Модель леонтьева многоотраслевой экономики кратко
Обновлено: 16.05.2024
Макроэкономика функционирования
многоотраслевого хозяйства
требует баланса между отдельными отраслями.
Каждая отрасль, с одной стороны, является
производителем, а с другой — потребителем
продукции, выпускаемой другими отраслями.
Возникает довольно
непростая задача расчета связи между
отраслями через выпуск и потребление
продукции разного рода.
Впервые эта проблема была сформулирована
в 1936 г. в виде математической модели в
трудах известного американского
экономиста В. Леонтьева, который
попытался проанализировать причины
экономической депрессии в США 1929—
1932 гг. Эта модель основана на алгебре
матриц и использует аппарат матричного
анализа.
Балансовые соотношения
Для простоты будем полагать, что
производственная сфера хозяйства
представляет собой п отраслей, каждая из
которых производит свой однородный
продукт. Для обеспечения своего
производства каждая отрасль нуждается в
продукции других отраслей
(производственное потребление). Обычно
процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой
единицей служит год.
Введем в рассмотрение векторы-столбцы
объемов произведенной продукции (вектор
валового выпуска), объемов продукции
конечного потребления (вектор конечного
потребления) и матрицу коэффициентов
прямых затрат:
Уравнение межотраслевого баланса можно
использовать в двух целях.
В первом, наиболее простом случае, когда
известен вектор валового выпуска х,
требуется рассчитать вектор конечного
потребления у.
Во втором случае уравнение межотраслевого
баланса используется для целей планирования
со следующей формулировкой задачи: для
периода времени Г (например, год) известен
вектор конечного потребления у и требуется
определить вектор х валового выпуска. Здесь
необходимо решать систему линейных
уравнений (2.8) с известной матрицей А и
заданным вектором у. В дальнейшем мы
будем иметь дело именно с такой задачей.
Между тем система (2.8) имеет ряд
особенностей, вытекающих из прикладного
характера данной задачи; прежде всего —
все элементы матрицы А и векторов х и у
должны быть неотрицательными. В
таком случае и модель Леонтьева
называется продуктивной.
Для уравнения типа (2.8)
разработана соответствующая
математическая теория исследования
решения и его особенностей. Укажем
некоторые основные ее моменты.
Перепишем систему (2.8) с использованием
единичной матрицы Е в виде
• Существует несколько критериев
продуктивности матрицы А. Приведем два из
них.
• 1. Матрица А продуктивна тогда и только
тогда, когда матрица (Е — Л)"1 существует
и ее элементы неотрицательны.
• 2. Матрица А с неотрицательными
элементами продуктивна, если сумма
элементов по любому ее столбцу (строке) не
превосходит единицы:
• Пример 1. В табл. 2.4 приведены данные
по балансу за некоторый период времени
между пятью отраслями промышленности.
Найти векторы конечного потребления и
валового выпуска, а также матрицу
коэффициентов прямых затрат и
определить, является ли она продуктивной
в соответствии с приведенными выше
критериями.
Все элементы матрицы А
положительны, однако нетрудно видеть,
что их суммы в третьем и четвертом
столбцах больше единицы. Следовательно,
условия второго критерия продуктивности
не соблюдены,и матрица А не является
продуктивной. Экономическая причина
этой непродуктивности заключается в том,
что внутреннее потребление отраслей 3 и 4
слишком велико в соотношении с их
валовыми выпусками.
• Пример 2. Таблица 2.5 содержит данные
баланса трех отраслей промышленности за
некоторый период времени. Требуется
найти объем валового выпуска каждого
вида продукции, если конечное
потребление по отраслям увеличить,
соответственно, до 60, 70 и 30 условных
денежных единиц.
Решение. Выпишем векторы валового
выпуска и конечного потребления и
матрицу коэффициентов прямых затрат.
Матрица А удовлетворяет обоим
критериям продуктивности. В случае
заданного увеличения конечного
потребления новый вектор конечного
продукта будет иметь вид
Требуется найти новый вектор валового
выпуска х., удовлетворяющий
соотношениям баланса в предположении,
что матрица А не изменяется. В таком
случае компоненты х,, х2, Х3 неизвестного
вектора х находятся из системы уравнений,
которая в матричной форме имеет
следующий вид:
• Решение системы линейных уравнений при
заданном векторе правой части (например,
методом Гаусса) дает новый вектор х, как
решение уравнений межотраслевого
баланса:
• Таким образом, для того чтобы обеспечить
заданное увеличение компонент вектора
конечного продукта, необходимо увеличить
соответствующие валовые выпуски: добычу
и переработку углеводородов на 52,2 %,
уровень энергетики — на 35,8 % и выпуск
машиностроения —на 85 % — по
сравнению с исходными величинами.
Упражнения
1. По данным табл. 1 составить новую таблицу
производственно-экономических показателей по
следующим условиям:
— количество изделий всех видов увеличивается на 20 %;
— норма времени изготовления по всем изделиям
уменьшается на 20 %;
— цена на все виды изделий уменьшается на 10 %.
Найти ежесуточные показатели, указанные в задаче 1 из 1,
а также
их процентные изменения.
2. По данным табл. 2 составить новую таблицу
по следующим
условиям:
— дневная производительность всех
предприятий увеличивается на
100%,
— число рабочих дней в году для 1-го
предприятия увеличивается на
50 %, а для остальных — на 40 %,
— цены на виды сырья уменьшаются,
соответственно, на 10, 20 и 30 %.
Определить суммы финансирования
предприятий и их соответствующие процентные изменения.
Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами - так называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В. Леонтьева. В данном пособии рассмотрим наиболее простой вариант такой модели, сохраняющий, однако, ее основное математическое содержание.
- общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени - так называемый валовой выпуск отрасли i;
- объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
- объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.
Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.
Указанные величины можно свести в таблицу 2.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i=1,2,…,n должно выполняться соотношение
означающее, что валовой выпуск расходуется на производственное потребление, равное и непроизводственное равное . Будем называть равенства вида (2.3) соотношениями баланса.
Таблица 2.1. Таблица величин объемов n различных отраслей
| Производственное потребление | Конечное потребление | Валовой выпуск |
| … | ||
| … | ||
| …………… | … | … |
| … |
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.
В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы XX века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.
В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , где - постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.
Итак, согласно гипотезе линейности имеем
(i,j=1,2,…, n). (2.4)
Коэффициенты называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).
Подставляя соотношения (2.4) в уравнения баланса (2.3), получим систему n линейных уравнений относительно переменных , ,…, :
или, в матричной записи,
Вектор называется вектором валового выпуска, вектор - вектором конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат. Соотношение (2.6) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [ ] задается вектор конечного потребления, требуется же определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (2.6) с неизвестным вектором при данной матрице А и заданном векторе . При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (2.6).
1. Все компоненты матрицы А и вектора неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора и записывать это так:
2. Все компоненты вектора также должны быть неотрицательными:
Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (2.5) видно, что совпадает со значением при =1 (1 руб.).
Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами - так называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста В. Леонтьева. В данном пособии рассмотрим наиболее простой вариант такой модели, сохраняющий, однако, ее основное математическое содержание.
- общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени - так называемый валовой выпуск отрасли i;
- объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;
- объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.
Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.
Указанные величины можно свести в таблицу 2.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i=1,2,…,n должно выполняться соотношение
означающее, что валовой выпуск расходуется на производственное потребление, равное и непроизводственное равное . Будем называть равенства вида (2.3) соотношениями баланса.
Таблица 2.1. Таблица величин объемов n различных отраслей
| Производственное потребление | Конечное потребление | Валовой выпуск |
| … | ||
| … | ||
| …………… | … | … |
| … |
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.
В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы XX века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.
В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , где - постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.
Итак, согласно гипотезе линейности имеем
(i,j=1,2,…, n). (2.4)
Коэффициенты называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).
Подставляя соотношения (2.4) в уравнения баланса (2.3), получим систему n линейных уравнений относительно переменных , ,…, :
или, в матричной записи,
Вектор называется вектором валового выпуска, вектор - вектором конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат. Соотношение (2.6) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [ ] задается вектор конечного потребления, требуется же определить вектор валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (2.6) с неизвестным вектором при данной матрице А и заданном векторе . При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (2.6).
1. Все компоненты матрицы А и вектора неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора и записывать это так:
2. Все компоненты вектора также должны быть неотрицательными:
Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (2.5) видно, что совпадает со значением при =1 (1 руб.).
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем собственной продукции, а с другой стороны - потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 г. , который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929 -1932 гг.
Балансовые соотношения Модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа. Пусть производственная сфера представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период.
Обозначения • xi - общий объём продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск); • xij - объём продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве её продукции в объёме xj; • yi - объём продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т. д.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объёмов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид xi = xi 1 + xi 2 +. . . + xin + yi, i = 1, 2, . . . , n. Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени отношения xij/xj меняются очень незначительно. Это явление имеет естественное объяснение: технология производства остаётся на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём xij потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли производстве своей продукции объёма xj есть технологическая константа.
Допущение о том, что отношения xij/xj являются константами, называют гипотезой линейности, а производство, удовлетворяющее этому допущению - линейным. Числа aij = xij/xj называют коэффициентами прямых затрат, а матрицу A, составленную из этих чисел - матрицей прямых затрат, или матрицей технологии производства. Согласно гипотезе линейности, xij = aijxj; i, j = 1, 2, . . . , n. Поэтому соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений:
x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn + y 1, x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn + y 2, . . . xn = an 1 x 1 + an 2 x 2 +. . . + annxn + yn. Введём в рассмотрение векторы-столбцы объёмов произведенной продукции (вектор валового выпуска X), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления Y) и матрицу коэффициентов прямых затрат A.
Тогда система уравнений баланса запишется в матричной форме: X = AX +Y. Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса, или уравнением Леонтьева. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.
С уравнением межотраслевого баланса связано две основных задачи. I. Известен вектор валового выпуска X, требуется рассчитать вектор конечного потребления Y. II. Задан вектор конечного потребления Y , требуется рассчитать вектор валового выпуска X. Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений с известной матрицей A и заданным вектором Y.
Отметим важную особенность системы, вытекающую из прикладного характера задачи: все элементы матрицы A и векторов X и Y должны быть неотрицательными. Такие матрицы и векторы будем называть неотрицательными. Если же все элементы матрицы (вектора) неотрицательны и хотя бы один из них положителен, то такую матрицу (вектор) будем называть положительными.
ПРОДУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Матрицу A называют продуктивной, если: 1) она неотрицательна, 2) для любого неотрицательного вектора Y уравнение Леонтьева (с этой матрицей A) имеет неотрицательное решение X. В таком случае и модель Леонтьева называют продуктивной. Для уравнения Леонтьева разработана теория исследования решения и его особенностей. Приведём без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.
Теорема 1. Пусть A - неотрицательная матрица. Если хотя бы для одного положительного вектора Y уравнение Леонтьева имеет положительное решение X, то матрица A продуктивна. Т. е. , если все элементы матрицы неотрицательны, то достаточно установить наличие положительного решения системы хотя бы для одного положительного вектора Y , чтобы матрица A была продуктивной. Преобразуем систему уравнений баланса в матричной форме, используя единичную матрицу E: X = AX +Y ⇐⇒ EX = AX +Y ⇐⇒ EX −AX = Y ⇐⇒ (E −A)X = Y.
Если матрица E−A обратима (т. е. существует обратная матрица (E−A)− 1), то для любого Y существует единственное решение X последнего уравнения, получаемое умножением обеих частей этого уравнения слева на матрицу (E−A)− 1 : X = (E−A)− 1 Y. Матрицу S=(E−A)− 1 называют матрицей полных затрат. Существует несколько критериев продуктивности матриц. Приведём два из них.
Теорема 2 (Первый критерий продуктивности). Неотрицательная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A)− 1 существует и неотрицательна. Теорема 3 (Второй критерий продуктивности). Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы, причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостной состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
В модели МОБ выделяются четыре квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором — структура конечного использования ВВП, в третьем — стоимостная структура ВВП, а в четвёртом — перераспределение национального дохода.
За 1959 год ЦСУ СССР силами отдела межотраслевого баланса под руководством М. Р. Эйдельмана разработало первый в мире отчетный межотраслевой баланс в натуральном выражении (по 157 продуктам) и отчетный межотраслевой баланс в стоимостном выражении (по 83 отраслям) [9] . Хотя последний из них и был частично опубликован в 1961 г. [10] , полностью гриф секретности будет снят лишь в 2008 г. [11] Это не могло не оказать негативного влияния на развертывание прикладных работ в центральных плановых органах (Госплане и Госэкономсовете) и их научных организациях. Первые плановые межотраслевые балансы в стоимостном и натуральном выражении были построены в 1962 г. Далее работы были распространены на республики и регионы. По данным за 1966 г., наряду с отчетным межотраслевым балансом народного хозяйства СССР [12] , балансы были построены по всем союзным республикам и экономическим районам РСФСР. Советскими учеными были созданы заделы для более широкого применения межотраслевых моделей (в том числе динамических, оптимизационных, натурально-стоимостных, межрегиональных и др.). В 1968 году за разработку плановых и отчётных межотраслевых балансов группе учёных (А. Н. Ефимову, Э. Б. Ершову, Ф. Н. Клоцвогу, С. С. Шаталину, Э. Ф. Баранову, Л. Е. Минцу, В. В. Коссову, Л. Я. Берри, М. Р. Эйдельману [d] ) была присуждена Государственная премия СССР, а А. Г. Гранбергу — премия Ленинского комсомола [13] .
В 1970—1980-х годах в СССР на основе данных межотраслевых балансов разрабатывались более сложные межотраслевые модели и модельные комплексы, которые использовались в прогнозных расчетах и частично входили в технологию народнохозяйственного планирования:
Признавая, что по ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке [15] , Леонтьев отчетливо понимал, что теоретические разработки советских ученых не находят практического применения в реальной экономике, где все решения принимались исходя из политической конъюнктуры:
Читайте также: