Площадь параллелограмма доказательство 8 класс кратко
Обновлено: 06.07.2024
Выведем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Докажем, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Одну из сторон параллелограмма будем условно называть основанием. Перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, назовем высотой параллелограмма.
Дано:
ABCD – параллелограмм с площадью S.
AD – основание, BH и CE – высоты.
Доказать:
S = AD ∙ BH
Доказательство:
SABCE = SABCD + SCDE или SABCE = SBCEH + SABH
Треугольники CDE и ABH равны по гипотенузе и острому углу, значит
SCDE = SABH, следовательно SABCD = SBCEH
S = BC ∙ BH = AD ∙ BH
В общем виде формула для вычисления площади параллелограмма имеет вид Sпараллелограмма = ah
Ромб также является параллелограммом, поэтому площадь ромба также можно найти, перемножив основание на высоту, проведенную к этому основанию.
SABCD = BC ∙ AK = ah
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Если AD – основание, тогда перпендикуляр BH называется высотой параллелограмма.
Перпендикуляр можно опустить из любой точки прямой BC, например, перпендикуляр из точки C – это CK. Длины высот равны по свойству параллелограмма BCKH (у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, а значит, BH=CK).
Сформулируем теорему о нахождении площади параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Проведем доказательство этой теоремы.
Треугольники АВН и DCK равны, так как: 1) они прямоугольные, 2) они имеют равные гипотенузы: АВ = DC по свойству параллелограмма, 3) их острые углы равны: ∠ВАН = 180°-∠CDA = ∠СDK.
Площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК равны, так как они состоят из суммы общего четырехугольника HBCD и равных треугольников.
Площадь прямоугольника HBCK равна произведению длины на ширину: S = BC·BH = AD·BH.
Следовательно, площадь параллелограмма ABCD также равна AD·BH, что и требовалось доказать.
Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Если за основание взять другую сторону параллелограмма, а именно сторону АВ, перпендикуляр DK будет высотой параллелограмма, проведенной к основанию.
Геометрические фигуры изучают не только восьмиклассники и технари, но и представители творческих специальностей. Нестандартные четырехугольные формы можно встретить как в дизайне обуви, так и в современных зданиях. В этой статье расскажем о параллелограмме и его отличительных особенностях.
О чем эта статья:
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
- В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
- Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
- Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- AC — общая сторона;
- AB = CD по условию;
- BC = AD по условию.
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
На сегодняшнем уроке мы изучим формулу для нахождения площади параллелограмма. Для удобства введем следующую терминологию: одну из сторон параллелограмма будем называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к этой стороне, высотой параллелограмма.
Вспомним определения и основные свойства параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Теорема. О площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство. Изобразим рисунок 2 с элементами, которые нам пригодятся в ходе доказательства.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Рассмотрим параллелограмм . В нем – основание, и – высоты. Обратим внимание на прямоугольную трапецию , она состоит из двух фигур: параллелограмма и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция разбивается на две другие фигуры: треугольник и прямоугольник . Исходя из этого, запишем третье свойство площади:
Рассмотрим треугольники и :
как два прямоугольных треугольника, по гипотенузе и острому углу. Следовательно, по второму свойству площади: .
Если вернуться к полученным соотношениям для площади выбранной трапеции и учесть равенство площадей треугольников, то получим: . Но из предыдущего урока мы уже знаем, что площадь прямоугольника, а т. к. , по свойству параллелограмма, то , что и требовалось доказать.
Примеры на расчет площадей параллелограмма
Пример 1. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Изобразим все на рисунке 3.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Имеем следующие данные: . Проведем высоту и получим прямоугольный треугольник .
Рассмотрим , в нем напротив угла в лежит катет , который равен половине гипотенузы по свойству прямоугольного треугольника с углом . Т. е. .
Тогда, по формуле площади параллелограмма: .
Ответ..
Пример 2. Дан параллелограмм с высотой , , острый угол равен . Найти площадь параллелограмма.
Решение. Изобразим параллелограмм с проведенной высотой на рисунке 4.
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Рассмотрим прямоугольный треугольник : равнобедренный .
По условию см.
Тогда .
Ответ. .
Пример 3. Дан параллелограмм . высота. . Найти площадь параллелограмма.
Решение. Изобразим параллелограмм на рисунке 5.
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Поскольку является высотой параллелограмма, то она перпендикулярна к обоим его основаниям и мы можем вычислить угол . Рассмотрим треугольник , он прямоугольный, следовательно, угол .
По уже упомянутому выше свойству прямоугольного треугольника, катет, который лежит напротив угла , равен половине гипотенузы, следовательно, .
.
Ответ. .
Читайте также: