Парадокс монти холла кратко
Обновлено: 07.07.2024
Теория вероятностей, названная по имени своего создателя Монти Холла, впервые была продемонстрирована им в телевизионном шоу Let's make a deal в 1975 году. Многие люди проигрывали, опираясь на интуицию, а не на логику.
Некоторые слышали о таком математическом эффекте, как парадокс Монти Холла. По сути, это не парадокс вовсе, а пример самоотверженного упорства людей, основанный на интуиции вместо логики. Того же мнения придерживаются учёные. Но исследования и тесты противоречат научной базе. Что за математическое явление, которое 45 лет не даёт покоя эрудированному населению планеты и не может воспринять неподготовленный человеческий разум?
История происхождения
Формулировка проблемы
Ведущий телешоу предлагал одному из членов аудитории заключить сделку. Он прятал нечто ценное за дверью. Если участник отгадает, то сможет оставить ценность у себя либо обменять её на другой предмет. Ценная вещь — это автомобиль и остальные предметы — 2 козы. Все они были скрыты от игрока за тремя дверьми.
Ведущий предлагал выбрать для открытия любую дверь. Участник выбирал, например, портал № 1. Перед тем как показать содержимое, Монти Холл открывал любую из 2 оставшихся дверей, например, № 3. Он знал содержимое. За порталом находился неценный предмет — коза.
Оставалось две закрытые двери, за одной из которых автомобиль. Шансы получить машину увеличивались и составляли 50/50, вместо 33/33/33. Ведущий предлагает участнику изменить свой выбор. Может игрок передумает и захочет открыть дверь № 2? Такая психологическая уловка смущала участников, и они всё больше утверждались на своей позиции.
У человека появляется уверенность, что он правильно сделал свой первый выбор — дверь № 1. Интуиция подсказывает ему не менять позицию, и что его хотят запутать. Но на самом деле шансы не равны. А если отказать от первого портала, с точки зрения математики, вероятность выиграть автомобиль возрастает в разы.
Объяснение парадокса Монти Холла
Выбирая первую дверь, игрок руководствуется случайностью. Возможно, за порталом есть автомобиль, а может, его там нет. Интрига. Все двери остаются закрытыми, пока ведущий не откроет свой портал. Теперь следует исключить интуицию и прибегнуть к логике. Она заключается в следующем — необходимо применить метод замены переменной.
Игроку не стоит полагаться на выбор, а необходимо руководствоваться простыми математическими расчётами. Изначально вероятность событий равна: p1 = 1/3, p2 = 1/3, p3 = 1/3. Монти Холл исключил р3. Тем более он знал, что за дверью нет автомобиля. Появилась новая вероятность t по формуле: t= р2 + р3 = 2/3. Значит, шансы выиграть машину за новой дверью выросли вдвое.
Многочисленные исследования и тесты показали, что из общего числа игроков, поменявшие двери, выиграли в 60% случаев, против 30% не сменивших позицию. Не имеет значения, с какой двери начинать игру. Главное, это ход ведущего, который откроет 1-й портал. Это изменит вводные и предоставит почву для простых математических расчётов.
Выводы
Парадокс Монти Холла действительно работает. Однако он не гарантирует выигрыша, а лишь увеличивает шансы на успех вдвое. Но здесь человек вступает в психологическую борьбу с самим собой, и чаще всего победу одерживает интуиция, а не логика. Просто мы привыкли выбирать из двух вариантов: повезёт/не повезёт.
Парадокс
В чём же суть парадокса Монти Холла?
Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.
Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.
Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.
На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.
Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.
Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.
Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.
Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.
Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.
Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!
Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.
Усложняем задачу
Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?
Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):
Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.
Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.
Парадокс Монти Холла: определение вероятности благоприятного исхода
Парадокс Монти Холла
За одной из трех дверей находится новый навороченный автомобиль. За двумя другими находится милое животное – коза. Вам нужно угадать, за какой из дверей скрывается автомобиль, - и он ваш. Однако у вас нет необходимых знаний, которые помогут вам понять, что скрывается за дверями. Вы выбираете дверь, и одна из оставшихся дверей открывается, представляя вам на обозрение козу. Теперь вам надо решить, придерживаться своего первоначального выбора или указать на другую дверь.
С помощью этой простой, но по-хитрому представленной загадки американское шоу демонстрировало, как среднестатистический человек идет на поводу своей интуиции, когда сталкивается с основанным на вероятностях выбором. Такое же поведение наблюдается и среди обычных любителей ставок. Когда эта загадка была опубликована в журнале Parade, 10 тыс. читателей, в том числе и несколько профессоров математики, пожаловались, что правильный, по мнению журнала, ответ был неверным.
Как угадать нужную дверь с большей вероятностью?
Решение парадокса
Решить парадокс Монти Холла в свою пользу можно простым способом – всегда менять выбранную дверь! После открытия первой двери, за которой скрывалась одна из коз, становится ясно, что машина прячется за одной из оставшихся двух дверей (хотя мы и не знаем, за какой именно). Большинство участников шоу не видят преимущества в смене двери, полагая, что их шансы на победу остались все те же – 33,3%. Однако это не так! На самом деле, шансы на выигрыш автомобиля после изменения первоначального выбора возрастают в два раза. Да, первоначально шансы выиграть авто составляют 33,3% при любом выборе, однако после открытия одной из дверей с козой шансы того, что автомобиль скрывается за оставшейся, третьей дверью, - 66,6%.
Важность умения определить ценный исход
Ставки требуют умения правильно оценивать букмекерские коэффициенты в сравнении с реальной вероятностью различных исходов. Телевизионное шоу, лотерея, онлайн-ставки на спорт – неважно.
Уметь сделать валуйный выбор - главный ключ к прибыли.
Заключение
Парадокс Монти-Холла основан на противоречии теории вероятности, что позволяет бетторам делать ставки с высокими коэффициентами и степенью проходимости пари. Этот метод определения событий позволяет игрокам снизить риски проигрыша при выборе 1 из 3 равнозначных событий для ставки. Благодаря знаниям особенностей парадокса Монти-Холла, игроки смогут избежать букмекерских ловушек и делать грамотный и более осознанный выбор.
Ссылки
Часто задаваемые вопросы
В чем заключается разоблачение парадокса Монти Холла?
Нужно всего лишь всегда менять выбранное для ставки событие при равной вероятности их прохода.
Как использовать парадокс Монти Холла в ставках на спорт?
Для этого важно выбирать равнозначные события и действовать методом исключения – из 3 маркетов выбрать 1, после чего поменять свой выбор на другой – оставшийся из 2, кажущийся более вероятным.
В поисках автомобиля игрок выбирает дверь № 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь № 2. Стоит ли ему это делать?
Распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол), двое получили машину и один — козу. Из тех, кто не менял (нижний правый угол) — наоборот.
Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Эта задача не является парадоксом в узком смысле этого слова, так как не содержит в себе противоречия, она называется парадоксом потому, что её решение может показаться неожиданным. Более того, многим людям бывает сложно принять правильное решение даже после того, как его им рассказали [1] .
Читайте также: