Санкт петербургский парадокс кратко
Обновлено: 02.07.2024
В теории вероятностей и теории принятия решений парадокс Санкт-Петербурга — это парадокс , состоящий из азартной игры с бесконечным математическим ожиданием. В этой ситуации теория принятия решений рекомендует принимать любую высокую ставку, что не сделал бы ни один рациональный человек.
История
Формулировка
Стандартная формулировка петербургского парадокса такова: для участия в игре игрок должен заплатить ставку. Затем он делает последовательные подбрасывания монеты, пока решка не выпадет в первый раз. Затем игра останавливается, подсчитывается количество бросков, и игрок получает 2 n монет (например, евро). Если выпадает решка в первый раз, игрок выигрывает евро; если крест выпадает при втором броске, он выигрывает евро; если он выходит в третьем ; если в четвертом , . Сколько читатель готов заплатить, чтобы играть в эту игру? Пять?Десять?Пятнадцать евро. 2 1 знак равно 2 = 2> 2 2 знак равно 4 = 4> 2 3 знак равно 8 = 8> 2 4 знак равно 16 = 16>
Анализ
В теории принятия решений сумма призов (g1, g2, g3. gn), связанных с каждым из n возможных исходов игры (r1, r2, r3. rn), взвешенная по вероятности того, что каждый из этих результатов происходит (p1, p2, p3… pn): EM = p1 • g1 + p2 • g2 + p3 • g3 + …… + pn • gn
Так, в игре, основанной на подбрасывании костей, где выпадает 20 евро, если выпадает 6, 8 евро, если выпадает 5, и - 1 евро (доплата 1 евро к начальной ставке), если выпадают от 1 до 4 ожидаемый выигрыш равен, считая с вероятностью 1/6 для каждого из возможных исходов: EM = 1/6 • 20 + 1/6 • 8 + 1/6 • -1 + 1/6 • -1 + 1/6 • -1 + 1/6 • -1 = 4 евро.
Рациональный игрок должен принять предложение игры, если ожидаемая прибыль (средняя сумма денег, которую можно было бы получить, участвуя в этой игре много раз) больше, чем сумма, необходимая для вступления в игру, и отклонить предложение, когда ожидаемая прибыль равна меньше этой суммы. Следовательно, если сумма, необходимая для участия в предыдущей игре, меньше 4 евро, рациональный игрок должен сделать ставку (ставка выгодна), если она больше 4 евро, он не должен делать ставку (ставка невыгодна), и если это ровно 4 евро можно ставить или не ставить (ставка честная).
Перед началом игры существует бесконечное число возможных исходов: что первый крестик выпадет при 1-м выстреле, что он выпадет при 2-м выстреле, при 3-м, при 4-м. Вероятность того, что первый "крестик" " появится в выпуске k is from:
Выпадение решки в первый раз в 1-м имеет выигрыш 2 1 и вероятность 1/2; Выпадение решки в первый раз во 2-м имеет выигрыш 2 2 и вероятность 1/2 2 ; Выпадение решки в первый раз в 3-м имеет выигрыш 2 3 и вероятность 1/2 3 …, и так далее до бесконечности.
Это означает, что при игре у нас есть вероятность 1/2 выигрыша 2 евро, а также вероятность 1/4 выигрыша 4, и вероятность 1/8 выигрыша 8. и вероятность 1/64. выигрыша 64… и вероятностью 1/4096 выигрыша 4096… Поэтому при расчете ожидаемого выигрыша игры суммированием выигрышей всех возможных исходов, взвешенных по вероятности их наступления (1/2 • 2 + 1/4 • 4 + 1/8 • 8 + 1/16 • 16 + 1/32 • 32 + . + . = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . + . ) приводит к бесконечному значению:
Е знак равно ∑ к знак равно 1 ∞ п к 2 к знак равно ∑ к знак равно 1 ∞ 1 знак равно ∞ . ^ p_ 2 ^ = \ sum _ ^ = \ infty.>
Тогда возникает парадокс, потому что, хотя и следуя принципам теории принятия решений, любая сумма, которая требуется от нас, должна быть поставлена, какой бы высокой она ни казалась (поскольку ставка всегда будет благоприятной), люди, которых считают разумными, обычно не желают делать ставки. ставить более 10, 15 или 20 монет.
Предложения по решению
С момента своей формулировки парадокс Санкт-Петербурга видел много попыток решения, некоторые из которых были больше сосредоточены на решении игрока, а другие - на структуре самой игры.
Другие попытки решения сосредоточены на структуре самой игры, утверждая, с одной стороны, что на практике будут игры, которые никогда не состоятся, например, что игра, в которой первый крест не появляется до 300-го броска, немыслима. , а с другой стороны, чтобы была надежная азартная игра, нужен банк с достаточным количеством денег, чтобы покрыть максимальный выигрыш, а в этом мире нет банков, способных оплатить взятку, где крест выпадает на первый время в таком кол-ве маленьком, как 50-й пуск (приз 2 50 > 300 млрд евро).
Недавно был предложен анализ парадокса (Luis Cañas, 2008), который кажется продвижением на пути к решению этой проблемы. Идея состоит в том, чтобы разложить игру парадокса на множество упорядоченных игр SP, таких, что
SP1: при подбрасывании монеты игрок выигрывает 2 1 монеты, если выпадает решка, и выигрывает 0, если не выпадает решка; игра окончена (ожидание: 1/2 • 2 = 1).
SP2: игрок выигрывает 2 1 монеты, если выпадает решка в первый раз, и игра окончена. Если нет, он бросается снова и выигрывает 2 2 монеты, если выпадает решка, и 0, если не выпадает решка; игра окончена (EM: 1/2 • 2 + 1/4 • 4 = 1 + 1 = 2).
SPn: игрок подбрасывает монету столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она впервые выпала решкой, максимум до n подбрасываний. Когда выпадет крест или будет сделано n бросков, игра окончена. Подсчитывается количество подбрасываний j, необходимых для выпадения решки, и игрок выигрывает 2 j монеты; если не выпала решка, игрок выигрывает 0 монет (EM: 1/2 • 2 1 + 1/2 2 • 2 2 + 1/2 3 • 2 3 + . + 1/2 j • 2 j + . 1/2 n • 2 n = 1 + 1 + 1 + . = n).
Все игры SP имеют математическое ожидание (EM) и, следовательно, честную ставку, равную ее порядковому номеру, и максимальный выигрыш (PM) 2 ^ n:
| СП | Надежда Математика | Максимальный приз |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 8 | 8 | 256 |
| 15 | 15 | 32,768 |
| 40 | 40 | 1.099.511 × 10 6 > |
| н | н | 2 н > |
| А 0 > | А 0 > | 2 А 0 >> |
В каждую из этих игр уже можно играть без проблем, используя ожидаемую прибыль, принимая выгодные или честные ставки (таким образом, в SP8 можно было поставить 5, 6, 7 и до 8 евро с возможными призами 0, 2, 4 … До 256 евро и ожидаемая прибыль 8 евро). Только из некоторой переменной n для каждого игрока (15, 20, 30. ) уже подходят предыдущие соображения, убывающая полезность денег, нежелание рисковать и подозрение, что у банка недостаточно средств, чтобы противостоять риску. выплата максимального приза.
И где сейчас игра в питерский парадокс? В этой игре нет ограничений на количество подбрасываний до тех пор, пока не выпадет решка, и поэтому она соответствует игре SP с бесконечным порядковым номером. Это именно игра SP (символ , соответствует наименьшей бесконечности, кардинальному числу множества натуральных чисел), с честной ставкой и математическим ожиданием бесконечного значения, но с максимальным выигрышем в размере 2 ^ , что соответствует до бесконечности больше, чем , несчетная бесконечность. Тогда решение петербургского парадокса будет состоять в том, что в игре парадокса в качестве возможного приза принимается бесчисленное множество монет, и эта же идея несовместима с самой концепцией денег. А 0 > А 0 > А 0 > А 0 >
Прогрессия отсчитывается от размера вашего первоначального взноса, т.е. если вы внесли 1 рубль, он и удваивается, затем умножается на 4, 8, 16, 32 и т.д. Если внесли 100 рублей, значит, с каждой решкой выигрыш становится 200, 400, 800, 1600 и более рублей. Играть можно неограниченное количество раз, каждый раз делая новую ставку. Что скажете? Стоит попробовать или очередной лохотрон?
Что такое Санкт-Петербургский парадокс?
Итак, в чем же заключается Санкт-Петербургский парадокс? В чем его смысл? И что такое Санкт-Петербургский парадокс простыми словами? Парадокс заключается в том, что люди сравнительно легко соглашаются сыграть в игру, если ставка первоначального взноса невелика и возможный выигрыш, соответственно, тоже. И почти всегда отказываются от участия, если ставка высока, а вероятный выигрыш весьма солиден.
А ведь если количество сеансов игры неограниченно, выигрыш практически гарантирован! Во всяком случае, так утверждают исследователи, которые потрудились смоделировать игру и проверить Санкт-Петербургский парадокс эмпирически [Д. Демахин, 2020]. Тем, кто считает представленную проверку чередой случайностей, предлагается скачать файл и подставить любые другие значения ставок и сделать любое другое количество серий игры:
Это эмпирическая модель парадокса. А что же говорит самая точная из всех наук математика? Коль скоро мы взялись объяснять Санкт-Петербургский парадокс простыми словами, не будем отступать от взятых на себя обязательств и попытаемся максимально упростить математические расчеты. Примем вероятность выигрыша за π и рассмотрим его для ставки в 1 рубль. По теории вероятности, шанс падения монетки той или иной стороной составит 50% или 0,5 для каждого броска.
Таким образом, математическое ожидание выигрыша при 1-м броске будет π × 1 руб. или 0,5 × 1 руб. = 0,5 руб. При 2-м броске это ожидание составит (0,5 × 0,5) × 2 руб. = 0,5 руб. Суммарный размер ожидаемого выигрыша – это сумма ожиданий после каждого броска. При неограниченном количестве попыток сумма ожидаемого выигрыша составит 0,5 руб. + 0,5 руб. + 0,5 руб. + … = ∞ (∞ – это знак бесконечности).
Как видим, при неограниченном количестве сеансов игры выигрыш может быть бесконечно большим. Однако большинство людей не способно заглянуть так далеко и от игры обычно отказывается. В этом и заключается парадокс.
История Санкт-Петербургского парадокса
Ремон опубликовал переписку со своим молодым коллегой в приложении ко второму изданию книги Essay d’analyse sur les jeux de hazard, сделав эту идею достоянием широкой научной общественности. Наибольший интерес идея парадокса вызывала среди математиков, исследовавших теорию вероятности.
Таким образом, Санкт-Петербургский парадокс Бернулли получил свое название по месту работы автора, чье описание и варианты решений получили наибольшее признание. Произошло это в 1768 году с легкой руки французского физика, математика и философа Жана Лерона Д’Аламбера (1717-1783), назвавшего по-прежнему широко обсуждаемый в научных кругах парадокс Санкт-Петербургским. Название закрепилось и используется до сих пор.
Основные варианты решения Санкт-Петербургского парадокса
Как мы уже начали обсуждать в нашем историческом экскурсе, Санкт-Петербургский парадокс вызвал большой резонанс в ученой среде, поэтому на протяжении многих лет научных дискуссий было предложено немало вариантов решений парадокса. И мы уже знаем, что наибольшее признание получил вариант, предложенный Даниилом Бернулли.
Он предложил решить этот парадокс в контексте теории ожидаемой полезности. Мы взялись объяснять Санкт-Петербургский парадокс простыми словами, поэтому просто скажем, что, по мнению Даниила Бернулли, стоимость чего-либо (предмета, выигрыша) основана не собственно на абсолютной цене, а на той полезности, что принесет предмет или выигрыш.
Санкт-Петербургский парадокс в 20-21 веках: исследования и критика
Интерес к исследованиям Санкт-Петербургского парадокса не уменьшился и в последующие после открытия годы. Математики и экономисты из разных стран по-прежнему исследуют прикладные аспекты Санкт-Петербургского парадокса, в том числе применительно к различным аспектам экономики и психологии.
Так, один из основоположников поведенческой экономики американский психолог израильского происхождения Даниель Канеман пришел к выводу, что большинство людей как раз преувеличивает, а не преуменьшает вероятность наступления маловероятных событий. Это нашло отражение в совокупной (кумулятивной) теории перспектив, которая, по сути, есть обобщение теории ожидаемой полезности и над которой Канеман работал совместно со своим израильским коллегой Амосом Тверски.
В наши дни Санкт-Петербургский парадокс вызывает большой интерес применительно к азартным играм. Собственно, мы помним, что изначально автор Санкт-Петербургского парадокса Николай Бернулли предлагал использовать игральные кости, а не монету, так что азарт можно считать одной из базовых эмоций для развития понимания сути парадокса.
Если сказать простыми словами, Каппиелло считает, что многие люди принимают решения совершенно нерационально и тот же Санкт-Петербургский парадокс воспринимают не совсем верно. Поэтому в своей статье он предлагает некоторые советы, как избежать ловушки бесконечного математического ожидания и учесть все возможные ограничения в любых азартных играх с бесконечным числом повторений [A. Cappiello, 2016].
В разные годы предпринималось немало попыток проверить Санкт-Петербургский парадокс на практике, моделируя различные игровые ситуации. В самом начале нашей статьи мы рассмотрели одну из таких моделей. Однако еще почти 100 лет назад в 1937 году американский математик Уильям Феллер (1906-1970) разработал математический подход с элементами эксперимента.
В частности, он наглядно разбирает ситуацию, что, если гипотеза имеет хотя бы наименьшую конечную вероятность, ее можно превратить в достоверность с помощью достаточного количества наблюдений. Применительно к Санкт-Петербургскому парадоксу Кейнс делает вывод, что, если предложить начальный взнос для участия в вышеописанной игре 25 дукатов (дукат – серебряная либо позолоченная монета весом 3,4-3,5 граммов, имевшая хождение в Европе в 13-19 веках), большинство игроков откажутся, посчитав, что они вряд ли смогут выиграть сумму большую, чем вступительный взнос.
Это мы чуть-чуть отвлеклись и надеемся, что вы не потеряли мысль. И уже готовы задуматься вместе с нами: а что же такого важного и значимого таит в себе Санкт-Петербургский парадокс, что до сих пор приковывает к себе внимание научной общественности? Ну, кроме того, что он занимателен и интересен сам по себе? Давайте посмотрим!
Значение Санкт-Петербургского парадокса
Первое и главное, это, конечно же, использование подходов к решению Санкт-Петербургского парадокса для просчета шансов выиграть в азартной игре с повторяющимися действиями. Причем в 18 столетии, когда родился этот парадокс, данная тема занимала в большей степени умы математиков, а не самих игроков.
Вот тут мы подошли ко второму и не менее важному аспекту Санкт-Петербургского парадокса. А именно к его значению для развития экономической теории. Отметим, что авторы Санкт-Петербургского парадокса не пытались применить свои расчеты для каких-либо макроэкономических схем, хотя и демонстрировали экономические приложения парадокса. Этот потенциал увидели и оценили ученые-экономисты спустя столетия.
А мы подытожим, где же могут быть полезны основы и решения Санкт-Петербургского парадокса:
- Просчет вероятности выигрыша в азартных играх.
- Просчет вероятности наступления страхового случая.
- Моделирование финансовых процессов в банковской сфере.
- Исследования в области поведенческой экономики.
- Прикладные аспекты теории вероятности.
На днях в одном из комментариев читатель определил рынок, как интеллектуальное казино, вспомнив, что стабильно зарабатывает на нём только брокер. Сразу вспоминается и анекдот про 50%-ную вероятность встречи динозавра на Невском, и особенно такие упаднические настроения растут во время коррекций на рынке. Но так ли просто применить теорию игр к финансовым рынкам?
Здесь вполне уместны простые примеры Майкла Мобуссина, где проблему эффективности рынка он рассматривает в контексте санкт-петербургского парадокса, над которым уже два столетия ломают голову философы. Это не игра в орлянку, ведь рынок акций, по сути, растёт всегда с момента возникновения, вопрос только времени, а коррекции на нём не поддаются прогнозу с помощью теории игр. Получается, что правильный выбор активов, диверсификация и уверенность инвестора здесь имеет большее значение, чем удача за рулеткой, ведь на эти параметры может повлиять и опыт. Удачи.
Вызов Бернулли.
Компетентные инвесторы гордятся своей способностью определять правильную цену финансовых заявок. Эта способность является сутью инвестирования: рынок – лишь средство для обмена денег на будущие заявки и наоборот.
Хорошо, вот вам ситуация для оценки: предположим, некто подбрасывает безукоризненную монету. Если она упадет кверху орлом, вы получаете $2 и игра заканчивается. Если же решкой, монету бросают снова. Если при втором броске выпадет орел, вы получаете $4, если решка – игра продолжается. Для каждого следующего круга приз за орла удваивается (то есть $2, $4, $8, $16 и т. д.), и вы переходите на следующий круг, пока не выпадет орел. Сколько бы вы заплатили за право сыграть в такую игру?
Даниил Бернулли, выходец из семьи выдающихся математиков, представил эту проблему перед Императорской академией наук в 1738 г. Игра Бернулли, известная как санкт-петербургский парадокс, бросает вызов классической теории, которая говорит, что справедливый взнос за участие в игре равен ожидаемой ценности. Однако ожидаемая ценность в этой игре бесконечна. Каждый круг приносит выигрыш в $1 (вероятность 1/2n и выигрыш в $2n, или 1/2 × $2, 1/4 × $4, 1/8 × $8 и т. д.). Следовательно, ожидаемая ценность = 1 + 1 + 1 + 1… = ∞.
Естественно, очень немногие захотели бы заплатить даже $20, чтобы сыграть в такую игру. Бернулли попробовал объяснить этот парадокс предельной полезностью денег. Он утверждал, что сумма денег, которую человек готов заплатить за участие в игре, зависит от его ресурсов, – чем больше у вас денег, тем больше вы готовы заплатить.
Если оставить в стороне философские моменты, санкт-петербургский парадокс проливает свет на две актуальные актуальные для инвесторов проблемы. Первая – распределение доходности на фондовом рынке не соответствует модели, принятой в стандартной финансовой теории. Это отклонение от теории особенно важно в таких областях, как управление рисками, эффективность рынков и индивидуальный выбор акций.
Вторая проблема касается оценки акций роста. Сколько вы готовы заплатить сегодня за акции с низкой вероятностью очень высокого выигрыша? В мире, где стоимость и доходность подвержены резким скачкам, этот вопрос становится насущным как никогда.
Использование статистики нормальных распределений для характеристики фрактальной системы, подобной финансовым рынкам, потенциально очень опасно. А между тем теоретики и практики проделывают это каждый день. Различия между двумя системами сводятся к вероятностям и прибылям.
Для фрактальных систем характерны немногие, но очень крупные события, выходящие за пределы нормального распределения. Классический пример – рыночный крах 1987 г. Вероятность, согласно нормальному распределению, более чем 20 %-ного падения рынка была бесконечно малой, близкой к нулю. А убытки тем не менее ошеломили, превысив $2 трлн.
Сравнение обычной игры в орлянку и санкт-петербургской игры иллюстрирует это. Предположим, вы подбрасываете монету и получаете $2, если выпадает орел, и ничего не получаете, если выпадает решка. Математическое ожидание выигрыша в такой игре равно $1, что также равняется сумме взноса, который вы были бы готовы заплатить, чтобы сыграть в эту игру в справедливом казино. Я смоделировал миллион раундов по 100 бросков в каждом и, как и ожидалось, получил четкое нормальное распределение.
Затем я смоделировал миллион раз санкт-петербургскую игру и также составил график распределения выигрышей.
Хотя в основе лежит стохастический процесс, исходы подчиняются степенному закону. Например, в половине случаев выигрыш составляет $2, а в трех четвертях случаев – $4 или меньше. Однако серия из 30 бросков дает выигрыш $1,1 млрд, но вероятность такого исхода составляет лишь 1 к 1,1 млрд. Как мы уже говорили, фрактальная система характеризуется большим количеством мелких событий и несколькими очень крупными событиями. А средний выигрыш на игру в санкт-петербургском парадоксе непостоянен, так что никакое среднее точно не описывает долгосрочный результат игры.
Взять хотя бы тот факт, что из почти 2000 технологических компаний, прошедших IPO с 1980 по 2006 г., менее 5 % отвечают за более чем 100%-ное увеличение стоимости акций, превысившее $2 трлн. И даже в пределах этой маленькой группы львиная доля огромного выигрыша досталась лишь горстке лидеров.
На рынке всегда много интересного, а лучшие мои посты, рецензии на книги, актуальные графики и сделки всегда найдёте в телеграм-канале: dmatradeTT Разберём всё по полочкам. Welcome.
Задача Бернулли
(в описании доктора экономических наук, доцента СПбГУ Андрей Кудрявцева)
— Рассматривается игра, состоящая в последовательном бросании монеты до тех пор, пока выпадет решка (сторона с номиналом монеты). Если орел (герб) выпадет при первом броске, то выигрыш составит 1 ден. ед. (дукат, экю и т. д.), при втором — 2 ден. ед., при третьем — 4 ден. ед. и т. д. Вопрос состоит в том, какую сумму следует заплатить за участие в игре.
Так, океанские волны в работе представлены суммами отдельных небольших вейвлетов — математических функций, позволяющих анализировать различные частотные компоненты данных. Физики сопоставили эти суммы подбрасыванию монеты, совпадение фаз — падению монеты одной и той же стороной, а выигрыш — высоте результирующей волны. В итоге они получили получили формулу, на основе которой создали категоризацию волн. Подробнее об этом можно прочитать здесь.
Читайте также: