Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений кратко
Обновлено: 02.07.2024
Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями .
Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.
В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.
В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.
Потокосцепление скачком измениться не может
Заряд емкости скачком измениться не может
Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может :
по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может :
За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.
Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.
Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного . Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.
Уравнение цепи имеет вид:
Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.
где
— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,
— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).
В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.
Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.
Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.
До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации
ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.
Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих :
Свободную составляющую находим из уравнения :
Решение этого уравнения
где
k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.
А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности
Учитывая, что
Решение будет иметь вид:
Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи
При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).
При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.
Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.
При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.
Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.
которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.
Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.
Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:
Решением однородного уравнения является функция вида Ae pt , где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.
Тогда полным решение исходного уравнения будет
Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.
В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e -Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока
Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.
Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.
В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону e pt . Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.
Физический смысл:
ПРИНУЖДЕННОЙ величины: когда в ПОСЛЕ-коммутационной схеме есть кому принуждать ток двигаться.
СВОБОДНОЙ величины: процесс перераспространения накопления энергии между накопителями.
С математической точки зрения:
После срабатывания ключа (или рубильника) схема может быть описана по уравнениям Кирхгофа в дифференциальном виде для мгновенных значений.
Для искомой величины получится дифференциальное уравнение. Его решение есть сумма общего и частного решения. В электротехнике это решение называется соответственно суммой свободной и принужденной составляющих.
Для определения свободной составляющей следует математически имитировать свободный режим, т. е . исключить воздействие, положив правую часть дифференциального уравнения равной нулю.
В общем случае для определения принужденной составляющей нужно рассчитать искомую величину в стационарном режиме, т. е. по прошествии бесконечно большого времени после коммутации.
Физически эта составляющая определяет закон рассеяния энергии, первоначально запасенной в накопителях энергии ( индуктивных и (или) емкостных) в цепи свободной от источников энергии . Именно эта составляющая определяет характер и время переходного процесса.
Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на достаточно простом примере - включении последовательного контура (rLC-цепи) к источнику ЭДС е, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением.
Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени
где i - ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током, или просто током;
Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или тока), называют установившимся. После окончания переходного процесса источник ЭДС, изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим. Источники постоянной и изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (или тока) создают принужденный, или установившийся, режим.
Когда наступит установившийся режим, уравнение (14.1) примет вид
где и - ток и напряжение установившегося режима, или просто установившиеся ток и напряжение.
Вычитая почленно уравнение (14.2) из уравнения (14.1) и обозначая
Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно тока и напряжением свободного процесса, или просто свободными током и напряжением.
Уравнения (14.4) показывают, что при переходе цепи от одного установившегося состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от ЭДС е источника.
Уравнение (14.3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов - установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к установившемуся режиму. Следовательно, во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие в общем случае принужденного, а при постоянных и периодических ЭДС или токах источников установившегося режима и свободного процесса:
Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей. Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (14.4а), и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14.1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Поэтому переходный ток и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.
Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.
Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = О, т. е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независимыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.
Читайте также: