Нормальное уравнение плоскости кратко
Обновлено: 05.07.2024
Уравнение Ax+By+Cz+D=0 плоскости, заданной относительно ПДСК, называется нормальным, если вектор n=
Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости – описание и пример
Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .
Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.
Теперь найдем уравнение заданной плоскости.
В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.
Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство
n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p
Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:
n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z
При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 .
cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.
Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .
Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.
Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.
Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0 .
Отсюда cos α = - 1 4 , cos β = - 3 4 , cos γ = 6 4 .
Из выражения находим, что - 1 4 , - 3 4 , 6 4 - координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .
Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.
Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.
Рассмотрим на примере.
Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:
1 7 x - 4 7 y + 4 2 7 - 3 = 0 1 3 x + 7 6 y - 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z - 11 = 0
Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , - 4 7 , 4 2 7 единице.
Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + - 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1
Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.
Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = - 2 5 .
Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:
n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1
Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.
Ответ: 1 7 x - 4 7 y + 4 2 7 z - 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .
Когда D = 0 , знак может быть любым.
Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .
Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .
Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .
Привести уравнение 2 x - 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.
Из условия имеем, что A = 2 , B = - 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.
- 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 1 2 2 + ( - 3 ) 2 + 1 2 = - 1 14
Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:
- 1 14 · 2 x - 3 y + z + 5 = - 1 14 · 0 ⇔ ⇔ - 2 14 x + 3 14 y - 1 14 z - 5 14 = 0
Ответ: - 2 14 x + 3 14 y - 1 14 z - 5 14 = 0 .
Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x - 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .
1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( - 4 ) 2 = 1 5
При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x - 4 5 z = 0 .
Ответ: 3 5 x - 4 5 z = 0 .
Нахождение расстояния от точки до плоскости
Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.
При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 - p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.
Имеется уравнение плоскости вида - 1 3 x + 2 3 y - 2 3 z - 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , - 3 , 0 ) до плоскости.
Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:
- 1 3 · 1 + 2 3 · ( - 3 ) - 2 3 · 0 - 1 = 0
Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = - 3 1 3 = 3 1 3 .
Ответ: 3 1 3 .
Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 - p .
Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , - 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y - 2 + z 4 = 1 .
По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.
Получаем: x 5 + y - 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x - 1 2 y + 1 4 z - 1 = 0
Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + - 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141
Обе части уравнения 1 5 x - 1 2 y + 1 4 z - 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:
4 141 x - 10 141 y + 5 141 z - 20 141 = 0
Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = - 10 141 , cos γ = 5 141 , p = - 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = - 1 , z 0 = 2
Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:
p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 - p = 4 141 · 5 - 10 141 · - 1 + 5 141 · 2 - 20 141 = 20 141
где ‑ углы между перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, и положительным направлением осей координат, а ‑ расстояние от плоскости до начала координат.
Нормальное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при являются координатами единичного вектора , перпендикулярного плоскости, а свободный член – отрицательный.
Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду умножением его на нормирующий множитель , при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена (если , знак можно выбрать любой).
Отклонением точки от плоскости называется ее расстояние от плоскости, взятое со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости (см. рис. 8.2), и со знаком минус – если и лежат по одну сторону от плоскости.
Отклонение точки от плоскости определяется по формуле .
Следовательно, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо привести уравнение плоскости к нормальному виду и в его левую часть вместо подставить координаты точки . Получим отклонение . А расстояние .
Нормальным уравнением плоскости называется уравнение
где ‑ углы между перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, и положительным направлением осей координат, а ‑ расстояние от плоскости до начала координат.
Нормальное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при являются координатами единичного вектора , перпендикулярного плоскости, а свободный член – отрицательный.
Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду умножением его на нормирующий множитель , при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена (если , знак можно выбрать любой).
Отклонением точки от плоскости называется ее расстояние от плоскости, взятое со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости (см. рис. 8.2), и со знаком минус – если и лежат по одну сторону от плоскости.
Отклонение точки от плоскости определяется по формуле .
Следовательно, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо привести уравнение плоскости к нормальному виду и в его левую часть вместо подставить координаты точки . Получим отклонение . А расстояние .
При построении плоскости в пространстве можно использовать аналогии для прямой линии на плоскости. Также можно утверждать, что между множеством всех плоскостей пространства и множеством линейных уравнений относительно трёх переменных x, y, z однозначно существует соответствие. Об этом и поговорим.
Уравнение плоскости – общее, через точку, в отрезках. Угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до плоскости обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим уравнение плоскости через точку на примере, так как будет более понятно, чем определения и термины.
Пусть в пространстве задана точка и ненулевой вектор . Через точку можно провести единственную плоскость перпендикулярно вектору . Чтобы получить уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку и рассмотрим вектор (см. рис. 1)
Точка тогда и только тогда, когда
– уравнение плоскости, которая проходит через данную точку с нормальным вектором.
Открыв скобки в (1) у нас получается:
– это общее уравнение плоскости, где обозначено: .
Значит, плоскости отвечает линейное уравнение (2). Наоборот, если задано линейное уравнение вида (2), тогда нетрудно найти точку , координаты которой удовлетворяют это уравнение, и записать вектор Вектор и точка определяют плоскость .
Исследование общего уравнения плоскостей
Рассматриваются частные случаи размещения плоскостей:
когда некоторые из чисел равняются нулю.
1. Если , тогда уравнение выглядит так: , плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору .
2. Если , тогда у нас получается уравнение , вектор принадлежит плоскости . Так как плоскость , или же (см. рис. 2). Уравнения плоскости – это уравнение следа в плоскости .
3. Если же , тогда плоскость проходит через ось .
4. Если же , тогда уравнение плоскости выглядит так: , принадлежит плоскости . Плоскость (см. рис. 3)
5. Если же , тогда плоскость проходит через всю ось .
6. Если , тогда получается уравнение , , или .
7. Если же , тогда плоскость проходит через ось .
Вывод:
На основании 2, 4 и 6 получается, что плоскость параллельна той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует.
8. , плоскость , либо же , где . Вектор = направленный вдоль оси , поэтому плоскость перпендикулярна к оси в точке
В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .
9. Если , тогда у нас есть плоскость , либо , где . Вектор направляющий вдоль оси . Плоскость перпендикулярна оси в точке .
В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .
10. На конец, если , тогда , где
При получается – уравнение координатной плоскости .
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Уравнение плоскости в отрезках
Прежде чем записывать уравнение плоскости в отрезках, вспомним общее уравнение:
если ни одно из чисел не равняется нулю, тогда плоскость можно построить за тремя точками пересечения её с координатными осями:
, , , где , , – отрезки, которые отсекают плоскость на координатных осях (см. рис. 4)
Уравнение плоскости в отрезках запишется:
Прямые , , называются следами данной плоскости на координатных плоскостях , , – соответственно. Их уравнения можно получить из общего, если в последнем приравнять к нулю соответствующую переменную.
Аналогично и до остальных следов.
Уравнение плоскости проходящей через три точки
Пусть заданы три точки , которые не лежат на одной линии. Произвольная точка отлична от , будет находиться в плоскости точек тогда, и только тогда, когда векторы = ,
компланарные, то есть их смешанное произведение x
В координатной форме запишется:
– уравнение плоскости проходящее через три точки.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Если для однозначности угол между двумя плоскостями называть один из меньших двугранных углов между ними, а соответственно к этому самый маленький из углов назовём углом между двумя векторами, тогда между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами.
где , – нормальные векторы плоскости
– условие перпендикулярности двух плоскостей.
Когда же , тогда получим:
– условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости рассмотрим при помощи примера, формул и рисунка.
Расстояние от точки до плоскости , выражается формулой:
Действительно, на рисунке 6:
видим, что для произвольной точки
потому что , а , тогда формула (5) доказана.
Примеры задач по уравнению плоскости
Чтобы ещё лучше понять вышеописанную тему, необходимо решить много задач. Поэтому предлагаем вам ознакомиться с примерами и их решениями.
Составление уравнения плоскости
Задача
Даны точки и . Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна к вектору .
Решение
По условию вектор – это нормальный вектор плоскости. Найдём его координаты.
Подставляя в уравнение (1) , а также
У нас получается:
Составление уравнения в отрезках
Задача
Построить плоскость и записать её уравнение в отрезках, а также уравнение следов на соответствующих координатных плоскостях.
Решение:
Положим , тогда . Аналогично при находим , при , , тогда уравнение в отрезках запишется:
Уравнение плоскости через три точки
Задача
Составить уравнение и построить плоскость, которая проходит через точки
Решение
Плоскость параллельна (рис. 8)
Вычисление угла между плоскостями
Задача
Найти угол между плоскостями и
Решение
Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:
Вы заметили, что в этом примере мы воспользовались исключительно одной формулой? В нашем случае – (5) формула. Никаких других формул мы не использовали и смогли найти угол между двумя плоскостями.
Уравнение плоскости – общее, через точку, в отрезках. Угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до плоскости обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Читайте также: