Ошибки выборочного наблюдения в статистике кратко
Обновлено: 02.07.2024
Как известно, в статистике существует два способа наблюдения массовых явлений в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное наблюдение.
Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным образом.
Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу – по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.
Совокупность отобранных для обследования единиц в статистике принято называть выборочной совокупностью, а совокупность единиц, из которых производится отбор, называют генеральной совокупностью. Основные характеристики генеральной и выборочной совокупности представлены в таблице 1.
При проведении выборочного наблюдения возникают систематические и случайные ошибки. Систематические ошибки возникают в силу нарушения правил отбора единиц в выборку. Изменив правила отбора, от таких ошибок можно избавиться.
Случайные ошибки возникают в силу несплошного характера обследования. Иначе их называют ошибками репрезентативности (представительности). Случайные ошибки разделяют на средние и предельные ошибки выборки, которые определяются как при расчете признака, так и при расчете доли.
Средние и предельные ошибки связаны следующим соотношением: Δ = tμ, где Δ - предельная ошибка выборки, μ - средняя ошибка выборки, t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности. В таблице 2 приведены некоторые значения t, взятые из теории вероятностей.
Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Основные формулы для расчета ошибок выборки представлены в таблице 3.
Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.
Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:
- пределы доли признака в генеральной совокупности р.
Задача 1. Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области:
 |
Определить: 1) по предприятиям, включенным в выборку: а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие; б) дисперсию объема производства; в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 2) в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объем производства продукции на одно предприятие; б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 3) общий объем выпуска продукции по области.
Решение
Для решения задачи расширим предложенную таблицу.
 |
1) По предприятиям, включенным в выборку, средний размер произведенной продукции на одно предприятие
= 110800/400 = 277 тыс. руб.
Дисперсию объема производства вычислим упрощенным способом σ 2 = 35640000/400 – 277 2 = 89100 - 76229 = 12371.
Число предприятий, объем производства продукции которых превышает 400 тыс. руб. равно 36+12 = 48, а их доля равна ω = 48:400 = 0,12 = 12%.
2) Из теории вероятности известно, что при вероятности Р=0,954 коэффициент доверия t=2. Предельная ошибка выборки
= 2√12371:400 = 11,12 тыс. руб.
Установим границы генеральной средней: 277-11,12 ≤Хср≤ 277+11,12; 265,88 ≤Хср≤ 288,12
Предельная ошибка выборки доли предприятий
Определим границы генеральной доли: 0,12-0,03≤ р ≤0,12+0,03; 0,09≤ р ≤0,15
3) Поскольку рассматриваемая группа предприятий составляет 10% от общего числа предприятий области, то в целом по области насчитывается 4000 предприятий. Тогда общий объем выпуска продукции по области лежит в пределах 265,88×4000≤Q≤288,12×4000; 1063520 ≤ Q ≤ 1152480
Задача 2. По результатам контрольной проверки налоговыми службами 400 бизнес-структур, у 140 из них в налоговых декларациях не полностью указаны доходы, подлежащие налогообложению. Определите в генеральной совокупности (по всему району) долю бизнес-структур, скрывших часть доходов от уплаты налогов, с вероятностью 0,954.
Решение
По условию задачи число единиц в выборочной совокупности n=400, число единиц, обладающих рассматриваемым признаком m=140, вероятность Р=0,954.
Из теории вероятностей известно, что при вероятности Р=0,954 коэффициент доверия t=2.
Долю единиц, обладающих указанным признаком, определим по формуле: p=w+∆p, где w = m/n=140/400=0,35=35%,
а предельную ошибку признака ∆p получим из формулы: ∆p= t √w(1-w)/n = 2√0,35×0,65/400 ≈ 0,5 = 5%
Ответ: Доля бизнес-структур, скрывших часть доходов от уплаты налогов с вероятностью 0,954 равна 35±5%.
Другие статьи по данной теме:
Список использованных источников
2012 © Лана Забродская. При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна
1. Определение выборочного наблюдения
Статистические исследования очень трудоемки и дороги, поэтому возникла мысль о замене сплошного наблюдения выборочным.
Основная цель несплошного наблюдения состоит в получении характеристик изучаемой статистической совокупности по обследованной ее части.
Выборочное наблюдение – это метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели совокупности устанавливаются только по отдельно взятой части на основе положений случайного отбора.
При выборочном методе изучению подвергается только некоторая часть изучаемой совокупности, при этом подлежащая изучению статистическая совокупность называется генеральной совокупностью.
Выборочной совокупностью или просто выборкой можно называть отобранную из генеральной совокупности часть единиц, которая будет подвергаться статистическому исследованию.
Значение выборочного метода: при минимальной численности исследуемых единиц проведение статистического исследования будет происходить в более короткие промежутки времени и с наименьшими затратами средств и труда.
В генеральной совокупности доля единиц, которая обладает изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака – это генеральная средняя (обозначается х).
В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частью (обозначается w), средняя величина в выборке – это выборочная средняя.
Если в период обследования будут соблюдены все правила его научной организации, то выборочный метод даст довольно точны результаты, и поэтому данный метод целесообразно применять для проверки данных сплошного наблюдения.
Этот метод получил широкое распространение в государственной и вневедомственной статистике, потому что при исследовании минимальной численности изучаемых единиц позволяет тщательно и точно провести исследование.
Изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками. Состав выборочной совокупности может отличаться от состава генеральной совокупности, это расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки.
Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, характеризуют размер расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности. Ошибки, возникающие в ходе выборочного наблюдения, называются ошибками репрезентативности и делятся на случайные и систематические.
Если выборочная совокупность недостаточно точно воспроизводит всю совокупность из–за несплошного характера наблюдения, то это называют случайными ошибками, и их размеры определяются с достаточной точностью на основании закона больших чисел и теории вероятностей.
Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа случайности отбора единиц совокупности для наблюдения.
2. Виды и схемы отбора
Размер ошибки выборки и методы ее определения зависят от вида и схемы отбора.
Различают четыре вида отбора совокупности единиц наблюдения:
4) серийный (гнездовой).
Случайный отбор – наиболее распространенный способ отбора в случайной выборке, его еще называют методом жеребьевки, при нем на каждую единицу статистической совокупности заготовляется билет с порядковым номером.
Далее в случайном порядке отбирается необходимое количество единиц статистической совокупности. При этих условиях каждая из них имеет одинаковую вероятность попасть в выборку, например тиражи выигрышей, когда из общего количества выпущенных билетов в случайном порядке наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. При этом всем номерам обеспечивается равная возможность попасть в выборку.
Механический отбор – это способ, когда вся совокупность разбивается на однородные по объему группы по случайному признаку, потом из каждой группы берется только одна единица Все единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагаются в определенном порядке, но в зависимости от объема выборки механически через определенный интервал отбирается необходимое количество единиц.
Типический отбор – это способ, при котором исследуемая статистическая совокупность разбивается по существенному, типическому признаку на качественно однородные, однотипные группы, затем из каждой этой группы случайным способом отбирается определенное количество единиц, пропорциональное удельному весу группы во всей совокупности.
Типический отбор дает более точные результаты, так как при нем в выборку попадают представители всех типических групп.
Серийный (гнездовой) отбор. Отбору подлежат целые группы (серии, гнезда), отобранные случайным или механическим способом. По каждой такой группе, серии проводится сплошное наблюдение, а результаты переносятся на всю совокупность.
Точность выборки зависит и от схемы отбора. Выборка может быть проведена по схеме повторного и бесповторного отбора.
Повторный отбор. Каждая отобранная единица или серия возвращается во всю совокупность и может вновь попасть в выборку Это так называемая схема возвращенного шара.
Бесповторный отбор. Каждая обследованная единица изымается и не возвращается в совокупность, поэтому она не попадает в повторное обследование. Эта схема получила название невозвращенного шара.
Бесповторный отбор дает более точные результаты, потому что при одном и том же объеме выборки наблюдение охватывает большее количество единиц изучаемой совокупности.
Комбинированный отбор может проходить одну или несколько ступеней. Выборка называется одноступенчатой, если отобранные однажды единицы совокупности подвергаются изучению.
Выборка называется многоступенчатой, если отбор совокупности проходит по ступеням, последовательным стадиям, причем каждая ступень, стадия отбора имеет свою единицу отбора.
Многофазная выборка – на всех ступенях выборки сохраняется одна и та же единица отбора, но проводится несколько стадий, фаз выборочных обследований, которые различаются между собой широтой программы обследования и объемом выборки.
Характеристики параметров генеральной и выборочной совокупностей обозначаются следующими символами:
N – объем генеральной совокупности;
n – объем выборки;
X – генеральная средняя;
х – выборочная средняя;
р – генеральная доля;
w – выборочная доля;
? 2 – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);
? 2 – выборочная дисперсия того же признака;
?– среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;
?– среднее квадратическое отклонение в выборке.
3. Ошибки выборки
Каждая единица при выборочном наблюдении должна иметь равную с другими возможность быть отобранной – это является основой собственнослучайной выборки.
Собственнослучайная выборка – это отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или другим подобным способом.
Принципом случайности является то, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.
Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:
Собственнослучайный отбор в чистом виде является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.
Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в выборочном методе – это средняя величина количественного признака и относительная величина альтернативного признака.
Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности (n):
Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.
Ошибка выборки, ее еще называют ошибкой репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:
1) для средней количественного признака:
?х =|х – х|;
2) для доли (альтернативного признака):
Только выборочным наблюдениям присуща ошибка выборки
Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, принимающие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки выборки – тоже случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.
Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.
Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучаемого признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется дисперсией ? 2 или w(l – w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.
При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:
1) для средней количественного признака:
где ? 2 – средняя величина дисперсии количественного признака.
2) для доли (альтернативного признака):
Так как дисперсия признака в генеральной совокупности ? 2 точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S 2 , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.
Формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе следующие. Для средней величины количественного признака: генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:
где S 2 – значение дисперсии.
Механическая выборка – это отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, которая разбита по нейтральному признаку на равные группы; производится так, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица.
При механическом отборе единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагают в определенном порядке, после чего отбирают заданное число единиц механически через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки.
При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственнослучайному Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственнослучайной бесповторной выборки.
Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели.
Затем из каждой типической группы собственнослучайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.
Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей.
Типическая выборка дает более точные результаты. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.
Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности равновеликих групп для того, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.
Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.
4. Способы распространения выборочных результатов на генеральную совокупность
Характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов – это конечная цель выборочного наблюдения.
Выборочный метод применяется для получения характеристик генеральной совокупности по определенным показателям выборки. В зависимости от целей исследования это осуществляется прямым пересчетом показателей выборки для генеральной совокупности или методом расчета поправочных коэффициентов.
Способ прямого пересчета в том, что при нем показатели выборочной доли w или средней х распространяются на генеральную совокупность с учетом ошибки выборки.
Способ поправочных коэффициентов применяется, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учета. Данный способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота у населения.
Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.
Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.
К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйственной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.
Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статистического исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.
Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.
Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.
Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным.
При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.
Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.
На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.
Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.
При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.
При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.
Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенными ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности (представительности).
Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репрезентативности.
Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.
Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.
При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:
N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;
n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;
‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генеральной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность работников предприятия и т.п.);
‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;
М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);
р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как
m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;
w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,
‑ средняя ошибка выборки;
‑ предельная ошибка выборки;
‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.
Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.
Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как
При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:
В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.
Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:
Где ‑ дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.
При определении возможных границ значений характеристик генеральной совокупности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.
Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной совокупности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.
Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представлены в статистических справочниках.
При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:
Таблица 10.1 ‑ . Некоторые значения t
| Вероятность, рi. | 0,683 | 0,866 | 0,954 | 0,988 | 0,997 | 0,999 |
| Значение t | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 |
Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки выборки.
Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли единиц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.
Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд последовательных этапов:
- Определение цели обследования.
- Установление границ генеральной совокупности.
- Составление программы наблюдения и программы разработки данных
- Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
- Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
- Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
- Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.
В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.
К наиболее распространенным на практике видам относятся:
- собственно-случайная (простая случайная) выборка;
- механическая (систематическая) выборка;
- типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
- серийная (гнездовая) выборка.
Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, многоступенчатым и многофазным.
Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.
Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.
Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.
Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.
Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.
Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.
Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.
Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:
Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.
Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:
а при расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки:
Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.
Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:
где и ‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;
‑ предельная ошибка выборочной средней.
Пример.
При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.
Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:
Определим пределы генеральной средней:
или
Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.
Пример 2.
В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:
Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.
Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:
Выборочное наблюдение — это такое наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных на основе научно разработанных принципов, обеспечивающих получение достаточного количества достоверных данных для характеристики совокупности в целом.
Основные принципы выборочного наблюдения следующие: случайность отбора наблюдаемого явления; репрезентативность выборки.
В основе принципа случайности лежит равная возможность для каждой единицы попасть в выборку. Репрезентативные выборки обеспечивают достаточным числом отобранных единиц. Средние и относительные показатели, полученные на основе выборочных данных, должны достаточно полно воспроизводить или представлять соответствующие показатели совокупности в целом.
Выборочное наблюдение предполагает проведение таких этапов, как:
1) определение объекта и целей выборочного наблюдения;
2) выбор схемы отбора единиц наблюдения;
3) расчет объема выборки;
4) проведение случайного отбора установленного числа единиц из генеральной совокупности;
5) наблюдение отобранных единиц по установленной программе;
6) расчет выборочных характеристик в соответствии с программой выборочного наблюдения;
7) определение ошибки, ее размера;
8) распространение выборочных данных на генеральную совокупность;
9) анализ полученных данных.
Выборочное наблюдение имеет следующие основные преимущества и недостатки:
1) преимущества:
а) его можно осуществить по более широкой программе;
б) его требует меньше затрат на проведение;
в) его организуют в тех случаях, когда невозможно воспользоваться отчетностью;
2) недостатки:
а) полученные данные всегда содержат ошибку;
б) о результатах наблюдения можно судить лишь с определенной степенью достоверности.
Вся совокупность единиц, из которых производится отбор, называется генеральной совокупностью. Часть единиц генеральной совокупности, отобранная в случайном порядке, составляет выборочную совокупность. Характеристиками генеральной и выборочной совокупности служат доля и средняя величина, а также дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Средняя величина является характеристикой количественных признаков, а дол я — характеристикой альтернативных признаков.
Среднее значение признака генеральной совокупности называется генеральной средней, обозначается , выборочной совокупности — выборочной средней, обозначается .
Доля генеральной совокупности называется генеральной долей и обозначается р, доля выборочной совокупности называется выборочной долей и обозначается w. Численность генеральной совокупности обозначается N, а численность выборочной — n.
Ошибка выборки — расхождение между характеристиками выборки и характеристиками генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования. Ошибка выборки состоит из ошибки регистрации и ошибки репрезентативности, которые бывают систематическими и случайными.
Цель: сформировать представление о способах решения задач, которые возникают при использовании выборочного наблюдения.
Задачи: познакомить студентов с методикой различных видов статистического наблюдения, оценки надежности выборочных показателей с учетом их случайной ошибки
Оглавление
4.1. Особенности выборочного наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности
Выборочное наблюдение – это вид несплошного наблюдения, которое обеспечивает отбор в случайном порядке части единиц совокупности и возможность последующего распространения полученных данных на всю совокупность единиц.
Исходный массив данных называется генеральной совокупностью. Часть единиц генеральной совокупности, которая непосредственно обследуется при выборочном наблюдении, представляет собой выборочную совокупность. Числовые характеристики генеральной совокупности (средняя, дисперсия и др.) называются параметрами генеральной совокупности.
Организационными вопросами выборочного наблюдения являются: обоснование границ генеральной совокупности; единица отбора; единица наблюдения; способы отбора.
4.2. Виды и способы отбора. Виды выборочного наблюдения
По способу организации различают следующие основные виды выборочного наблюдения: собственно-случайная (простая) выборка; типическая (расслоенная, стратифицированная, районированная); серийная (гнездовая); многоступенчатая; многофазная.
При любом виде выборки отбор единиц производится тремя способами: случайный отбор (жеребьевка, таблица случайных чисел); отбор единиц по какой-либо схеме (единицы упорядочивают таким образом, чтобы это было не связано с изучаемыми свойствами; далее проводится механический отбор единиц); сочетание первого и второго способов.
Простая собственно-случайная выборка проводится из всей массы единиц совокупности без предварительного разделения ее на какие-либо группы. Применяется индивидуальный отбор единиц, т. е. единица отбора совпадает с единицей наблюдения. Типическая, (районированная, стратифицированная) выборка используется в случае, когда генеральная совокупность неоднородна и это влияет на размер изучаемого признака. Серийная выборка (кластерный или гнездовой отбор) – это способ формирования выборки, при котором единица отбора состоит из группы или гнезда более мелких единиц, называемых элементами. Многоступенчатая выборка применяется, когда имеют место несколько стадий отбора (ступеней отбора). При этом каждая стадия имеет свою единицу отбора. Число ступеней отбора определяется числом типов единиц отбора и на последней ступени единица отбора совпадает с единицей выборочной совокупности. Многофазная выборка характеризуется тем, что она также включает несколько ступеней отбора, но на всех ступенях сохраняется одна и та же единица отбора (в отличие от многоступенчатой).
Особым видом выборочного наблюдения является моментное наблюдение – это выборочное во времени наблюдение. Объектом выборки являются отрезки времени. Поэтому понятие генеральной и выборочной совокупности относится не к совокупности единиц, а ко времени наблюдения.
4.3. Определение ошибки выборочного наблюдения. Средняя и предельная ошибки выборочного наблюдения
Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности. Различают систематические и случайные ошибки выборки. Случайные ошибки выборки объясняются недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности. Систематические ошибки могут быть связаны с нарушением правил отбора или условий реализации выборки.
Величина случайной ошибки репрезентативности зависит от ряда факторов: объема выборки; степени вариации изучаемого признака в генеральной совокупности; принятого способа формирования выборочной совокупности.
Различают среднюю (стандартную) и предельную ошибку выборки. Средняя ошибка выборки характеризует меру отклонений выборочных показателей от аналогичных показателей генеральной совокупности. Предельной ошибкой выборки принято считать максимально возможное расхождение выборочной и генеральной характеристик, т. е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления. Соотношение между пределом ошибки выборки , гарантируемым с некоторой вероятностью Р(t), и средней ошибкой выборки имеет вид: или , где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности Р(t). Наряду с абсолютной величиной предельной ошибки выборки рассчитывается и относительная ошибка выборки, которая определяется как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характе ристике выборочной совокупности. На практике величина дисперсии признака в генеральной совокупности, как правило, неизвестна, поэтому в формулы ошибки выборки подставляют дисперсию выборочной совокупности.
Выборочная дисперсия несколько меньше генеральной, в математической статистике доказано, что
Если выборочная совокупность большого объема (то есть n достаточно велико), то соотношение приближается к единице и выборочная дисперсия практически совпадает с генеральной.
Читайте также: