпадет хотя бы одна шестерка В - сумма выпавших очков будет меньше десяти С - выпадут две единицы
Из колоды в 36 карт достают наугад три карты А - все три карты будут одной масти В - хотя бы одна из трех карт является тузом С - все три карты будут разного достоинства
Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, достают по очереди наугад 3 шара А - все шары будут одного цвета В - цвета шаров будут чередоваться С - среди вынутых шаров белых больше, чем черных
Производится один выстрел в тире А - попадание в мишень Стена в тире, на которой установлена мишень

В случаях примеров испытаний 3),4) пространства W содержат большое число элементов, которое находят, применяя формулы комбинаторики (см. стр. 12).

Понятие пространства элементарных исходов используется для определения понятия случайного события.

Случайным событием называется всякое подмножество А пространства элементарных исходов W некоторого испытания.

Случайное событие А происходит, если в результате испытания имеет место один из исходов события А. Поэтому исходы, входящие в событие А называются благоприятствующими событию А.

Случайное событие можно задать указанием характеристического свойства, как это было сделано в примерах 1) – 5) или в простых случаях, например, 1) и 2) перечислением исходов благоприятствующих случайному событию:

№ Испытание Случайные события
Монету подбрасывают два раза А - число орлов и решек будет поровну А= В – выпадет хотя бы один орел В = С – обе монеты выпадут орлом С =
Кубик (игральную кость) бросают два раза А – выпадет хотя бы одна шестерка А= В – сумма выпавших очков будет меньше десяти В = С – выпадут две единицы, С =

В теории вероятностей над случайными событиями производятся операции. Будет использоваться геометрическая интерпретация этих операций на примере испытания - неприцельной стрельбы в тире. Пусть W - ограниченная область на плоскости ( например, - стена в тире). Испытание состоит в том, что внутри области W наугад отмечается точка М (выстрел наудачу). Тогда каждому подмножеству А (мишень) в W соответствует (случайное) событие А, состоящее в том, что точка М попадет в А. Определим операции над случайными событиями:

1) суммой событий А и В называется событие A+B, состоящее в том, что в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий А или В . Геометрически сумма событий соответствует объединению подмножеств А и В.

2) произведением событий А и В называется событие А×В, состоящее в том, что в результате испытания произойдут оба этих события А и В одновременно. Этой операции геометрически соответствует пересечение подмножеств А и В.

Случайные события А и В называются несовместными (несовместимыми), если в результате испытания они не могут произойти одновременно, т.е. А×В=Æ. ( геометрически это означает, что подмножества А и В не пересекаются).

Если же А.В Æ, то события А и В называются совместными (Рис. 2). Так, например, в рассматриваемых выше примерах совместными являются следующие пары событий:

в 1-м испытании - А и В, В и С; во 2-м испытании - А и В, В и С;

несовместными являются следующие пары событий:

в 1-м испытании - А и С; в 4-м испытании - А и С;

3) разностью событий А и В называется событие А - В, состоящее в том, что в результате испытания произойдет событие А, а событие В не произойдет. Этой операции геометрически соответствует дополнению подмножества В в А..

4) событием, противоположным к событию А, называется событие состоящее в том, что в результате испытания событие А не произойдет. Т.е. соответствует дополнению А в W или =W-А.

Событие удовлетворяет также следующим соотношениям: и Æ.

Множество всех случайных событий с введенными операциями называется алгеброй событий.

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом , или испытанием , понимается осуществление определённого комплекса условий.

    – попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание в цель);
    – выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов);
    – появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения).

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. — появление шара с номером. События образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием

Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма событий обозначается так:

Например, если событие Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение событий обозначается

Например, если событие , тогда событие

Классическое определение вероятности случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Свойства вероятности

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , так как в этом случае

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , так как в этом случае :

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события

где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , то размещением (сочетанием) из элементов по . При перестановкой из элементов.

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются , , , , , ; сочетаниями — , , .

Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов по ,

есть число размещений из элементов по — число перестановок из

Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. равно — числу сочетаний из 10 элементов по 6. Число исходов, благоприятствующих событию способами; при этом остальные способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Статистическое определение вероятности

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.

Геометрическая вероятность

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.

Пусть на плоскости задана некоторая область , в которой содержится другая область (рис. 3). В область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

Решение. Обозначим . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.

Аксиомы теории вероятностей

Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

Аксиома 1. Каждому событию , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей .

Случайное событие – событие, которое в результате эксперимента может произойти или не произойти.

Элементарные события подразделяются на составные (разложимые) и элементарные (неразложимые).

Если 1, 2, …, n – все возможные элементарные события (исходы) некоторого эксперимента, то множество  = 1, 2, …, n> называется пространством элементарных исходов данного эксперимента.

Если некоторое событие обязательно происходит в условиях данного эксперимента, то оно называется достоверным.

Если некоторое событие никогда не может произойти в условиях данного эксперимента, то оно называется невозможным.

Операции над случайными событиями:

А+В – сумма (или АВ – объединение) событий А и В; А+В = ;

если А+В+С+… = , то говорят, что события А, В, С, … образуют полную группу;

АВ – произведение (или АВ – пересечение) событий А и В; АВ = ;

если АВ = , то А и В называются несовместными;

– дополнение события А; = ; события А и образуют полную группу: А+=  и являются несовместными: А= ;


А и называют противоположными событиями;


В\А = В = .

Читайте также: