Н критерий крускала уоллиса кратко

Обновлено: 30.06.2024

Критерий Нприменяется для оценки различий по степени выраженности анализируемого признака одновременно между тремя, четырьмя и более выборками. Он позволяет выявить степень изменения признака в выборках, не указывая, однако, на направление этих изменений.

Критерий основан на том принципе, что чем меньше взаимопересечение выборок, тем выше уровень значимости Н_эмп. Следует подчеркнуть, что в выборках может быть разное количество испытуемых, хотя в приведенных ниже задачах приводится равное число испытуемых в выборках.

Работа с данными начинается с того, что все выборки условно объединяются по порядку встречающихся величин в одну выборку и значениям этой объединенной выборки проставляются ранги. Затем полученные ранги проставляются исходным выборочным данным и по каждой выборке отдельно подсчитывается сумма рангов. Критерий построен на следующей идее – если различия между выборками незначимы, то и суммы рангов не будут существенно отличаться одна от другой и наоборот.

Величина Н_эмп _{подсчитывается} по формуле:

Н_эмп

Где N – общее число членов в обобщенной выборке;

n_i – число членов в каждой отдельной выборке;

– квадраты сумм рангов по каждой выборке.

При определении критических значений критерия применительно к четырем и более выборкам используют таблицу для критерия хи-квадрат, подсчитав предварительно число степеней свободы v для с = 4. Тогда v = с – 1 = 4 – 1=3..

Подчеркнем, что если использовать критерии, позволяющие сравнивать только два ряда значений, то полученный выше результат потребовал бы шести сравнений – первая выборка со второй, третьей и т.д.

Для использование критерия Н необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение должно быть проведено в шкале порядка, интервалов или отношений.

2. Выборки должны быть незагисимыми.

3. Допускается разное число испытуемых в сопоставляемых выборках.

4. При сопоставлении трех выборок допускается, чтобы в одной из них было n = 3, а в двух других n = 2. Однако в таком случае различия могут быть зафиксированы лишь на 5 % уровне значимости.

5. Таблица 9 Приложения предусмотрена только для трех выборок и n1n2, nЗ>, £ 5, то есть максимальное число испытуемых во всех трех выборках может быть меньше и равно 5.

6. При большем числе выборок и разном количестве испытуемых в каждой выборке следует пользоваться таблицей для критерия хи-квадрат. В этом случае число степеней свободы при этом определяется по формуле: v = с – 1, где с – количество сопоставляемых выборок.

Величина Н_эмп _{подсчитывается} по формуле:

Н_эмп

Где N – общее число членов в обобщенной выборке;

n_i – число членов в каждой отдельной выборке;

– квадраты сумм рангов по каждой выборке.

Для использование критерия Н необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение должно быть проведено в шкале порядка, интервалов или отношений.

2. Выборки должны быть незагисимыми.

3. Допускается разное число испытуемых в сопоставляемых выборках.

Порой, чтобы провести качественное исследование, получить достоверные результаты, необходимо пользоваться не только общими, всем известными приемами, но и осваивать новые инструменты. Для сравнения трех и более элементов, различных по характеру или содержанию, можно воспользоваться непараметрическим критерием Краскела-Уоллеса (критерий Н), который успешно применяют в статистических и психологических научных работах.

Когда целесообразно применение методики?

Любые параметрические и непараметрические критерии, используемые в психологических исследованиях, имеют ряд ограничений и условий. Методика Краскела-Уоллеса не является исключением из данного правила.

По сути, этот инструмент является достойным и надежным аналогом однофакторной модели дисперсионного анализа. Его использование целесообразно, если исследователь намерен изучать несколько выборок, групп или элементов (3,4 и более). Эксперты рекомендуют прибегать к нему в том случае, если результаты проведенного эксперимента возможно представить в виде последовательной шкалы.

Применение критерия Н

Критерий Н позволяет оценить различия между объектами исследования, его элементами по конкретному признаку. Важно отметить, что применение этого непараметрического исследовательского инструмента возможно к несвязным выборкам и группам.

В основе методики Краскела-Уоллеса лежит ранжирование.

Условия применения критерия Краскела-Уоллеса

Смысл критерий Н заключается в следующем: исследователь может перейти от собранных эмпирических данных к их значениям после ранжирования.

Методика применима в следующих случаях:

Нужна помощь преподавателя?

Мы всегда рады Вам помочь!

Этапы применения методики Краскела-Уоллеса

Как используют критерий Н?

Этап №1. Замена эмпирических данных на ранги.

Этап №2. Выдвижение основной и альтернативной гипотез.

Здесь исследователь должен принять определенную позицию и выдвинуть идею, а затем сразу же предложить достойную альтернативу (на случай, если основная гипотеза не найдет своего подтверждения и буде опровергнута). Важным условием при формулировании гипотез является то, что основная гипотеза и ранжирование по ней должно отличаться от ранжирования альтернативной идеи (допускаются минимальные совпадения).

Этап №3. Определяем средние значения рангов по столбцу.

Формула для определения среднего значения рангов по столбцу

Формула для расчета случайной величины

Где — характеризует общее количество числе в таблице.

Этап №4. Критическая область и результат исследования.

Далее исследователю останется лишь сравнить полученные данные с табличными (таблица критических областей). Для наглядности можно построить графическую зависимость и проследить, каким образом пересекаются выборки, есть ли сходства и различия.

Если количество испытуемых небольшое, то можно воспользоваться готовыми таблицами, но при проведении исследования над тремя и более выборками – расчеты и анализ неизбежны.

Пример применения критерия Краскела-Уоллиса

Автор исследования проводил эксперимент над молодыми людьми в возрасте 20-22 лет, которые обучались в техническом ВУЗе. Эксперимент посвящался оценке интеллектуальной настойчивости. Он предполагал оценку навыков студентов по работе с анаграммами. Всего было определено 4 анаграммы разного уровня сложности. Работа с каждым испытуемым проходила в индивидуальном порядке. Время на проведение эксперимента не ограничивалось.

Исследователь заметил, что над некоторыми неразрешимыми анаграммами студенты работали дольше, чем над остальными. Поэтому было принято решение оценить, какая анаграмма для каждого из них была неразрешимой.

Автор намерен проверить: длительность попыток решить каждую анаграмму примерно одинакова. В связи с этим он выдвинул следующие гипотезы:

На текущий момент он располагает следующими данными:

Применение методики

Рассмотрим порядок дальнейших действия и расчетов.

Как провести дальнейший расчет? Как подсчитать ранговые суммы?

Далее необходимо сделать следующее:

Методика Краскела-Уоллиса Как применяется методика на конкретном примере

Критерий Краскела-Уоллиса предназначен для проверки равенства средних нескольких выборок. Данный критерий является многовыборочным обобщением критерия Уилкоксона-Манна-Уитни. Критерий Краскела-Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Известен так же под названиями: критерий Крускала-Уоллиса, H-критерий Краскела-Уоллиса, Kruskal-Wallis one-way analysis of variance, Kruskal-Wallis test.

Содержание

Примеры задач

Пример 1. Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом "Каковы шансы на победу сборной России?" до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т.д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибальной шкале (1 — никаких перспектив, 10 — отвезти в Россию кубок — дело времени). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Пример 2. Выборка состоит из пациентов, у которых был диагностирован неизлечимый рак какого-либо органа. Всем им в качестве поддерживающей терапии был назначен к приёму витамин C (считалось, что он может способствовать выздоровлению раковых больных). Приведены данные об остаточной продолжительности жизни пациентов в днях. То есть выборка состоит из пар вида (пораженный орган, число дней), разделяясь на несколько числовых подвыборок, каждая из которых соответствует своему пораженному органу.

Требуется проверить, отличается ли остаточная продолжительность жизни в зависимости от того, какой орган поражён раковой опухолью.

Описание критерия

Заданы k выборок: . Объединённая выборка: .

Дополнительные предположения:

все k выборок простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений .

Проверяется нулевая гипотеза при альтернативе .

Упорядочим все элементов выборок по возрастанию и обозначим ранг j-го элемента i-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела-Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения сравниваемых выборок имеет вид

При наличии связанных рангов (т.е. когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику где — размер j-й группы одинаковых элементов; q — количество групп одинаковых элементов.

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости , если , где — критическое значение, при и вычисляемое по таблицам. При больших значениях применимы различные аппроксимации.

При справедлива аппроксимация распределения статистики -распределением с k-1 степенями свободы, т.е. нулевая гипотеза отклоняется, если .

Аппроксимация Краскела-Уоллиса

будет иметь при отсутствии сдвига распределение Фишера с и степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью , если .

Аппроксимация Имана-Давенпорта

В соответстви с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью , если , где

Ранговый критерий Крускала-Уоллиса для оценки разностей между с медианами (с > 2) представляет собой обобщение рангового критерия Уилкоксона для двух независимых выборок (см. также Однофакторный дисперсионный анализ). Таким образом, критерий Крускала-Уоллиса является непараметрической альтернативой F-критерию в однофакторном дисперсионном анализе, аналогично тому, как критерий Уилкоксона представляет собой непараметрическую альтернативу t-критерию, использующему суммарную дисперсию при сравнении двух независимых выборок. Если выполняются условия, необходимые для применения F-критерия в однофакторном дисперсионном анализе, критерий Крускала-Уоллиса обладает той же мощностью. [1]

Ранговый критерий Крускала-Уоллиса применяется для проверки гипотезы, что с независимых выборок извлечены из генеральных совокупностей, имеющих одинаковые медианы. Иначе говоря, нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом:

Для этого необходимо знать ранги, вычисленные по всем выборкам, а с генеральных совокупностей, из которых они извлечены, должны иметь одинаковые изменчивость и вид. Для того чтобы применить критерий Крускала-Уоллиса, сначала необходимо заменить наблюдения в с выборках их объединенными рангами. При этом первый ранг соответствует наименьшему наблюдению, а ранг n — наибольшему (n = n₁ + n₂ + … + n_c). Если некоторые значения повторяются, им присваивается среднее значение их рангов.

Критерий Крускала-Уоллиса является альтернативой F-критерию в однофакторном дисперсионном анализе. H-статистика, применяемая в критерии Крускала-Уоллиса, аналогична величине SSA— межгрупповой вариации (подробнее см. Однофакторный дисперсионный анализ), по которой вычисляется F-статистика. Вместо сравнения средних значений _j всех с групп с общим средним значением , в критерии Крускала-Уоллиса средние ранги каждой из с групп сравниваются с общим рангом, вычисленным на основе всех n наблюдений. Если существует статистически значимый эффект эксперимента, средние ранги каждой группы будут значительно отличаться друг от друга и от общего ранга. При возведении этих разностей в квадрат Н-статистика увеличивается. С другой стороны, если эффект эксперимента не наблюдается, статистика Н теоретически должна быть равной нулю. Однако на практике вследствие случайных изменений статистика Н будет ненулевой, но достаточно малой.

Критерий Крускала-Уоллиса для разностей между с медианами:

где n — общее количество наблюдений в объединенных выборках, n_j — количество наблюдений в _j-й выборке (j = 1, 2, … , с), T_j — сумма рангов j-й выборки.

При достаточно большом объеме выборок (больше пяти) H-статистику можно аппроксимировать χ 2 -распределением с с – 1 степенями свободы. Таком образом, при заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: гипотеза Н₀ отклоняется, если H > χ_U 2 (рис. 1), в противном случае гипотеза Н₀ не отклоняется. Критические значения χ 2 -распределения вычисляются с помощью функции Excel =ХИ2.ОБР(вероятность;степени_свободы).

Рис. 1. Критическая область критерия Крускала-Уоллиса

Продемонстрируем критерий Крускала-Уоллиса на примере оценки прочности парашютов в зависимости от поставщика синтетических волокон. Если прочность парашютов не является нормально распределенной случайной величиной, для оценки различий между медианами четырех генеральных совокупностей можно применить непараметрический критерий Крускала-Уоллиса.

Нулевая гипотеза заключается в том, что прочность всех парашютов одинакова: Н₀: М₁ = М₂ = М₃ =M₄. Альтернативная гипотеза утверждает, что по крайней мере один поставщик отличается от других: H₁: не все M_j (j = 1, 2, 3, 4) являются одинаковыми. Результаты эксперимента, ранги и вычисления приведены на рис. 2.

Рис. 2. Прочность и ранги парашютов, сшитых из синтетической ткани, приобретенной у четырех разных поставщиков

В процессе преобразования 20 показателей прочности в объединенные ранги, выясняется, что третий парашют, произведенный из синтетического волокна первого поставщика, имеет наименьшую прочность, равную 17,2. Он получает ранг 1. Четвертый парашют, произведенный из синтетического волокна первого поставщика, и второй парашют, сотканный из волокон четвертого поставщика, имеют одинаковую прочность, равную 19,9. Поскольку им соответствуют ранги 5 и 6, обоим парашютам присваивается ранг 5,5, равный среднему значению рангов 5 и 6. И, наконец, ранг 20 присваивается первому парашюту, сотканному из волокон второго поставщика, поскольку величина 26,3 является наибольшей. После присвоения рангов вычисляется их сумма в каждой группе: Т₁ = 27,0; Т₂ = 76,5; Т₃ = 62,0; Т₄ = 44,5. Для проверки рангов просуммируем эти величины:

Используя формулу (1), вычислим Н-статистику:

Статистика Н имеет приближенное χ 2 -распределение с с – 1 степенями свободы. При уровне значимости α, равном 0,05, определяем величину χ_U 2 — верхнего критического значения χ 2 -распределения с с – 1 = 3 степенями свободы с использованием функции =ХИ2.ОБР(1 – α;с –1) = 7,815 (рис. 2). Поскольку вычисленная Н-статистика равна 7,889 и превышает критическое значение 7,815, нулевая гипотеза отклоняется. Следовательно, не все фирмы поставляют синтетическое волокно, прочность которого имеет одинаковую медиану. Аналогичный вывод можно сделать, вычислив р-значение по формуле р(Н=7,889) =1-ХИ2.РАСП(7,889;3;ИСТИНА) =0,048 (рис. 2). р-значение равно 0,048, т.е. меньше уровня значимости 0,05. Поскольку нулевая гипотеза отклоняется, приходим к выводу, что фирмы поставляют волокна разной прочности. На следующем этапе необходимо попарно сравнить всех поставщиков и определить, какие из них отличаются друг от друга. Для этого можно применить апостериорную процедуру множественного сравнения, предложенную Дж. Данном.

Для применения критерия Крускала-Уоллиса должны выполняться следующие условия.

Все с выборок случайно и независимо друг от друга извлекаются из соответствующих генеральных совокупностей.
Анализируемая переменная является непрерывной.
Наблюдения допускают ранжирование как внутри, так и между группами.
Все с генеральных совокупностей имеют одинаковую изменчивость.
Все с генеральных совокупностей имеют одинаковый вид.

Процедура Крускала-Уоллиса имеет меньше ограничений, чем F-критерий. Процедура Крускала-Уоллиса предусматривает ранжирование только по всем выборкам в совокупности. Общее распределение должно быть непрерывным, но его вид значения не имеет. Если эти условия не выполняются, критерий Крускала-Уоллиса по-прежнему можно применять для проверки гипотезы о различиях между с генеральными совокупностями. Альтернативная гипотеза утверждает, что среди с генеральных совокупностей существует хотя бы одна, которая отличается от остальных какой-нибудь характеристикой — либо средним значением, либо видом. С другой стороны, для применения F-критерия переменная должна быть числовой, а с выборок должны извлекаться из нормально распределенных генеральных совокупностей, имеющих одинаковую дисперсию.

В полностью рандомизированных экспериментах, для которых выполняются условия F-критерия, следует применять именно его, а не процедуру Крускала-Уоллиса, поскольку мощность F-критерия в этой ситуации выше. С другой стороны, если эти условия не выполняются, более мощным становится критерий Крускала-Уоллиса, и следует предпочесть именно его.

[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 748–751

Читайте также: