Признак делимости на 3 доказательство кратко
Обновлено: 04.07.2024
Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.
Таблица признаков делимости чисел
| Число | Число делится на число тогда и только тогда, когда |
| 2 | Последняя цифра числа делится на 2 |
| 3 | Сумма цифр числа делится на 3 |
| 4 | Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4 |
| 5 | Число оканчивается цифрой 0 или 5 |
| 6 | Число делится на 2 и на 3 |
| 7 | Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа делится на 7 |
| 8 | Число, составленное из трёх последних цифр числа , делится на 8 |
| 9 | Сумма цифр числа делится на 9 |
| 10 | Число оканчивается цифрой 0 |
| 11 | Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 |
| 12 | Число делится на 3 и на 4 |
| 13 | Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* делится на 13 |
| 25 | Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 25 |
*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.
Признаки делимости чисел и их доказательство
Пусть натуральное число имеет десятичную запись
где — цифры этого числа,
Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.
Признаки делимости по последним цифрам
| Если | то делится на |
| (последняя цифра числа) делится на 2 или 5 | 2 или 5 соответственно |
| (число, составленное из двух последних цифр числа ) делится на 4 или 25 | 4 или 25 соответственно |
| (число, составленное из трёх последних цифр числа ) делится на 8 | 8 |
| равно 0 | 10 |
Число 100 делится на 25, поэтому если число делится на 25, то и делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.
Признаки делимости по сумме цифр
| Если | то делится на |
| Сумма цифр числа делится на 3 или 9 | 3 или 9 соответственно |
| Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 | 11 |
Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.
Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:
Число распишем следующим образом:
Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа .
Признаки делимости по сумме граней
Введём следующее определение.
Определение.
Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Перейдём к признакам делимости.
| Если | то делится на |
| Сумма двузначных граней делится на 11 | 11 |
| Сумма трёхзначных граней делится на 37 | 37 |
| Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13 | 7, 11, 13 соответственно |
В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.
Признак делимости — это алгоритм, который помогает быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Рассмотрим алгоритмы для чисел от 1 до 10.
О чем эта статья:
Понятие делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.
Все целые числа делятся на единицу.
Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.
Все натуральные числа являются делителями нуля.
Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
Единственный делитель единицы — сама единица.
Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.
Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.
Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.
Признаки делимости
Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Признак делимости на 1
Каждое целое число делится на 1.
Признаки делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра четная.
Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.
Признаки делимости на 3
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.
Признаки делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;
число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5
На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;
число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.
Признаки делимости на 7
Делимость на число 7 можно проверить так:
Последнюю цифру числа умножить на два.
Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).
Полученная разность должна быть кратна 7.
Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.
Признаки делимости на 8
На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.
число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;
число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признаки делимости на 9
На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10
На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.
число 980 делится на 10;
число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.
Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Доказательство.
Для a=0 теорема очевидна.
Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a.
Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a0, a1, …, an.
Если сумма цифр числа a делится на 3, то есть, А делится на 3, то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3, следовательно, a делится на 3. Так доказана достаточность.
Если a делится на 3, то и делится на 3, тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3, то есть, сумма цифр числа a делится на 3. Так доказана необходимость.
Доказательство делимости на 9
Теорема. Для того чтобы число x делилось на 9. необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.
Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10n - 1 делятся на 9. Действительно, 10n - 1 = (9*10n-1 + 10n-1) - 1 = (9*10n-1 + 9*10n-2 + 10n-2) - 1 = (9*10n-1 + 9*10n-2 + . + 10) - 1 = 9*10n-1 + 9*10n-2 + . + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10n - 1 делится на 9.
Пусть число х=an*10n + an-1* 10n-1 + . +a1*10 + a0и (an+an-1+. +а1+а0) 9.Докажем, что тогда x 9.
Преобразуем сумму an*10n + an-1* 10n-1 + . +a1*10 + a0прибавив и вычтя из нее выражение an+an-1+. +а1+а0 и записав результат в таком виде: x= (an*10n - an) + (an-1*10n-1 – аn-1)+ . + (a1*10 +a1) + + (a0 +a0) + (an+an-1+ . +а1+а0 = аn (10n - 1) + an-1(10n-1-1) + . + a1(10- 1) + (an+an-1+. +а1+а0).
Вопрос № 20
Признак делимости на 2.
Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.
Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.
Пример.
240 делится на 5 (последняя цифра 0);
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.
Признак делимости на 4
Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a, делилось на 4.
Доказательство.
Для a=0 теорема очевидна.
Для остальных целых a модуль числа a есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.
В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a1·100всегда делится на 4. Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.
Если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства следует делимость на 4 числа a0. Этим доказана необходимость.
С другой стороны из делимости a0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a, откуда следует делимость на 4 и самого числа a. Этим доказана достаточность.
Признак делимости на 25
Число п делится на 25 тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа п, делится на 25. То есть число делится на 25, если оно оканчивается цифрами 00, 25, 50 или 75.
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.004)
Утверждение: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Доказательство:
Докажем прямое утверждение.
Рассмотрим любое (натуральное) число . Представим его в виде суммы:
Заметим, что любая степень числа 10 также может быть представленная в виде суммы:
Продолжим операции с числом :
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые
Получили, что число можно представить в виде:
,
где
,
т.е. и будет равно сумме цифр исходного числа.
Первое слагаемое, , очевидно, делится на 3. Если второе слагаемое, , делится на 3, то и все сумма, т.е. число будет делиться на 3.
Докажем обратное утверждение.
Число делится на 3, значит, сумма его цифр будет делиться на 3.
Выше было показано представление числа в виде:
, где — сумма цифр числа . Перенесем слагаемые:
.
Т.к. по условию делится на 3, то равенство можно записать в виде:
.
Получили, что делится на 3, т.е. сумма цифр делится на 3.
Утверждение доказано.
Пример: Число 95463 делится на 3 потому, что 9+5+4+6+3=27, а 27 делится на 3.
Читайте также: