Натуральные логарифмы это кратко
Обновлено: 18.05.2024
Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты y = e x > , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.
Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, (например, нахождение сложных процентов).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718 281 828 . Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается. [1]
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389. ) равен 2, потому что e 2 =7,389. . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e 1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e 0 = 1.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
Содержание
История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году [2] , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. [3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом, [4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
Конвенции об обозначениях
Русская (и советская в целом) система
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x 5 = [ln([ln(4x 5 )] 3 )] 2 .
Англо-американская система
Техника
В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.
Происхождение термина натуральный логарифм
Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление. [10]
Определение
Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:
Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.
. Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.
Свойства
Производная, ряд Тейлора
Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.
Производная натурального логарифма равна
На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:
^\infty \frac> x^n = x - \frac + \frac - \dots \quad\quad \left|x\right| \leq 1\quad" width="" height="" />
\quad x = -1" width="" height="" />
Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 ^\infty \frac> (x-1) ^ n" width="" height="" />
+ \frac - \frac + \dots" width="" height="" />
\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad \quad x = 0." width="" height="" />
[11]
С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:
Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.
Также заметим, что " width="" height="" />
— это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение " width="" height="" />
.
Натуральный логарифм в интегрировании
Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f '(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:
Ниже дан пример для g(x) = tan(x):
\,dx" width="" height="" />
\cos (x) \over > \,dx." width="" height="" />
Пусть f(x) = cos(x) и f'(x)= - sin(x):
+ C" width="" height="" />
+ C" width="" height="" />
где C — произвольная константа.
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула: [12] [13]
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
-\frac+\frac-\frac+\frac-\dots= \cfrac>>>> " width="" height="" />
\right) = \cfrac
Комплексные логарифмы
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z+2nπi для всех комплексных z и целых n.
Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
Натуральный логарифм – это функция y = ln x , обратная к экспоненте, x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x )′ = 1/ x .
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.
График натурального логарифма ln x
График функции y = ln x .
График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Область определения | 0 |
Область значений | – ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает |
Нули, y = 0 | x = 1 |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет |
+ ∞ | |
– ∞ |
Значения ln x
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Натуральный логарифм числа х - это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
За основание логарифмов нередко берут цифру е = 2,718281828. Логарифмы по данному основанию именуют натуральным. При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком ln, а не log; при этом число 2,718281828, определяющие основание, не указывают.
Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х - это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
Так, ln(7,389. )= 2, так как e 2 =7,389. . Натуральный логарифм самого числа e= 1, потому что e 1 =e, а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
вычислено, что е = 2,7182818284. .
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
Число е является иррациональным. Французский математик Эрмит (1822 - 1901) обосновал, что это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа именуются трансцендентными.
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
График натурального логарифма (функции y = ln x) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.
Если анализировать натуральный логарифм, как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x →0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( –∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
log2 2 = 1 | log2 4 = 2 | log2 8 = 3 | log2 16 = 4 | log2 32 = 5 | log2 64 = 6 |
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809.
log3 8 = 1,89278926.
log5 100 = 2,86135311.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
Как считать логарифмы
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Составим и решим уравнение:
log5 25 = b ⇒ (5 1 ) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Получили ответ: 2.
Задача. Вычислите логарифм:
- Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4 ) −1 = 3 −4 ;
- Составим и решим уравнение:
- Получили ответ: −4.
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log4 64 = b ⇒ (2 2 ) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2 b = 6 ⇒ b = 3; - Получили ответ: 3.
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log16 1 = b ⇒ (2 4 ) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4 b = 0 ⇒ b = 0; - Получили ответ: 0.
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 2 ;
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459.
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Читайте также: