Объем наклонной призмы кратко

Обновлено: 28.04.2024

Призма — это многогранник, образованный двумя равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях (основаниями) и боковыми гранями — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Частным случаем призмы является параллелепипед (основания — параллелограммы).

Виды фигуры. Наклонная призма

Существуют следующие виды призм:

Прямая — призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскости основания, а все боковые грани являются прямоугольниками. Прямую прямоугольную призму называют прямоугольным параллелепипедом.
Правильная — призма, основаниями которой являются правильные многоугольники. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
В случае, когда боковые грани — квадраты, призма называется полуправильным многогранником. Высота такой призмы равна стороне основания.
Наклонная — призма, ребра которой не перпендикулярны плоскости основания
Усеченная призма — многогранник, отсеченный от призмы плоскостью, непараллельной основанию. По определению усеченная призма призмой не является.

Формула для определения объема фигуры

Объем призмы определяется произведением площади ее основания и высоты:

V — вычисляемый объем;

S — площадь основания призмы;

h — высота призмы

Примеры решения задачи

Объем наклонной треугольной призмы

Дано: наклонная треугольная призма А В С А 1 В 1 С 1

А С = А 1 С 1 = 10 с м

А В = В С = А 1 В 1 = В 1 С 1 = 12 с м

В основании призмы лежит равнобедренный треугольник.

Его площадь вычисляется по формуле

S = 0 , 5 * а * h , где

S — вычисляемая площадь;

a — основание треугольника;

h — высота, проведенная к основанию;

Проведем высоту h = ВМ.

В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой, следовательно, А М = М С = 10 / 2 = 5 ( с м )

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.

AKLB ; BLMC ; DNMC ; AKND — бoковые грани. Вcе бoковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

AK ; BL ; CM ; DN — боковые рёбра. Боковые рёбра параллельны между собой и равны.

KF = h — высота наклонной призмы (перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания). Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) - параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.


Рис.1	Рис.2

Определение. Основы призмы - две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).

Определение. Поверхность призмы - это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.

Определение. Диагональ основания призмы - это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.

Определение. Диагональ боковой грани призмы - это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.

Определение. Диагональ призмы (AN) - это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.

Определение. Диагональное сечение - это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.

Определение. Перпендикулярное сечение - это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.

Определение. Прямая призма - это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

Определение. Правильная призма - это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

Определение. Усечённая призма - это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма — коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S_>\cdot \text\),
где \( >_>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.

Необычная формула объема призмы:
\( \text=>_>\cdot l\),
где \( >_>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

А теперь чуть подробнее…

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Читать далее…

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Объем призмы

Главная формула объема призмы

Необычная формула объема призмы

\( \text=>_>\cdot l\),
где \( >_>\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) — длина бокового ребра.

Площадь призмы

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

Все боковые грани прямоугольники;
Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

– то же самое, что

\( \displaystyle V=S_>\cdot боковое\ ребро\)

Необычная формула объёма призмы

\( \Large \text=>_>\cdot l\)
\( >_>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

Подставляем в формулу объёма:

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Объем правильной шестиугольной призмы

Читать далее…

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle >_>=\text\cdot \text\), где \( \displaystyle P\) – периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Читать далее…

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Многие ученики путают прямую и правильную призму. А ты теперь никогда не запутаешься!

Была ли эта статья полезной? Ты все понял?

Если у тебя остались вопросы, пиши внизу в комментариях! Разберёмся!

Или если появились предложения. Или если просто хочешь поделиться своими мыслями. Мы будем очень рады.

Добавить комментарий Отменить ответ

5 комментариев

Арег :

Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию

Александр Кель :

Супер Aper! Рады помочь!

Бася :

Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам!

Александр Кель :

Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене!

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:

Дмитрий
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Regina
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!

Настя
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.

Женя
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

Анна
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

Жанна
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!

Николай
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂

Алексей Шевчук
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.

Этот урок посвящен выводу формул для вычисления объёма наклонной призмы. Также на уроке мы рассмотрим применение этих формул при решении практических задач.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Объем наклонной призмы"

Сегодня на уроке мы выведем формулу для нахождения объёма наклонной призмы.

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним формулу для нахождения объёма геометрического тела , повторим формулу для вычисления объёма прямой призмы .

Давайте сформулируем и докажем теорему.

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем эту теорему для треугольной наклонной призмы.

Рассмотрим треугольную призму с объёмом , площадью основания и высотой .

Отметим на одном из оснований призмы точку и направим ось перпендикулярно основаниям.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью , а через – площадь получившегося сечения.

Теперь давайте покажем, что площадь . Четырёхугольник – параллелограмм, значит, . Аналогично, четырёхугольник – параллелограмм, значит, . Четырёхугольник – параллелограмм, значит, и отрезки . Тогда получим, что треугольники по трём сторонам, то есть мы доказали, что площади этих треугольников равны .

Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел .

Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной призмы высоты и площадью основания .

Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой . Рассмотрим, например, выпуклую пятиугольную призму.

Вычислим объём каждой полученной треугольной призмы по доказанной нами формуле. Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Тогда объём нашей пятиугольной призмы равен сумме объёмов треугольных призм.

Поскольку мы разбивали пятиугольную призму на треугольные с общей высотой, то в сумме объёмов высоту можно вынести за скобки. В скобках получим сумму площадей треугольников, на которые мы разбили пятиугольник. То есть в скобках мы получили площадь пятиугольника, который лежит в основании призмы. Тогда получим, что объём наклонной призмы равен , что и требовалось доказать.

Но объём наклонной призмы можно вычислить по другой формуле.

Объём наклонной призмы равен . Эту формулу мы доказывать не будем, просто рассмотрим несколько задач и посмотрим случаи, в которых проще вычислить объём призмы именно с помощью этой формулы.

Решим несколько задач.

Задача: найти объём наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами , , , а боковое ребро, равное , составляет с плоскостью основания угол в .

Решение: для вычисления объёма призмы, воспользуемся только что доказанной формулой.

Площадь основания вычислим по формуле Герона.

Получим, что площадь основания призмы равна

Теперь давайте проведем высоту призмы и рассмотрим . Так как – высота, значит, треугольник прямоугольный. По условию, боковое ребро равно , а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен . Это будет угол между боковым ребром призмы и его ортогональной проекцией на плоскость основания. В данном случае, это будет , тогда . По свойству катета, лежащего напротив угла в тридцать градусов, . Тогда по теореме Пифагора нетрудно найти чему равна высота призмы. Высота призмы равна .

Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма призмы и получим, что объём призмы равен .

Задача: найти объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм . Сторона , сторона , . Высота призмы равна .

Решение: воспользуемся только что доказанной формулой.

Для вычисления площади параллелограмма, лежащего в основании, воспользуемся формулой: .

Площадь основания будет равна .

Подставим полученное значение в формулу для вычисления объёма, получим, что объём призмы равен .

Задача: найти объём наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми рёбрами равны , и , а площадь боковой поверхности равна .

Решение: расстояния между боковыми рёбрами – длина перпендикуляров. Таким образом, проведя все перпендикуляры мы получим треугольник, который будет перпендикулярным сечением призмы.

Поэтому нетрудно увидеть, что для вычисления объёма мы воспользуемся тем, что объём наклонной призмы равен .

Но прежде вспомним, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна .

Периметр перпендикулярного сечения равен . Тогда длина бокового ребра равна .

Вычислим площадь перпендикулярного сечения по формуле Герона. Получим, что площадь сечения равна

Подставим полученные значения в формулу для вычисления объёма и получим, что объём призмы равен .

Сегодня на уроке мы вывели формулу для вычисления объёма наклонной призмы.

Показали ещё одну формулу для вычисления объёма наклонной призмы. Решили несколько задач.

Читайте также: