Непрерывное наращение и дисконтирование кратко

Обновлено: 04.07.2024

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e j • n = P • e δ • n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100'000 • (1 + 0,08) 3 = 125'971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365) 365 • 3 = 127'121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 • e 0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.

12. Расчет срока кредита:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

Решение:

Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

14. Расчет процентной ставки:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

15. Расчет процентной ставки:

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

В практических финансово-кредитных операциях непрерыв­ное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе ин­вестиционных решений, в финансовом проектировании. С по­мощью непрерывных процентов удается учесть сложные зако­номерности процесса наращения, например использовать изме­няющиеся по определенному закону процентные ставки.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила ро­ста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть по­стоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста.Как было показано выше, при дис­кретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

w 1

т

где е — основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискрет­ной, обозначим силу роста как 6. Теперь можно записать

S = Ре Ьп . (3.26)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная :умма равна конечной величине, зависящей от первоначальной :уммы, срока наращения и силы роста. Последняя представля­ет собой номинальную ставку сложных процентов при т -**>

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки нара­щения находятся в функциональной зависимости. Из равенст­ва множителей наращения

(1 + 0 я = е Ьп следует:

ПРИМЕР 3.16.Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Нара­щенная сумма составит

S = 2 000 000 х е 0 ' 1 * 5 = 3297744,25 руб.

Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно нара­щению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим

/zzeo 1 - 1 =0,10517.

В итоге получим

S = 2 000 000(1 + 0.10517) 5 = 3297744,25 руб.

Дисконтный можитель на основе силы роста (математиче­ское дисконтирование) находится элементарно, для этого ре­шим (3.26) относительно Р:

Р = Se-* n . (3.29)

Дисконтный множитель, как видим, равен е"*".

ПРИМЕР 3.17.Определим современную стоимость платежа из примера 3.11 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. руб.:

Р = 5000е-°' 12х5 = 2744,

Р = 5000(1 -0,12) 5 = 2639.

Переменная сила роста.Пусть сила роста изменяется во вре­мени, следуя некоторому закону, представленному в виде не-

прерывной функции времени: 6, = /(*). Тогда наращенная сум­ма и современная величина определяются как

S - Ре 9 ; /> « 5е • .

Функция времени может быть самого различного вида. Рас­смотрим только два ее варианта — линейную и экспоненциаль­ную. Начнем с линейной функции:

6,-6 + at,

где 6 — начальное значение силы роста, а — прирост силы ро­ста в единицу времени.

Читайте также: