Преобразования лоренца кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

Идея опыта состояла в измерении скорости света в движущейся материальной среде, в воде. Лишь после создания теории относительности стало ясно, что в опыте Физо впервые была экспериментально доказана несправедливость классического закона сложения скоростей и преобразований Галилея.

Таким образом, несмотря на множество экспериментальных фактов, подтверждающих постоянство скорости света в вакууме, это утверждение является постулатом, так как все эксперименты проверки выполняются с конечной точностью. Вся современная физика больших скоростей и высоких энергий основывается на постулате постоянства скорости света.

В 1905 году Эйнштейн отказался от мысли искать ответ на вопрос, почему скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Им была высказана мысль, что постоянство скорости света является фундаментальным свойством природы, который констатируется как опытный факт.

Требование постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета известно под названием постулата Эйнштейна.

Преобразования Лоренца

Мы рассмотрели только небольшое число опытов, подтверждающих специальную теорию относительности. Доказательства правильности этой теории, имеющиеся в настоящее время, следует считать весьма убедительными. Физики уверены в ее правильности. Задача состоит сейчас в том, чтобы точно сформулировать основные положения этой теории и усвоить некоторые следствия из них. Эти положения могут быть введены исходя из двух принципов, обоснование которых было изложено в предыдущих лекциях.

Принципа относительности;
Принципа постоянства скорости света.

Еще можно добавить утверждение о том, что пространство однородно и изотропно. Это главные свойства пространства в инерциальных системах отсчета.

Что значит однородность пространства?

Это значит, что каждая точка пространства ничем не отличается от любой другой точки, то есть свойство неизменности характеристик пространства при переходе от одной точки к другой.

Что значит изотропность пространства?

Это значит, что его физические свойства одинаковы по всем направлениям, то есть, в частности, величина массы в законе не зависит от направления движения.

Время также обладает важнейшим свойством однородности. Однородность времени – одинаковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент времени эта ситуация сложилась.

Теперь мы будем искать такую формулу преобразования координат и времени, чтобы величина скорости света была бы независимой от скорости движения источника и приемника.

Полагаем, что системы и одинаковы. Система движется со скоростью относительно вдоль совпадающих осей и так, что в момент начало осей координат находятся в одной точке.

Пусть в момент в начале координат произошла вспышка света. Тогда через некоторое время в системе свет достигнет точек, лежащих на сфере радиуса , аналогично и в системе через время свет пройдет расстояние .

(1)

в системе

(2)

Считая, что пространство и время однородны, можно полагать, что между координатами и временем различных систем существует линейная связь. Между координатами возможна такая зависимость:

Неизвестный коэффициент при малых стремится к 1. Остальные координаты не должны изменяться, поэтому

Как и при преобразованиях Галилея.

Время в системе будет линейно зависеть от и от координат в системе. Поэтому положим:

Где неизвестные константы, которые при малых скоростях принимают значения 1 и 0 соответственно.

Подставим (3), (4), (5) в (2) и полученное (6) сравним с (1). (1) – уравнение, описывающее волновой фронт, имеет одну и ту же форму во всех системах отсчета.

Нужно выбрать значения коэффициентов так, чтобы (6) стало равно (1).

Чтобы это уравнение удовлетворяло (1) необходимо выполнение равенств:

Из (8) подставляем в (7).

. Сравните с преобразованиями Галилея

Это и есть знаменитые преобразования Лоренца.

При малых скоростях преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (предельный случай). Вид коэффициента показывает, что

Скорость света – предельная скорость движения. Это один из принципиальных выводов теории относительности.

Опыт Физо

Преобразования Лоренца

Принципа относительности;
Принципа постоянства скорости света.

Что значит однородность пространства?

Что значит изотропность пространства?

(1)

в системе

(2)

Неизвестный коэффициент при малых стремится к 1. Остальные координаты не должны изменяться, поэтому

Как и при преобразованиях Галилея.

Время в системе будет линейно зависеть от и от координат в системе. Поэтому положим:

Где неизвестные константы, которые при малых скоростях принимают значения 1 и 0 соответственно.

Нужно выбрать значения коэффициентов так, чтобы (6) стало равно (1).

Чтобы это уравнение удовлетворяло (1) необходимо выполнение равенств:

Из (8) подставляем в (7).

. Сравните с преобразованиями Галилея

Это и есть знаменитые преобразования Лоренца.

Скорость света – предельная скорость движения. Это один из принципиальных выводов теории относительности.

Ранее мы уже изучили формулы, называемые классическими преобразованиями Галилея, однако они несовместимы с постулатами специальной теории относительности (СТО). Поэтому в данном случае нам нужно использовать другие положения. Благодаря новым преобразованиям мы сможем установить, какая связь существует между некоторым моментом события t , наблюдаемого в системе отсчета K в точке с координатами ( x , y , z ) и показателями того же события, которое наблюдается в системе отсчета K ' .

Преобразования Лоренца представляют собой кинематические формулы, с помощью которых происходит преобразование координат и времени в специальной теории относительности.

Они были впервые сформулированы еще в 1904 году в качестве преобразований, относительно которых были инвариантны уравнения электродинамики.

Обозначим основные системы K и K ' , скорость их движения – υ , а ось, вдоль которой они движутся – x . В таком случае преобразования Лоренца примут следующий вид:

K ' → K x = x ' + υ t ' 1 - β 2 , y = y ' , z = z ' , t = t ' + υ x ' / c 2 1 - β 2 . K → K ' x ' = x - υ t 1 - β 2 , y ' = y , z ' = z , t ' = t - υ x / c 2 1 - β 2 .

Используя эти формулы, мы можем вывести из них множество следствий. Так, именно из системы преобразований Лоренца следует лоренцево сокращение длины и релятивистский эффект замедления времени.

Возьмем случай, когда в системе K ' происходит некий процесс, длительность которого составляет τ 0 = t ' 2 – t ' 1 (по собственному времени). Здесь t ' 1 и t ' 2 – это время на часах в начале данного процесса и в его конце. Чтобы вычислить его общую продолжительность в точке x , необходимо взять для расчета следующую формулу:

τ = t 2 - t 1 = t ' 2 + υ x ' / c 2 1 - β 2 - t ' 1 + υ x ' / c 2 1 - β 2 = t ' 2 - t ' 1 1 - β 2 = τ 0 1 - β 2 .

Формула релятивистского сокращения длины выводится из преобразований Лоренца точно таким же образом.

Принцип относительности одновременности

Еще одно важное следствие, которое необходимо знать, – это положение о том, что любая одновременность относительна.

Например, если в системе отсчета K ' взять две разные точки, в которых некий процесс будет протекать одновременно (с позиции стороннего наблюдателя), то в системе наблюдатель будет иметь следующее:

x 1 = x ' 1 + υ t ' 1 - β 2 , x 2 = x ' 2 + υ t ' 1 - β 2 ⇒ x 1 ≠ x 2 , t 1 = t ' + υ x ' 1 / c 2 1 - β 2 , t 2 = t ' + υ x ' 2 / c 2 1 - β 2 ⇒ t 1 ≠ t 2 .

Из этого вытекает пространственная разобщенность данных событий в системе K , следовательно, они не могут считаться одновременными. Нельзя сразу сказать, какое событие будет происходить первым, а какое вторым, поскольку это определяется особенностями системы отсчета – знак разности будет определен знаком выражения υ ( x ' 2 – x ' 1 ) .

Если между событиями имеется причинно-следственная связь, то данный вывод специальной теории относительности для них использовать нельзя. Однако мы можем показать, что при этом не нарушается принцип причинности, и события следуют в нужном порядке в любой инерциальной системе отсчета.

Разберем пример, показывающий, что одновременность разобщенных в пространстве событий является относительной.

Возьмем систему отсчета K ' и расположим в ней длинный жесткий стержень. Его положение будет неподвижным и ориентированным вдоль оси абсцисс. Установим на оба его конца часы, синхронизированные между собой, а в центр поместим импульсную лампу. Также у нас будет система K ' , совершающая движение вдоль оси x в системе K .

В определенный момент времени лампа включится и пошлет световые сигналы в направлении обоих концов жесткого стержня. Поскольку она находится точно в центре, эти сигналы должны дойти до концов в одно и то же время t , которое должно быть зафиксировано расположенными на них часами. Однако концы стержня движутся относительно системы K так, что один конец стремится навстречу световому сигналу, а другой конец свету приходится догонять. Скорость света, распространяющегося в оба направления, одинакова, но сторонний наблюдатель скажет, что до левого конца свет дошел быстрее, чем до правого.

Рисунок 4 . 4 . 1 . Иллюстрация принципа относительности одновременности: достижение световым импульсом концов стержня в системе K ' в одно и то же время и в системе K в разное.

Инвариантные величины в СТО

Данные преобразования нужны нам для выражения относительного характера временных промежутков и промежутков расстояний. Вместе с тем в специальной теории относительности помимо утверждения относительного характера времени и пространства очень важно установить инвариантные физические величины, не изменяющиеся при смене системы отсчета. Подобной величиной является скорость света в вакууме, чей характер в рамках СТО становится абсолютным. Также важна такая величина, как интервал между событиями, поскольку именно она выражает абсолютность пространственно-временной связи.

Для вычисления пространственно-временного интервала необходимо использовать следующую формулу:

s 12 = c 2 t 12 2 - l 12 2 .

В ней с помощью параметра l 12 выражено расстояние между точками одной системы, где совершаются события, а t 12 – это временной промежуток между теми же самыми событиями. Если местом одного из событий является начало координат, т.е. x 1 = y 1 = z 1 = 0 и ( t 1 = 0 ) , а второе происходит в точке с координатами x , y , z в некоторое время t , то формула вычисления пространственно-временного интервала между ними записывается так:

s = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 .

Преобразования Лоренца дают нам возможность доказать неизменность пространственно-временного интервала между событиями при смене инерциальной системы.

Если величина интервала не зависит от того, какая система отсчета используется, т.е. является объективной при любых относительных расстояниях и временных промежутках, то такой интервал называется инвариантным.

Допустим, что у нас есть событие (вспышка света), которое произошло в точке начала координат в некоторой системе во время, равное 0 , а потом свет переместился в другую точку с координатами x , y , z во время t . Тогда мы можем записать следующее:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 .

У нас получилось, что интервал этой пары событий будет равен нулю. Если мы поменяем систему координат и возьмем другое время для второго события, то результаты окажутся точно такими же, поскольку:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2

Иначе говоря, любые два события, которые связывает между собой световой сигнал, будут иметь нулевой пространственно-временной интервал.

Также формулы Лоренца для времени и координат можно использовать для выведения релятивистского закона сложения скоростей.

Например, у нас есть частица, которая находится в системе отсчета K ' и движется в ней вдоль оси абсцисс со скоростью u ' x = d x ' d t ' . Параметры скорости u ' x и u ' равны 0 . В системе K , соответственно, скорость будет равна u x = d x d t .

Применим к одной из формул преобразования Лоренца операцию дифференцирования и получим следующее:

u x = u ' x + υ 1 + υ c 2 u ' x , u y = 0 , u z = 0 .

Данные отношения являются выражением релятивистского закона сложения скоростей. Он применим в случае движения частицы параллельно относительной скорости υ → в системах отсчета K и K ' .

Если υ ≪ c , то релятивистские отношения могут быть преобразованы в формулы классической механики:

u x = u ' x + υ , u y = 0 , u z = 0 .

Если мы имеем дело со световым импульсом, распространяющимся в системе K ' вдоль оси x ' со скоростью u ' x = c , то в этом случае применима следующая формула:

u x = c + υ 1 + υ / c = c , u y = 0 , u z = 0 .

Иначе говоря, скорость распространения светового импульса в системе K вдоль оси x также будет равна c , что соответствует постулату об инвариантности скорости света.

Преобразования Лоренца − преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца отражают равноправие всех инерциальных систем отсчёта в описании законов природы. Если инерциальная система отсчёта K' движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид

c - скорость света в вакууме, β = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x’, y’, z’) и моментом времени t’ этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K’.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K’ движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x’ системы K’ происходит процесс длительностью τ₀ = t’₂ – t’₁ (собственное время), где t’₁ и t’₂ – показания часов в системе K’ в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K’ (x’₁ ≠ x’₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K’ (t’₁ = t’₂ = t’) происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x’₂ – x’₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K’ вдоль оси x’ неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизированных часов(рис. 4.4.1(a)), система K’ движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K’ дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t’. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.4.1(b)).

Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K’ (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 4.1.3), то

и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s’ окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K’ вдоль оси x’ движется частица со скоростью Составляющие скорости частицы u’x и u’z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K’.

Читайте также: