Пространство это в геометрии кратко
Обновлено: 02.07.2024
В инженерной графике геометрическое пространство рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам геометрического пространства относятся точки, линии (прямые и кривые), поверхности (плоские и кривые).
Различают пространство евклидово и неевклидово.Евклидово пространство характеризуется тем, что расположенные в нем параллельные прямые линии или плоскости не пересекаются. Характеристики евклидова пространства не учитывают ряда других геометрических свойств пространства. В более широком понимании эти свойства учитывают проективное пространство, в котором параллельные между собой прямые (плоскости) пересекаются. Эти пересечения происходят в так называемой несобственнойточке, которая расположена в бесконечности проективного пространства. Для примера можно привести две параллельные плоскости S и S1 (рис. 42). Проведем в плоскости S прямую К, а в плоскости Si прямую L так, чтобы они были параллельны. В проективном пространстве эти прямые пересекаются вне собственной точки Ебесконечность. Далее в плоскости S проведем прямую т, а в плоскости Si прямую п так, чтобы они были параллельны. Эти прямые также пересекутся вне собственной точки F бесконечность. Нетрудно видеть, что несобственные точки Е бесконечность и F бесконечность определяют несобственную прямую d бесконечность . Учитывая, что несобственные точки принадлежат и плоскости S, и плоскости S1, можно утверждать, что несобственная прямая также принадлежит этим плоскостям. Таким образом, мы имеем случай, когда две параллельные плоскости S и S1пересекаются по бесконечно удаленной несобственной прямой d бесконечность.
В общепринятом смысле пространство можно рассматривать как бесконечное. Однако геометрическое пространство может быть рассмотрено с позиций размерности. Так, множество положений точки, перемещающейся в заданном прямолинейном направлении, образует бесконечную прямую линию, представляющую собой одномерное пространство. Если же прямую перемещать в заданном направлении, не параллельном самой прямой, она образует бесконечную поверхность (в данном случае плоскость), представляющую собой двухмерное пространство. Задав плоскости (поверхности) направление, не параллельное ей и перемещая ее в этом направлении, получим трехмерное пространство. Таким же путем можно получить четырехмерное и в общем виде многомерное пространство.
Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С. или цифрами 1, 2, 3. ; прямые — строчными буквами латинского алфавита: а, b, с. а плоскости — прописными буквами греческого алфавита: Г, Л, П, S, Ф, ¥, Q.
Между элементами пространства существуют следующие отношения.
Тояадественностьобозначается знаком ==, например А == В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В.
Инцидентность(или принадлежность) обозначается знаком €. Например, А € а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.
Параллельностьобозначается знаком ||. Например, K || L обозначает, что прямая К параллельна прямой
Перпендикулярностьобозначается знаком _|_. Например, a _|_ S обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости S.
Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,которую обозначают знаком и. Например, запись А и В ~ а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а. Операцию пересечениеобозначают знаком ^. Запись т ^ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых тип получена точка К.
В инженерной графике геометрическое пространство рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам геометрического пространства относятся точки, линии (прямые и кривые), поверхности (плоские и кривые).
Различают пространство евклидово и неевклидово.Евклидово пространство характеризуется тем, что расположенные в нем параллельные прямые линии или плоскости не пересекаются. Характеристики евклидова пространства не учитывают ряда других геометрических свойств пространства. В более широком понимании эти свойства учитывают проективное пространство, в котором параллельные между собой прямые (плоскости) пересекаются. Эти пересечения происходят в так называемой несобственнойточке, которая расположена в бесконечности проективного пространства. Для примера можно привести две параллельные плоскости S и S1 (рис. 42). Проведем в плоскости S прямую К, а в плоскости Si прямую L так, чтобы они были параллельны. В проективном пространстве эти прямые пересекаются вне собственной точки Ебесконечность. Далее в плоскости S проведем прямую т, а в плоскости Si прямую п так, чтобы они были параллельны. Эти прямые также пересекутся вне собственной точки F бесконечность. Нетрудно видеть, что несобственные точки Е бесконечность и F бесконечность определяют несобственную прямую d бесконечность . Учитывая, что несобственные точки принадлежат и плоскости S, и плоскости S1, можно утверждать, что несобственная прямая также принадлежит этим плоскостям. Таким образом, мы имеем случай, когда две параллельные плоскости S и S1пересекаются по бесконечно удаленной несобственной прямой d бесконечность.
В общепринятом смысле пространство можно рассматривать как бесконечное. Однако геометрическое пространство может быть рассмотрено с позиций размерности. Так, множество положений точки, перемещающейся в заданном прямолинейном направлении, образует бесконечную прямую линию, представляющую собой одномерное пространство. Если же прямую перемещать в заданном направлении, не параллельном самой прямой, она образует бесконечную поверхность (в данном случае плоскость), представляющую собой двухмерное пространство. Задав плоскости (поверхности) направление, не параллельное ей и перемещая ее в этом направлении, получим трехмерное пространство. Таким же путем можно получить четырехмерное и в общем виде многомерное пространство.
Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С. или цифрами 1, 2, 3. ; прямые — строчными буквами латинского алфавита: а, b, с. а плоскости — прописными буквами греческого алфавита: Г, Л, П, S, Ф, ¥, Q.
Между элементами пространства существуют следующие отношения.
Тояадественностьобозначается знаком ==, например А == В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В.
Инцидентность(или принадлежность) обозначается знаком €. Например, А € а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.
Параллельностьобозначается знаком ||. Например, K || L обозначает, что прямая К параллельна прямой
Перпендикулярностьобозначается знаком _|_. Например, a _|_ S обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости S.
Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,которую обозначают знаком и. Например, запись А и В ~ а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а. Операцию пересечениеобозначают знаком ^. Запись т ^ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых тип получена точка К.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Пространство и размерность"
Геометрия – это наука, которая занимается изучением геометрических фигур. Также она изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве.
Если посмотреть вокруг, то можем сказать, что мы живём в пространстве трёх измерений, то есть в трёхмерном пространстве.
Представьте, что перед вами стоит дом. Что можно о нём сказать?
В этом доме два подъезда. Он пятиэтажный.
Мы можем сказать, что этот дом длиной в 2 подъезда, шириной в 2 окна и высотой в 5 этажей. Получается, чтобы представить дом, нам понадобилось задать три величины – длину, ширину и высоту. Эти три измерения мы с вами используем каждый день, говоря о предметах, которые нас окружают. Например, длина ленты, ширина окна, высота горы…
Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, но далеко не у всех можно указать длину, ширину, высоту.
Теперь посмотрим на следующие предметы: коробка, брус, кирпич.
Все эти предметы имеют форму параллелепипеда. Но точнее, прямоугольного параллелепипеда, так как все грани являются прямоугольниками. У каждого из этих предметов можно указать длину, ширину и высоту. Многие окружающие нас предметы имеют форму параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед – это геометрическое тело, которое полностью можно описать тремя измерениями – длиной, шириной и высотой. Можно сказать, что параллелепипед считается символом нашего пространства.
Отметим, что мы можем говорить о длине, ширине и высоте параллелепипеда, расположенного конкретным образом на земле (или на другой поверхности). Высотой в этом случае называют измерение, направленное вертикально вверх от земли. В случае, если мы не знаем, как расположен параллелепипед, говорить о длине, ширине и высоте не совсем верно.
А теперь представим, что высота исчезнет и останется два измерения – длина и ширина. Тогда весь мир станет плоским.
В математике говорят, что плоскость является двухмерным пространством. Плоскость представляется идеально ровной, гладкой и неограниченной во всех направлениях.
Например, гладкая поверхность стекла даёт представление о части плоскости. Здесь рассматриваются такие фигуры, как треугольник, квадрат, круг, прямоугольник.
Если мы уберём ещё одно измерение – ширину, то останется одномерное пространство с одним измерением – длиной. Этот мир полностью лежит на прямой. Прямая простирается неограниченно в обе стороны.
Туго натянутая нить даёт нам представление о части прямой. В одномерном пространстве рассматриваются такие фигуры, как луч, отрезок.
В геометрии существует фигура, которая не имеет измерений. Это точка. Точка является самой маленькой геометрической фигурой.
Сейчас посмотрите на схему, которая показывает, как с увеличением измерений изменяются и усложняются геометрические фигуры.
А теперь давайте поговорим об изображении объёмных тел на плоскости. Как, например, нарисовать улицу, убегающую вдаль, чтобы это выглядело как в реальности, чтобы чувствовалась глубина пространства.
Посмотрите, на ней фигура чем дальше находится от нас, тем меньших размеров изображается. А все линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке.
Отметим, что кроме перспективы, есть и другие средства изображения трёхмерного пространства на плоскости.
Посмотрите на прямоугольный параллелепипед.
Если бы мы не знали, что это прямоугольный параллелепипед, то не смогли бы понять, что находится за видимыми гранями этой фигуры. Поэтому, чтобы получить полное представление о том, какая фигура изображена, надо нарисовать то, что нам не видно, то, что находится за видимыми гранями.
И сделать мы бы это могли вот таким образом.
Но теперь стало непонятно, как по отношению к нам расположен этот параллелепипед: какие грани спереди, а какие – сзади. Чтобы получить полное представление об изображаемой фигуре и её расположении по отношению к нам, договорились те линии (рёбра), которые не видны, изображать пунктирными.
Сейчас посмотрите на четырёхугольник. У него четыре вершины и четыре стороны. Посмотрите на шестиугольник. У него шесть вершин и шесть сторон.
А теперь посмотрите на прямоугольный параллелепипед. У него восемь вершин и шесть граней.
Получается, что если известно число вершин у многоугольника, то сразу можно сказать, сколько у него сторон. А вот для объёмных тел (многогранников) это не так.
А теперь давайте с вами решим несколько задач.
Задача первая. Из шести спичек составьте четыре треугольника со сторонами, равными длине спички.
Задача вторая. Каким образом продавец тремя прямыми разрезами разделил головку сыра на восемь равных частей?
Задача третья. Изобразите многогранник, у которого шесть вершин и шесть граней.
Получили многогранник, у которого шесть вершин и шесть граней, – пирамиду, в основании которой лежит пятиугольник.
- логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в к-рой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Напр., в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в П. фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками, равенство фигур и др.), так что о таких П. можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы. Первым и важнейшим математич. П. является трехмерное евклидово пространство, представляющее приближенный абстрактный образ реального П. Общее понятие "П." в математике сложилось в результате обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова П. Первые П., отличные от трехмерного евклидова, были введены в 1-й пол. 19 в. Это были Лобачевского пространство и евклидово П. любого числа измерений (см. Многомерная геометрия). Общее понятие о математич. П. как "многократной протяженности" было выдвинуто в 1854 Б. Риманом (В. Riemann); оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: таковы, напр., риманово пространство, финслерово пространство, векторное пространство, гильбертово пространство, метрическое пространство, топологическое пространство. В современной математике П. определяют как множество каких-либо объектов, к-рые наз. его точками; ими могут быть геометрич. фигуры, функции, состояния физич. системы и т. д. Рассматривая их множество как П., отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, к-рые определяются принятыми во внимание или введенными по определению отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, т. е. множествами точек, определяют "геометрию" П. При аксиоматич. ее построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.
Примерами П. могут служить: 1) метрич. П., в к-рых определено расстояние между точками; напр., П. непрерывных функций на к.-л. отрезке [a, b], где точками служат функции f(x), непрерывные на [ а, b], а расстояние между f 1 (x). и f 2 (x) определяется как максимум модуля их разности:
2) "П. событий", играющее важную роль в геометрич. интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением - координатами х, у, z и временем t, поэтому множество всевозможных событий оказывается четырехмерным П., где "точка" - событие определяется 4 координатами х, у, z, t.3) Фазовые П., рассматриваемые в теоретич. физике и механике. Фазовое П. физич. системы - это совокупность всех ее возможных состояний, к-рые рассматриваются при этом как точки этого П. А.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
Полезное
Смотреть что такое "ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:
ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… … Философская энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО — П., будучи одним из важнейших элементов мифопоэтической архаичной модели мира, осмысливалось в рамках этой модели совершенно отлично от того, как оно представляется современному человечеству под воздействием научных взглядов (особенно после… … Энциклопедия мифологии
Пространство — Пространство ♦ Espace То, что остается, если убрать все; пустота, но пустота в трех измерениях. Ясно, что понятие пространства – абстракция (если мы действительно уберем все, то не останется вообще ничего, и это будет уже не пространство, а… … Философский словарь Спонвиля
ПРОСТРАНСТВО — в математике множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т. д. Исторически первое и важнейшее математическое пространство евклидово… … Большой Энциклопедический словарь
пространство — См. промежуток. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. пространство место, промежуток; площадь, участок, зона, район, область; окно, протяженность, прогалина, гаммада,… … Словарь синонимов
пространство — ПРОСТРАНСТВО фундаментальное понятие повседневной жизни и научного знания. Его обычное применение непроблематично в отличие от его теоретической экспликации, поскольку последнее связано с множеством других понятий и предполагает… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
ПРОСТРАНСТВО — ПРОСТРАНСТВО, объективная реальность, форма существования материи, характеризующаяся протяженностью и объемом. В реальном мире мы имеем дело с безграничным трехмерным пространством, в котором расположены объекты. В математике пространством… … Научно-технический энциклопедический словарь
пространство — пространство: восприятие восприятие пространства пространство: восприятие: нарушение … Большая психологическая энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО — культуры важнейший аспект модели мира, характеристика протяженности, структурности, сосуществования, взаимодействия, координации элементов отд. культуры и соответствующих отношений между культурами, а также смысловой… … Энциклопедия культурологии
ПРОСТРАНСТВО — ПРОСТРАНСТВО, пространства, ср. 1. Состояние материи, характеризующееся наличием протяженности и объема. Пространство и время основные формы существования материи. 2. Промежуток между чем нибудь; место, способное вместить что нибудь. Свободное… … Толковый словарь Ушакова
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки , называется центральной симметрией пространства относительно точки . При этом точка отображается на себя и называется центром симметрии.
Примерами центральной симметрии являются: автомобильное колесо, окружность, куб, шар, снежинка, цветок и тд.
Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия):
Определение.Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.
Свойства: при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми.
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости , называется симметрией пространства относительно плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.
Примеры симметрии относительно плоскости:
Параллельный перенос:
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка отображается на такую точку , что выполняется векторное равенство . Это перенос (движение) всех точек пространства в одном и том же направлении, на одно и то же расстояние
Примеры параллельного переноса:
Осевая симметрия:
Определение. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Определение.Преобразования фигуры в фигуру называется преобразования подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. То есть преобразование, которое сохраняет форму фигуры, но изменяет их размеры.
Определение. Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия .
Можно ли взаимно-однозначно отобразить: а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; Сделайте соответствующие рисунки.
Решение.а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимно-однозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)
б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.)
Центральная симметрия:
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки , называется центральной симметрией пространства относительно точки . При этом точка отображается на себя и называется центром симметрии.
Примерами центральной симметрии являются: автомобильное колесо, окружность, куб, шар, снежинка, цветок и тд.
Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия):
Определение.Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.
Свойства: при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми.
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости , называется симметрией пространства относительно плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.
Примеры симметрии относительно плоскости:
Параллельный перенос:
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка отображается на такую точку , что выполняется векторное равенство . Это перенос (движение) всех точек пространства в одном и том же направлении, на одно и то же расстояние
Примеры параллельного переноса:
Осевая симметрия:
Определение. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Определение.Преобразования фигуры в фигуру называется преобразования подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. То есть преобразование, которое сохраняет форму фигуры, но изменяет их размеры.
Определение. Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия .
Можно ли взаимно-однозначно отобразить: а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; Сделайте соответствующие рисунки.
Решение.а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимно-однозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)
б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.)
Читайте также: