Разложение на множители кратко

Обновлено: 30.06.2024

Разложить выражение на множители можно различными способами.

(используется, если все члены выражения содержат один и тот же множитель).

a 2 − b 2 = a − b a + b ; a 2 + 2 ab + b 2 = a + b 2 = a + b a + b ; a 2 − 2 ab + b 2 = a − b 2 = a − b a − b ; a 3 + b 3 = a + b a 2 − ab + b 2 ; a 3 − b 3 = a − b a 2 + ab + b 2 .

1) 4 x 2 − 12 x + 9 = 2 x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 x + 3 2 = 2 x − 3 2 = 2 x − 3 2 x − 3 ;

2) 1 − 8 x 3 = 1 3 − 2 x 3 = 1 − 2 x 1 2 + 1 ⋅ 2 x + 2 x 2 = = 1 − 2 x 1 + 2 x + 4 x 2 ;

Как школьники разбиваются в классе на группы по интересам: одни слушают рок, другие рэп. Так и множители в выражениях группируются по общему признаку. Сейчас расскажем, как разложить многочлен методом группировки.

О чем эта статья:

Основные понятия

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки.
Формулы сокращенного умножения.
Метод группировки.
Выделение полного квадрата.
Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
Вынести общий множитель за скобки.
Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up - bp + ud - bd.

up - bp + ud - bd = (up - bp) + (ud - bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u - b) + d(u - b).

Заметим, что общий множитель (u - b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up - bp + ud - bd = (up + ud) - (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) - b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u - b)(p + d) = (p + d)(u - b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m - n) + d(m - n).

Найдем общий множитель: (m - n)
Вынесем общий множитель за скобки: (m - n)(c + d).

Ответ: c(m - n) + d(m - n) = (m - n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x - 12z (x - y) - 5y.

5x - 12z (x - y) - 5y = 5x - 5y - 12z (x - y) = 5(x - y) - 12z (x - y) = (x - y) (5 - 12z)

Ответ: 5x - 12z (x - y) - 5y = (x - y) (5 - 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b.

Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b = (ax 2 - bx 2 ) + (bx - ax) + (a - b) = x 2 (a - b) - x(a - b) + (a - b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a - b).

Теперь вынесем за скобку (a - b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a - b) + x(b - a) + (a - b) = (a - b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b = (a - b)(x 2 + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Разложить выражение на множители можно различными способами.

(используется, если все члены выражения содержат один и тот же множитель).

a 2 − b 2 = a − b a + b ; a 2 + 2 ab + b 2 = a + b 2 = a + b a + b ; a 2 − 2 ab + b 2 = a − b 2 = a − b a − b ; a 3 + b 3 = a + b a 2 − ab + b 2 ; a 3 − b 3 = a − b a 2 + ab + b 2 .

1) 4 x 2 − 12 x + 9 = 2 x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 x + 3 2 = 2 x − 3 2 = 2 x − 3 2 x − 3 ;

2) 1 − 8 x 3 = 1 3 − 2 x 3 = 1 − 2 x 1 2 + 1 ⋅ 2 x + 2 x 2 = = 1 − 2 x 1 + 2 x + 4 x 2 ;

Разложение многочлена на множители - это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

Вынесение общего множителя за скобки

Мы помним, что для любых рациональных чисел , и выполняется равенство (распределительное свойство умножения относительно сложения). Данную идею можно использовать при разложении многочлена на множители.

Например, разложим на множители многочлен

Очевидно, что каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

На основе свойства, записанного выше, мы можем представить данный многочлен в виде произведения двух множителей:

Значит, мы можем записать:

Мы разложили многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя.

Пример: Разложим на множители многочлен

Мы видим, что члены данного многочлена имеют разные общие множители 6, , , , 6. Каждый из этих общих множителей мы можем вынести за скобки, но обычно общий множитель выбирают таким образом, чтобы члены многочлена, которые останутся в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1.

В нашем многочлене модули коэффициентов равны 12, 18 и 30, а их наибольший общий делитель 6, поэтому коэффициент общего множителя будет равен или 6 или 6. Все члены многочлена содержат переменные и , имея первую, вторую и третью степени. Но вынести мы можем наименьшую степень переменной, в нашем случаем и переменную и переменную выносим в первой степени. Значит, за скобки можно вынести одночлен 6 или (6). Например вынесем 6, получим:

Метод группировки

Попробуем разложить на множители многочлен .

Его члены не имеют общего множителя, но их можно сгруппировать так, что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки:

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют общий множитель , вынесем его за скобки:

Получается, .

Описанный выше прием разложения многочлена на множители называют методом группировки.

Обратите внимание, совсем необязательно группировать те слагаемые, которые расположены рядом. Так, в многочлене , можно сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе - с четвертым, и результат разложения на множители, учитывая переместительное свойство умножения, получится тот же:

Пример: Разложите на множители трехчлен .

Сначала представим слагаемое в виде суммы , получим многочлен:

Далее группируем слагаемые полученного многочлена следующим образом:

Первая группа слагаемых имеет общий множитель , вторая группа слагаемых имеет общий множитель 3. Вынесем каждый из этих множителей, в соответствующей им группе слагаемых, за скобки:

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют множитель , вынесем его за скобки:

Получается, трехчлен мы представили в виде произведения двух множителей:

Итак, при разложении многочлена на множители можно использовать следующие способы:

вынесение общего множителя за скобки;
метод группировки;
применение формул сокращенного умножения.

Однако есть много многочленов, для разложения которых на множители надо применить несколько способов. Как правило при разложении многочлена на множители нужно соблюдать следующий алгоритм:

1) если это возможно, то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за скобки;

2) проверить, можно ли применить формулы сокращенного умножения;

3) если не удается применить формулы, то пробуем воспользоваться методом группировки.

Читайте также: