Признаки равенства и подобия треугольников кратко

Обновлено: 07.07.2024

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Для инженера это еще и единственная "жесткая" плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник - это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ - называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) - периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).
4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник - формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S=(1/2)*(a* h_a) - по стороне и высоте.
S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
- по длинам сторон - формула площади Герона
S=p*r - через периметр и радиус вписанной окружности
S=(a*b*c) / (4R) - через длины сторон и радиус описанной оружности

Прямоугольный треугольник - площадь

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота, проведенная к стороне c.

Равносторонний (правильный) треугольник - площадь

Примечание - в прямоугольном треугольнике:

- Синус α - это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

- Косинус α - это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

- Тангенс α - это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

- Котангенс α - это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , = \frac = k" />
, где — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

$\frac<<S_2 ></p> <p>Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: >> = k^2$
.

2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе; косинус – отношению прилежащего катета к гипотенузе; тангенс – отношению противолежащего угла к прилежащему

3. Площадь прямоугольного треугольника равна:
•половине произведения катетов
•половине произведения гипотенузы и проведенной к ней высоты;
•половине произведения гипотенузы, катета и синуса угла, заключенного между ними

4. Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого его острого угла

5. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифагора).

№1. В треугольнике , , . Найти .

№2. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

№3. В треугольнике , , . Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне.

Важные теоремы для произвольных треугольников

1. Теорема косинусов

2. Теорема синусов

3. Теорема Герона

№4. В треугольнике , , . Найдите площадь треугольника.

№5. В треугольнике , , . Найдите градусную меру угла .

№6. В треугольнике , , . Найдите угол .

№7. В треугольнике , , . Найдите .

Высота, медиана, биссектриса

1. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

2. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию совпадают.

3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении , считая от вершины

A₁

4. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

5. Медианы и биссектрисы всегда пересекаются во внутренней точке треугольника. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника, пересекаются во внутренней точке, а тупоугольного – во внешней.

№8. Прямые, на которых лежат высоты треугольника пересекаются в точке , . Найдите угол .

№9. Площадь равнобедренного треугольника с основанием равна 160, боковая сторона равна 20. Высоты и пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника .

№10. В треугольнике , , . Найдите площадь треугольника, образованного стороной , медианой и биссектрисой данного треугольника.

Признаки равенства и подобия треугольников

1. Треугольник равны, если:
• две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника;
• сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника;
• три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого

2. Треугольники подобны если:
•два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого;
•две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны;
•три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

3. Если треугольник прямоугольный, а отрезок, проведенный из вершины прямого угла, является его высотой, то получаются три подобных треугольника

4. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

№11. На стороне треугольника отмечена точка . Известно, что
, , , . Найдите

№12. В остроугольном треугольнике , , отрезки и – высоты. Найдите .

№13. Из точки катета прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр к гипотенузе . Найдите площадь треугольника , если , , .

№14. В треугольнике , , . Найдите площадь треугольника, образованного высотой , медианой и биссектрисой данного треугольника.

№15. Сторона треугольника равна . На стороне отмечена точка так, что . Найдите площадь треугольника , если , .

Домашнее задание

№	Ответ	№	Ответ
0,25
17,6
10,5

1,44
	48; 20,25
1,6	16/3; 3
11/3

40,8

Ограждение места работ сигналами на перегонах и станциях: Приступать к работам разрешается только после того, когда.

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

I. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Читайте также: