Отношения между множествами кратко и понятно

Обновлено: 08.07.2024

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Информатика. 6 класса. Босова Л.Л. Оглавление

Ключевые слова:

Разнообразие отношений.

Человек может рассказать не только о признаках объекта, но и об отношениях, в которых этот объект находится с другими объектами. Например:

В каждом из приведённых предложений выделено имя отношения, которое обозначает характер связи между двумя объектами.

Отношение — это взаимная связь, в которой находятся какие-либо объекты.

Одним и тем же отношением могут быть попарно связаны несколько объектов. Соответствующее словесное описание может оказаться очень длинным, и тогда в нём трудно разобраться.

Пусть про населённые пункты А, Б, В, Г, Д и Е известно, что некоторые из них соединены железной дорогой: населённый пункт А соединён железной дорогой с населёнными пунктами В, Г и Е, населённый пункт Е — с населёнными пунктами А, В, Г и Д.

Стрелки можно не использовать, если удаётся сформулировать и соблюсти правило взаимного расположения объектов на схеме. Например, если на рис. 5 имена детей всегда располагать ниже имени их отца, то можно обойтись без стрелок.

Отношения могут существовать не только между двумя объектами, но и между объектом и множеством объектов, например:

Отношения между множествами

Отношения могут связывать два множества объектов, например:

Графически множества удобно представлять с помощью кругов, которые называют кругами Эйлера.

Если множества А и В имеют общие элементы, т. е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются (рис. 6).

Пример. Пусть А — множество электронных писем, В — множество писем на русском языке. В пересечение этих множеств попадают все электронные письма на русском языке.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются (рис. 7).

Пример. Пусть А — множество компьютерных устройств ввода информации, В — множество устройств вывода информации. Эти множества не имеют общих элементов.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В — подмножество А (рис. 8).

Пример. Пусть А — множество учеников, В — множество шестиклассников. Множество шестиклассников является подмножеством множества учеников.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множества А и В равны (рис. 9).

Пример. Пусть А — множество равносторонних прямоугольников, В — множество квадратов. Эти множества равны.

При описании признаков сложного, составного объекта человек может назвать не только действия и характеристики всего объекта, но также действия и свойства объектов-частей. Например, весь дом можно строить и ремонтировать, крышу — красить, а стекло — вставлять; весь дом имеет длину, ширину и высоту, стены — толщину, крыша — высоту.

Самое главное

Объект может состоять из множества одинаковых (однородных, подобных) объектов или множества различных объектов.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Лекция 2. Отношения между множествами.

Между двумя множествами существует пять видов отношений.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В = ∅ . Например, А = < a , c , k >, В = < d , e , m , n >, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠ ∅ . Например, множества А = < a , c , k > и В = < c , k , m , n > пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической . Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:

3 . Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 5. Постройте круги Эйлера для множеств N , A , B ; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N ; укажите характеристические свойства этих множеств.

5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø

7. Пусть Х= < x N/ 1 x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , а элементы множества- строчными.

Классы (множества) чисел: N – натуральные числа, Z – целые числа, Q- рациональные числа, R- действительные (вещественные) числа, C – комплексные числа.

Студенты одной группы – множество, элементы которого- студенты, общее свойство – обучение одной специальности.

Множество В – корни уравнения ½ = cosx . Элементы – вещественные числа, общее свойство – обращают данное уравнение в верное равенство.

Если х – элемент множества Х, то говорят: х принадлежит Х и пишут : хÎХ. Если х не принадлежит Х, то пишут хÏХ.

С видами множеств вы знакомились при изучении других разделов в курсе математики, поэтому лишь напомним их: конечные множества, бесконечные, пустые, универсальные.

Конечные и бесконечные множества в свою очередь подразделяются на неупорядоченные и упорядоченные; неупорядоченные бесконечные – на счетные и несчетные.

Рассмотрим два основных способа задания неупорядоченных множеств:

1. перечисление всех его элементов;

2. описание характеристического (общего) свойства его элементов.

Первым способом задаются конечные множества.

А – множество чисел, являющихся делителями числа 20: А = .

Вторым способом можно задать конечные множества, бесконечные, пустые. Множество элементов, обладающих характеристическим свойством Р, обозначается и читается так: множество всех х таких, что х обладает свойством Р(х).

- это конечное множество и его можно задать перечислением элементов : ;

– это пустое множество, т.к. ни одно вещественное число не удовлетворяет данному уравнению.

Отношения между множествами

Рассмотрим отношения между неупорядоченными множествами.

Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то А называют подмножеством множества В.

Обозначения: А Í В ( А принадлежит В, А включено в В, А содержится в В и т.д.), В Ê А ( В включает А, В содержит А и т.д.)

Множества А и В называются равными, если А Í В и В Í А.Обозначение: А = В.

Если А Í В и существует хотя бы один элемент множества В, не принадлежащий множеству А, то А – собственная часть В, т.е. А строго включается в В.Обозначение: А Ì В.

N – множество натуральных чисел, М – множество четных чисел, тогда М Ì N.

Пусть Х – множество студентов группы, У – множество студентов данной группы сдавших экзамен, тогда можно построить отношение У Í Х, т.к. возможно , что все студенты успевающие.

А = , B = . Данные множества равны А = В, действительно: А Í В и В Í А.

Если U – универсальное множество некоторой теории, то любое множество этой теории является его подмножеством. Например, множество комплексных чисел С – универсальное множество в теории чисел. Для всех классов чисел можно построить цепочку включений: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

1. Для всякого множества В : В Í В;

2. Для любых множеств А, В, С, если А Í В и В Í С, то А Í С;

3. Для всякого множества В : Æ Í В.

2. Операции над множествами. Алгебра множеств

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение и умножение чисел. Но не тождественные им.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, обозначаемое через АÈВ, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В. Краткая запись: АÈВ = .

Соответствующая диаграмма Эйлера – Венна:

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, обозначаемое через АÇВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В. Краткая запись: АÇВ = .

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А\В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В. Краткая запись: А\В = .

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Если U – универсальное множество и АÍ U, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U и обозначается .

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АDВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А. Краткая запись: ADB= .

Для наглядного представления множеств, отношений между множествами и операции над ними применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него - кругов Эйлера, представляющих множества.

Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами.

Первая диаграмма соответствует универсальному множеству U,
вторая - его пустому подмножеству,
третья - произвольному множеству А.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их называют непересекающимися. Диаграммы Эйлера-Венна для этого случая представлены на рисунке.

Пример 1.6. Приведем примеры множеств, находящихся диаграммах.

Решение. 1. Для случая, представленного на рисунке а, можно рассмотреть:

A - множество чисел, кратных 2;

B - множество чисел, кратных 3;

C - множество чисел, кратных 5.

Множества A и B пересекаются, так как содержат общие элементы - числа, кратные 6. Аналогично, множества B и C пересекаются, так как содержат числа, кратные 15. Множества A и C также содержат общие элементы - числа, кратные 10. Общими элементами для всех трех множеств A, B и C являются числа, кратные 30.

2.Примерами множеств, представленных на диаграмме б, могут служить:

A - множество частей речи;

B - множество существительных;

C - множество предлогов.

3.Диаграммы Эйлера-Венна будут иметь вид, представленный на рисунке в, если, например:

A - множество многоугольников;

B - множество равносторонних треугольников;

C - множество равнобедренных треугольников;

D - множество четырехугольников.

Решение. Выделим и обозначим множества, о которых идет речь в данном утверждении: это множество A - студентов некоторой группы и множество B - участников праздничной демонстрации. В данном утверждении сообщается, что все элементы множества A являются также элементами множества B. По определению отношения включения это означает, что A Ì B

4. Операции над множествами.