Математический маятник это кратко

Обновлено: 06.07.2024

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой нерастяжимой нити (рис.1).

Рис.1. Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

$\overline<F> В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол на тело будет действовать возвращающая сила$
, которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

$\overline<F> Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения , тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе$
, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период колебаний математического маятника

$T=2\pi \sqrt<\frac<l> >\$

Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.

Примеры решения задач

Задание

Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?

Решение

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt<\frac<l> >\$

$T=2\pi \sqrt<\frac<1> >=2\ c$

Математический маятник совершает гармонические колебания, поэтому смещение материальной точки зависит от времени по гармоническому закону:

$x=A\sin \left(\omega t+<\varphi > _0\right)$

Так как в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия, начальная фаза колебаний равна нулю.

$\omega =\frac<2\pi > ,$

$\omega =\frac<2\pi > =\pi \ rad/c$

Путь, равный 1 см, т.е. равный в данном случае амплитуде колебаний, маятник пройдет за четверть периода, т.е. за 0,5 с.

а) В данном случае смещение:

$x=\frac<2> ,$

поэтому можно записать:

$\frac<2> =A\sin \pi t;$

$\sin \pi t=\frac<1> ;$

$t=\frac<1> =0,17\ c$

б) Если на прохождение всего пути, равного амплитуде, маятник тратит 0,5 с, а на прохождение его первой половины – 0,17 с, на вторую половину пути маятник затратит:

Задание	Один математический маятник имеет период 5 с. а другой – период 3 с. Определить период колебаний математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников?
Решение	Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt<\frac<l> >\$

Запишем это соотношение для каждого из маятников и найдем их длины:

$T_1=2\pi \sqrt<\frac<l_1> >;\ \ \ \ \ \ \ \ l_1=<\left(\frac<T_1><2\pi >\right)>^2g;$

$T_2=2\pi \sqrt<\frac<l_2> >;\ \ \ \ \ \ \ \ l_2=<\left(\frac<T_2><2\pi >\right)>^2g$

Найдем длину третьего маятника:

$l=l_1-l_2=\frac<g> <4<\pi >^2>\left(^2-^2\right)$

Период третьего маятника:

$T=2\pi \sqrt<\frac<\frac <4<\pi >^2>\left(^2-^2\right)>>=\sqrt<\left(^2-^2\right)>$

$T=\sqrt<5^2-3^2> =4\ c$

МАЯТНИК -
1) математический маятник - материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебательные движения. Приближенно такой маятник может быть осуществлен в виде тяжелого груза достаточно малых размеров, подвешенного на нити. Период колебания маятника, где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.
2) Физический маятник - тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела. Период колебаний, где I - момент инерции тела, m - масса тела, L - расстояние его центра тяжести С от оси вращения О. Приведенные формулы справедливы лишь при малых амплитудах колебаний. Свойствами маятника пользуются в часах и ряде других приборов.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g приближенно равен

и мало зависит от амплитуды и массы маятника.
Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.
При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Математический маятник, материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически Математический маятник можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, масса нити очень мала по сравнению с массой груза.

Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства. Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.

Колебания

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором.

Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Свойства

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

Период

Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом.

Где L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.

Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.

Практическое применение

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит? Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения [1] . Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

$T = 2\pi \sqrt<L \over g> $

и не зависит [2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Содержание

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\ddot x + \omega^2\ \sin<x> = 0,$

где ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; " width="" height="" />
, где ― длина подвеса, ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

$\ddot x + \omega^2x = 0$

Решения уравнения движения

Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

$~x = A \sin (\theta_0 + \omega t),$

где — амплитуда колебаний маятника, — начальная фаза колебаний, — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

$\sin \frac<x> = \varkappa \cdot \operatorname (\omega t | \varkappa),$

где " width="" height="" />
— это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

$\varkappa$

Параметр определяется выражением

$\varkappa = \frac<\varepsilon+\omega^2> <2\omega^2>,$

$\varepsilon = \frac<E> где$
— энергия маятника в единицах t −2 .

Период колебаний нелинейного маятника

$T = \frac<2\pi> <\Omega>, \Omega = \frac<\pi>\frac<\omega>,$

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

\right)^2 \sin^\left(\frac\right) + \left(\frac\right)^2 \sin^\left(\frac\right) + \dots + \left[\frac<\left(2n - 1\right)!!><\left(2n\right)!!>\right]^2 \sin^\left(\frac\right) + \dots \right\> " width="" height="" />
, где " width="" height="" />
— период малых колебаний, — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

$T = T_0 \left( 1 + \frac<1> \sin^\left(\frac\right) \right)$
.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах 1096-1097 Сентябрьского выпуска заметок американского математического общества 2012 г. [3] :

$T = \frac<2\pi> <M(\cos(\theta_0/2))>\sqrt\frac,$

где -- арифметико-геометрическое среднее числел 1 и .

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

Интересные факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Примечания

↑Маятник — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
↑ в первом приближении
↑ Adlaj, S. An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS 59(8), pp. 1096-1097.

Ссылки

, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы. , моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.

См. также

Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Динамика
Дифференциальные уравнения
Математические модели
Маятники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Математический маятник" в других словарях:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник … Большой Энциклопедический словарь

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — (см. МАЯТНИК). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 … Физическая энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

математический маятник — Материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль заданной плоской кривой. Примечание. Когда эта кривая является окружностью, расположенной в вертикальной плоскости, маятник называется круговым. [Сборник рекомендуемых… … Справочник технического переводчика

математический маятник — см. Маятник. * * * МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК, см. Маятник (см. МАЯТНИК) … Энциклопедический словарь

математический маятник — matematinė švytuoklė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mathematical pendulum; simple pendulum vok. mathematisches Pendel, n rus. математический маятник, m; простой маятник, m pranc. pendule mathématique, m; pendule simple, m … Fizikos terminų žodynas

Математический маятник — материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по… … Большая советская энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник … Большой энциклопедический политехнический словарь

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см Маятник … Естествознание. Энциклопедический словарь

математический маятник — Материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль заданной плоской кривой … Политехнический терминологический толковый словарь

Читайте также: