Постулаты квантовой механики кратко

Обновлено: 05.07.2024

В статье рассматриваются постулаты квантовой механики . Описание микроскопического мира, предоставляемое квантовой механикой, основано на радикально новом видении и в этом противоположно классической механике . Он основан на постулатах .

Если среди физиков существует очень большой консенсус в отношении того, как проводить вычисления, которые позволяют учитывать квантовые явления и предсказывать их эволюцию, то, однако, нет единого мнения об уникальном способе их объяснения студентам. Это причина того, что количество, порядок и особенно формулировка постулатов квантовой механики могут варьироваться в зависимости от источников.

В большинстве случаев постулаты упоминаются как шесть и представлены в манере, аналогичной приведенной ниже, которая будет более подробно объяснена, развита и подвергнута критике позже в этой статье:

Резюме

Математическая формулировка

Математическая формулировка квантовой механики, в его общем использовании, широко используются в дираковской Бра и кет , который представляет сжато операции на гильбертовых пространствах , используемых в функциональном анализе . Эту формулировку часто приписывают Джону фон Нейману .

Позвольте быть комплексным сепарабельным гильбертовым пространством . Множество состояний - это проективное пространство, на котором образовано ; другими словами, состояние - это (комплексная) векторная линия . Оператор - это линейное преобразование плотного подпространства червей . Если этот оператор непрерывен, то это преобразование однозначно продолжается до ограниченного линейного преобразования червей . По традиции наблюдаемые объекты отождествляются с операторами, хотя это спорно, особенно при наличии симметрий . Вот почему некоторые предпочитают формулировку состояния плотности. ЧАС >> ЧАС п > P> ЧАС >> ЧАС >> ЧАС >> ЧАС >> ЧАС >> ЧАС >>

В связи с этим, принцип неопределенности в Гейзенберге становится теорема о не-операторах коммутирующих . Кроме того, мы можем иметь дело с непрерывными и дискретными наблюдаемыми; в первом случае гильбертово пространство представляет собой пространство интегрируемых прямоугольных волновых функций.

Постулаты

Постулат I

Определение квантового состояния

Знание состояния квантовой системы будет полностью содержится, в момент времени Т , в нормируемой вектора гильбертова пространства . ЧАС >>

Этот вектор обычно обозначается как кет . | ψ ( т ) ⟩

Постулат II

Для того, чтобы любая наблюдаемой собственность, например , положение, энергия или спину , соответствует линейному эрмитову оператора , действующему на векторах одного гильбертово пространства . Этот оператор называется наблюдаемым . ЧАС >>

Операторы, связанные с наблюдаемыми свойствами, определяются правилами построения, основанными на принципе соответствия:

Оператор позиции Q ^ знак равно р >> = \ mathbf > Классический или электромагнитный оператор потенциальной энергии V ^ ( р ) знак равно V против л ( р ) > (\ mathbf ) = V_ (\ mathbf )> Оператор импульса п ^ ( р ) знак равно - я ℏ ∇ >> (\ mathbf ) = - я \ hbar \ nabla> , где обозначает градиент координат ∇ р <\ displaystyle \ mathbf > Оператор углового момента L ^ ( р ) знак равно Q ^ × п ^ знак равно - я ℏ р × ∇ >> (\ mathbf ) = >> \ times >> = - я \ hbar \ mathbf \ times \ nabla> Оператор кинетической энергии K ^ ( р ) знак равно п ^ ⋅ п ^ 2 м знак равно - ℏ 2 2 м ∇ 2 > (\ mathbf ) = <\ frac <>> \ cdot >>> > = - > > \ nabla ^ > Оператор полной энергии, называемый гамильтонианом ЧАС ^ знак равно K ^ + V ^ знак равно K ^ ( р ) + V против л ( р ) > = > + > = > (\ mathbf ) + V_ (\ mathbf < р>)> Оператор действия системы, называемый лагранжианом L ^ знак равно K ^ - V ^ > = > - >>

Таблица результатов

Имущество	Наблюдаемый
Должность	Q ^ знак равно р >> = \ mathbf >
Потенциальная энергия	V ^ ( р ) знак равно V против л ( р ) > (\ mathbf ) = V_ (\ mathbf )>
Количество движения	п ^ ( р ) знак равно - я ℏ ∇ >> (\ mathbf ) = - я \ hbar \ nabla> , где обозначает градиент координат ∇ р <\ displaystyle \ mathbf >
Угловой момент	L ^ ( р ) знак равно Q ^ × п ^ знак равно - я ℏ р × ∇ >> (\ mathbf ) = >> \ times >> = - я \ hbar \ mathbf \ times \ nabla>
Кинетическая энергия	K ^ ( р ) знак равно п ^ ⋅ п ^ 2 м знак равно - ℏ 2 2 м ∇ 2 > (\ mathbf ) = <\ frac <>> \ cdot >>> > = - > > \ nabla ^ >
Полная энергия, называемая гамильтонианом	ЧАС ^ знак равно K ^ + V ^ знак равно K ^ ( р ) + V против л ( р ) > = > + > = > (\ mathbf ) + V_ (\ mathbf < р>)>
Системное действие, называемое лагранжевым	L ^ знак равно K ^ - V ^ > = > - >>

Постулат III

Мера: возможные значения наблюдаемого

Измерение физической величины, представленной наблюдаемой A, может дать только одно из собственных значений A.

Собственные векторы и собственные значения этого оператора имеют особое значение: собственные значения - это значения, которые могут быть получены в результате идеального измерения этого свойства, причем собственные векторы являются квантовым состоянием системы сразу после измерения и являются результатом этого измерения (см. постулат V: редукция волнового пакета). Используя обозначения бюстгальтера , этот постулат можно записать так:

где , и обозначают, соответственно, наблюдаемую, собственный вектор и соответствующее собственное значение. В ^ > | α нет ⟩ \ rangle> в нет >

Это означает, что любой вектор может однозначно разложиться на основе этих собственных векторов ( ): | ψ ( т ) ⟩ | ϕ я ⟩ \ rangle>

Постулат IV

Постулат Борна : вероятностная интерпретация волновой функции

Измерение физической величины, представленной наблюдаемой A , выполненное в нормированном квантовом состоянии , дает результат a _n с вероятностью P _n, равной | c _n | 2 . | ψ ( т ) ⟩

Скалярное произведение состояния , а другой вектор (или не принадлежит ему ) дают амплитуду вероятности, квадрат , который соответствует вероятности или плотность вероятности следующим образом : ЧАС >>

Для системы, состоящей из одной частицы в нормальном состоянии , волновая функция - это амплитуда вероятности того, что частица находится в определенном положении . Вероятность нахождения частицы между и является: | α ⟩ Ψ α ( р ) знак равно ⟨ р | α ⟩ (\ mathbf ) = \ langle \ mathbf | \ alpha \ rangle> р <\ displaystyle \ mathbf > п α ( р ) (\ mathbf )> р <\ displaystyle \ mathbf > р + d р <\ displaystyle \ mathbf + d \ mathbf > п α ( р ) знак равно | ⟨ р | α ⟩ | 2 d 3 р ≡ | Ψ α ( р ) | 2 d 3 р (\ mathbf ) = <| \ langle \ mathbf | \ alpha \ rangle |> ^ d ^ \ mathbf \ Equiv < | \ Psi _ (\ mathbf ) |> ^ d ^ \ mathbf > Как и плотность вероятности. ρ α ( р ) знак равно | ⟨ р | α ⟩ | 2 <\ displaystyle \ rho _ (\ mathbf ) = <| \ langle \ mathbf | \ alpha \ rangle |> ^ >
Если система находится в нормальном состоянии , то амплитуда вероятности и вероятность нахождения ее в любом другом состоянии равны: | α ⟩ ПРОТИВ β α \,> п β α \,> | β ⟩ ПРОТИВ β α знак равно ⟨ β | α ⟩ = \ langle \ beta | \ alpha \ rangle> . п β α знак равно | ⟨ β | α ⟩ | 2 = <| \ langle \ beta | \ alpha \ rangle |>^ > . Ни то , ни другое не обязательно должно быть собственным состоянием квантового оператора. | α ⟩ | β ⟩
В случае, если система может развиваться в состояние с течением времени по нескольким различным путям, тогда, пока не производятся измерения, чтобы определить, какой путь был фактически выбран, представляет собой линейную комбинацию состояний, в которых указан путь: | α , т ⟩ т | α , т ⟩ | α j , т ⟩ , т \ rangle> j | α , т ⟩ знак равно ∑ ш j | α j , т ⟩ | \ alpha _ , t \ rangle>> где - коэффициенты линейной комбинации. ш j <\ displaystyle w_ \,> Затем амплитуда становится суммой амплитуд, а вероятность содержит интерференционные составляющие: ПРОТИВ β α ( т ) знак равно | ⟨ β | α , т ⟩ | (т) = <| \ langle \ бета | \ альфа, т \ рангл |>> ПРОТИВ β α j ( т ) <\ Displaystyle С _ <\ бета \ альфа _ > (т)> п β α ( т ) (т) \,> п β α ( т ) знак равно | ⟨ β | α , т ⟩ | 2 знак равно | ∑ ш j ⟨ β | α j , т ⟩ | 2 знак равно | ∑ ш j ПРОТИВ β α j ( т ) | 2 (t) = <| \ langle \ beta | \ alpha, t \ rangle |>^ = <\ left | \ sum \ right |> ^ = <\ left | \ sum (t)> \ right |> ^ > Но если измерение определило, что путь был пройден, тогда коэффициенты становятся, а предыдущие суммы сокращаются до одного члена. k ш j → δ j k <\ displaystyle w_ \ rightarrow \ delta _ >
Предполагая, что система находится в состоянии , теоретическое предсказание среднего значения наблюдаемого измерения дается следующим образом: | α ⟩ В ^ > ⟨ В ^ ⟩ α знак равно ⟨ α | В ^ | α ⟩ \ rangle> _ = \ langle \ alpha | | \ alpha \ rangle>

Постулат V

Мероприятие: уменьшение волнового пакета; получение уникального значения; проекция квантового состояния

Если измерение физической величины A в момент времени t в системе, представленной вектором, дает в результате собственное значение , то состояние системы сразу после измерения проецируется на собственное подпространство, связанное с : | ψ ⟩ в нет \,> в нет \,>

Где - вероятность нахождения собственного значения в результате, а - оператор проектора, определяемый формулой п ( в нет ) ) \,> в нет \,> п ^ нет > _ >

Со степенью вырождения собственного значения и векторов его собственного значения. грамм нет \,> в нет > | ты нет , k ⟩ \ rangle>

Постулат VI

Временная эволюция квантового состояния

Состояние любой нерелятивистской квантовой системы является решением нестационарного уравнения Шредингера : | Φ , т ⟩

Это уравнение справедливо только в нерелятивистских рамках.

Критический

Последствия квантовой механики настолько сложны, настолько глубоки и настолько необычны (по сравнению с нашим собственным опытом), что большая часть научного сообщества решила ускользнуть от них и довольствуется теорией, которая дала наиболее точный прогноз на сегодняшний день.

Сторонники этого подхода, известного как подход Копенгагенской школы , говорят примерно так:

Смотрите также

О других проектах Викимедиа:

Статьи по Теме

Библиография

Оригинальная книга Поля Дирака, представившая свой формализм. Очень краткая, книга с самого начала абстрактна и представляет пять аксиом из первой главы.

Введение выбора квантовой механики во франкоязычном мире. В главе 3 представлены постулаты этого механизма. Для понимания этой книги требуется хороший уровень математики. Недостаток: как и в этой статье, в ней используется нотация Дирака, которая родилась, когда математика, полезная для квантовой механики, была мало развита. В настоящее время многие теоретики отказались от этой записи в пользу формализма, возможно, менее подходящего для квантовой механики, но более математически строгого. См., Например, статьи о функциональном анализе (математика) , теории операторов (математике) и теории групп .

Хороший перевод книги, написанной на английском языке. Хорошо подходит для непрофессионала со степенью научного бакалавра в области математики и желающего получить строгое введение в квантовую механику.

Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.

Квантовая механика для "чайников"

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с. Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Наименьшая порция энергии излучения атома

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.

При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга.

Уравнение Шредингера

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!

Принцип неопределенности Гейзенберга

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы. Математически это записывается так:

Принцип неопределенности Гейзенберга

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь

Надеемся, что эта статья помогла Вам немного размять мозги, вспомнить хорошо забытое старое, а может быть и узнать что-то новое. Здесь мы постарались рассказать о квантовой механике просто, понятно и по возможности интересно. Конечно, данная тема не может быть раскрыта в рамках одной статьи, поэтому о парадоксах, нерешенных задачах, черных дырах и котах Шредингера мы поговорим в самое ближайшее время. А пока, чтобы закрепить знания, предлагаем посмотреть тематическое видео. Возможно вас также заинтересуют правила оформления чертежей по ЕСКД.

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к нашим авторам – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

Глава I .2.

Постулаты квантовой механики и ее математический аппарат

Классическая механика и электродинамика при попытке применить их объяснению атомных явлений приводили к результатам, находящихся в резком противоречии с экспериментом. Наиболее яркий тому пример - попытка применения классической электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам. При таком движении, как и при всяком движении зарядов с ускорением, электроны должны были бы непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн и, в конце концов, - неизбежно упасть на положительно заряженное ядро. Таким образом - с точки зрения классической электродинамики - атом неустойчив. Как мы видим - этот тезис не соответствует действительности. Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свидетельствует о том, что описание микрообъектов требует фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах.

Из целого ряда экспериментальных данных (таких, как дифракция электронов) следует, что механика, которой подчиняются атомные явления - квантовая механика - должна быть основана на представлениях о движении, принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частиц, а, следовательно - и других динамических характеристик. ЭТОТ ТЕЗИС СФОРМУЛИРОВАН В ПРИНЦИПЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА:

Нельзя со сколь угодной точностью одновременно измерить координату и импульс микрообъекта:

D x · D p ³ h (II.1)

Следует отметить (и об этом будет говориться позднее), соотношение неопределенностей связывает не только координату и импульс, но и ряд других величин.

Известно, что полное описание состояния классической физической системы осуществляется заданием в начальный момент времени всех ее координат и скоростей. По этим данным уравнения движения полностью определяют поведение системы во времени. В квантовой механике, поскольку координаты и соответствующие им скорости не существуют одновременно, описание осуществляется меньшим числом величин, т.е. является менее подробным. Именно поэтому квантовая механика не может делать строго определенных предсказаний относительно будущего поведения микрообъекта, и ее задача состоит лишь в определении вероятности получения того или иного результата при измерении.

Естественно, что столь радикальное изменение физических представлений о движении требует и столь же радикального изменения математического аппарата. Основы этого были сформулированы как постулаты квантовой механики:

Состояние частицы (или системы частиц) задано, если известна волновая функция Y (q)

В квантовой механике состояние всей системы может быть описано функцией координат Y (q) , квадрат модуля которой определяет распределение вероятностей значений координат:

½ Y (q) ½ 2 dq (II.2)

- есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значение координат в элементе объема dq. Функцию Y (q) называют волновой функцией системы. Волновая функция обязана удовлетворять ряду требований:

а) Она должна быть непрерывной.

б) Она должна быть однозначной.

в) Она должна быть интегрируема с квадратом, т.е. интеграл ò ½ Y (q) ½ 2 dq должен существовать.

г) Она должна быть нормированной, т.е. этот интеграл должен быть равен 1.

Физический смысл последнего утверждения довольно прост и прозрачен: сумма вероятностей всех возможных значений координат равна единице, так как обнаружение объекта в любой точке пространства - есть событие достоверное.

Следует также отметить, что волновая функция системы может быть комплексной, и она определена лишь с точностью до фазового множителя exp(i a ) , где a - вещественное число. Эта неопределенность не может быть устранена, однако она несущественна и не отражается на физических результатах.

Волновые функции подчиняются принципу суперпозиции: если в состоянии с волновой функцией Y ₁ (q) некоторое измерение приводит к результату Х₁, а в состоянии Y ₂ (q) - к результату Х₂, то всякая функция вида Y =с₁ Y ₁ (q)+с₂ Y ₂ (q)

описывает такое состояние, в котором измерение дает либо результат Х₁, либо Х₂.

Всякой физической величине L в квантовой механике сопоставлен линейный самосопряженный оператор. Единственно возможными величинами, которые может иметь эта физическая величина, являются собственные значения l операторного уравнения L Y =l Y

Возможная волновая функция состояния системы Y получается при решении дифференциального уравнения ih · d Y /dt=H Y , где H - оператор Гамильтона, а уравнение называется уравнением Шредингера.

Если произвести многократные измерения какой-либо динамической переменной l системы, находящейся в состоянии Y , то на основании результатов этих измерений можно определить ее среднюю величину. Эта средняя величина вычисляется по формуле:

l= ò Y * L Y dq/ ò Y * Y dq

Вернемся теперь к рассмотрению математического аппарата квантовой механики.

Оператором А принято называть правило, согласно которому каждой функции f соответствует функция j :

j = А f (II.3)

Простейшие примеры операторов: извлечение квадратного корня, дифференцирование и т.д.

Не на каждую функцию можно подействовать любым оператором, например не дифференцируемую функцию нельзя подействовать оператором дифференцирования. Поэтому любой оператор бывает определен лишь на некотором классе функций и считается заданным, если указано не только правило, по которому он одну функцию преобразует в другую, но и множество функций, на которые он действует.

По аналогии с алгеброй чисел можно ввести и алгебру операторов:

1) Сумма или разность операторов

(A ± B ) · f =A · f ± B · f (II.4)

2) Произведение операторов

AB · f = A ( B · f ) ( II .5)

т.е. сначала на функцию f действует оператор B, образуя некоторую новую функцию, на которую затем действует оператор A. В общем случае действие оператора AB не совпадает с действием оператора BA.

Действительно, если A=d/dx и B=x,

то AB · f=d/dx ( xf)=f+xdf/dx ,

а BAf=xdf/dx ¹ f+xdf/dx

Если AB=BА, то операторы называются коммутирующими, а если AB-BА º (II.6) , то они не коммутируют. Выражение в скобках называется коммутатором.

В квантовой механике обычно используются линейные самосопряженные (или эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что

где c₁ и c₂ - константы, а f₁ и f₂ - произвольные функции, на которых определен оператор A. Это математическое свойство тесно связано с принципом суперпозиции.

Самосопряженным эрмитовым оператором называется оператор, для которого выполняется равенство:

ò f₁ * (x)(Af₂(x))dx = ò f₂(x)(A * f₁ * (x))dx (II.8)

при этом предполагается, что A определен на f₁ * (x) и f₂(x) и все интегралы, входящие в (1.8) существуют. Требование эрмитовости очень важно для квантовой механики и ниже мы выясним, почему.

Как уже говорилось, действие оператора сводится к преобразованию одной функции в другую, однако возможны и такие случаи, когда в результате действия оператора исходная функция не изменяется, либо помножается на константу. Простейший пример:

Можно утверждать, что каждому оператору A можно сопоставить линейное уравнение вида:

Af = af (II.9),

где a = const. a - собственное значение оператора, а f - собственная функция оператора. Это уравнение называется уравнением на собственное значение. Значения постоянных, при которых уравнение (1.9) принимает нетривиальные решения, называют собственными значениями. Все вместе они образуют спектр собственных значений, который может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Каждому значению соответствует одна или несколько собственных функций f_т, причем если одному собственному значению соответствует только одна функция, то оно является невырожденным, а если несколько - то вырожденным.

Собственные функции и собственные значения эрмитовых (самосопряженных) операторов обладают рядом свойств:

1. Собственные значения таких операторов вещественны.

2. Собственные функции f₁ и f₂ таких операторов, принадлежащих различным собственным значениям с₁ и c₂ соответственно ортогональны между собой, т.е. ò f₁ * (x) f₂(x) dx = 0 (II.10)

3. Они должны быть нормированы на единицу введением специального нормировочного множителя, что в общем случае описывается условием ортонормированности: ò f_m * (x) f_n(x)dx = d _mn , d _mn = 0 при m ¹ n и d _mn = 1 при m = n (II.11)

4. Если два оператора A и B имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют, справедливо и обратное утверждение

5. Собственные функции эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор, т.е. любую функцию, определенную в этой же области переменных можно представить в виде ряда по собственным функциям оператора A:

где c_n - некоторые константы, и это разложение будет точным.

Последнее свойство очень важно для аппарата квантовой механики, поскольку на его основе можно построить матричное представление операторов и применить мощный аппарат линейной алгебры.

Действительно, поскольку в (II.12) собственные функции f_n(x) считаются известными, то для нахождения функции F(x) необходимо и достаточно найти все коэффициенты разложения c_n>. Рассмотрим теперь некоторый оператор B, который действует на функцию c (x) и переводит ее в F(x):

F(x) = B c (x) (II.13)

Представим теперь функции F(x) и B c (x) в виде рядов (II.12):

Однако сам формализм квантовой механики не имеет строгого (в математическом смысле) обоснования, и основан на формальных постулатах. Но, разумеется, к формулировке этих постулатов физики пришли в результате обобщения экспериментальных данных и анализа соответствия им создаваемых методов математического описания квантовых процессов.

Для того, чтобы сформулировать эти постулаты сначала введем некоторые основные понятия функционального анализа, оперирующего в пространстве функций, вообще говоря, комплексных.

Пусть – набор обобщенных координат, например, координат и скоростей частицы, или, как еще говорят, вектор в конфигурационном пространстве Q.

Скалярным произведением функций j( ) и y( ) называется интеграл

Если , то говорят, что j и ψ ортогональны.

Пример. Пусть . Рассмотрим их скалярное произведение на интервале [-π, π]:

то есть эти функции ортогональны на интервале [-π, π] при n≠m.

В новых обозначениях полученные ранее соотношения можно записать в виде:

- условие нормировки на 1,

- условие нормировки на δ- функцию,

Примером операторов могут служить, в частности, операторы дифференцирования и интегрирования:

Пример. а) Пусть , тогда действие интегрального оператора определяется соотношением:

б) Рассмотрим дифференциальный оператор. Пусть , тогда

Определение. Если функция y удовлетворяет уравнению

где f – действительное число, то такая функция называется собственной функцией оператора , а число f - собственным числом оператора .

Скалярное произведение с оператором обозначается следующим образом:

Часто в физической литературе можно встретить и другие обозначения:

В таких обозначениях оператор действует на функцию, стоящую справа, а комплексносопряженный оператор действует на функцию, стоящую слева.

Оператор называется эрмитово сопряженным к на множестве функций W, если

Пример. Пусть оператор , то есть его действие заключается в умножении функции на мнимую единицу. Тогда и на основании соотношения

оператор является эрмитово сопряженным к .

Если , то оператор называется самосопряженным или

эрмитовым оператором.

Эрмитов оператор удовлетворяет соотношению

которое показывает, что скалярное произведение – действительно, т.е. можно записать

где f – действительное число.

Пример. Пусть оператор , а функцию возьмем в виде , тогда на этом классе функций

то есть такой оператор является самосопряженным (эрмитовым).

Теперь перейдем к формулировке постулатов квантовой механики.

Первый постулат квантовой механики был упомянут ранее и определяет смысл волновой функции, а именно:

Квантовая система полностью описывается волновой функцией y( ), а величина

есть вероятность обнаружить частицу в элементе объема конфигурационного пространства , расположенного в точке, определенной вектором .

Второй постулат квантовой механики есть формулировка принципа суперпозиции для волновых функций, а именно:

Если y₁ – волновая функция состояния 1, а y₂ – волновая функция состояния 2, то их линейная комбинация y₃ = с₁y₁ + с₂y₂ описывает либо состояние 1, либо состояние 2.

Как нетрудно заметить, квантовый принцип суперпозиции отличается от классического, проявляющегося, например, при интерференции волн. Рассмотрим для примера образование молекул водорода и хлористого водорода.

При образовании молекулы водорода вероятность каждому из двух электронов находиться около какого-нибудь ядра одинакова и равна 0.5.

В молекуле хлористого водорода вероятность электрону, взятому у водорода, находиться около иона хлора значительно больше, то есть с₁«с₂.

Третий постулат квантовой механики (принцип соответствия):

Каждой физической величине F в квантово-механическом описании соответствует линейный эрмитовый оператор , собственные значения которого равны измерениям величины F в состояниях, описываемых волновой функцией , являющейся собственной функцией оператора , т.е.

Собственное значение f называется квантовым числом оператора .

Поскольку измерение величины F обязательно дает одно из собственных значений, то любая волновая функция в случае дискретного набора (спектра) собственных значений f может быть представлена в виде суперпозиции всех состояний

а в случае непрерывного спектра

Если система допускает и дискретный и непрерывный спектр, то

Четвертый постулат квантовой механики:

В случае дискретного спектра измерение F дает значение f_n с вероятностью , а в случае непрерывного спектра измерение F дает значение в интервале (f, f+df ) с вероятностью .

Условие нормировки в общем случае имеет вид:

Величины c_n и c(f) называются амплитудами вероятности.

Следствием этих постулатов являются следующие полезные соотношения:

– выражения для амплитуд вероятности

Постулаты квантовой механики