Магнитное поле тороида и соленоида кратко

Обновлено: 05.07.2024

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 223). Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось.

На рис. 223 показаны четыре витка соленоида с током Для наглядности полувитки, расположенные за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположные направления Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки силовых линий соседних витков взаимно

уничтожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охватывающую его снаружи.

Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида, проведенное с помощью железных опилок, показывает, что это поле имеет вид, изображенный на рис. 224. Внутри соленоида поле оказывается практически однородным, вне соленоида — неоднородным и сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала).

Внешнее поле соленоида подобно полю стержневого магнита (см. рис. 212). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный полюсы и нейтральную зону.

Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида рассчитывается по формуле

где I — длина соленоида, число его витков, сила тока в нем. Произведение принято называть числом ампер-витков

Формула (18) является частным случаем выражения напряженности поля внутри соленоида конечной длины, которое в свою очередь выводится следующим образом.

На рис. 225 изображен продольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида I, радиус его витков число витков сила тока, идущего по соленоиду,

Рассматривая соленоид как совокупность вплотную приложенных друг к другу витков (круговых токов имеющих общую ось, определим напряженность магнитного поля в точке А на оси соленоида как сумму напряженностей от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины соленоида.

В нем содержится витков. Согласно формуле (17), напряженность поля одного витка Поэтому напряженность поля от участка будет равна

Из рис. 225 видно, что Тогда Подставляя эти выражения в

формулу (19) и производя сокращения, получим

Интегрируя последнее выражение в пределах от до найдем полную напряженность поля в точке А:

У достаточно длинного соленоида В этом случае формула (20) примет вид

соответствующий формуле (18).

Таким образом, внутри достаточно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова; она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика.

Практически важное значение имеет также магнитное поле тороида — катушки из проволоки, навитой на тор (рис. 226). Магнитное поле тороида однородно и замкнуто внутри самого тороида; вне тороида поле отсутствует. Тороид можно рассматривать как свернутый кольцом достаточно длинный соленоид, и для расчета напряженности магнитного поля тороида можно пользоваться формулой (18):

где длина оси тороида, радиус тороидального кольца, сила тока, число витков тороида,

§ 3 Закон полного тока.

Вихревой характер магнитного поля

;

где – проекция вектора на вектор .

;

Закон полного тока:

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна сумме токов, охватываемых этим контуром

;

Положительными считаются те токи, направление которых с направлением обхода подчиняется правилу правой руки. Токи, направление которых противоположно направлению обхода, берутся со знаком минус.

В отличие от электростатического поля, для которого циркуляция вектора равна нулю и электростатическое поле является потенциальным, циркуляция магнитного поля не равна нулю , если контур, по которому мы рассматриваем циркуляцию, охватывает токи. Поле, циркуляция которого отлична от нуля, называется вихревым или соленоидальным. Следовательно, магнитное поле является вихревым. У вихревого поля силовые линии замкнуты, следовательно, магнитных зарядов не существует.

§4 Магнитное поле соленоида и тороида

Соленоид представляет цилиндрический каркас, на который намотаны витки проволоки. Рассмотрим бесконечно длинный соленоид, т.е. соленоид у которого ? >> d , где ? - длина, d – диаметр соленоида. Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Однородным называется поле, силовые линии которого параллельны и густота их постоянна.

Применим закон полного тока для вычисления напряженности магнитного поля соленоида. Представим контур L , по которому рассматривается циркуляция вектора , состоящим из четырех связанных участков 1-2; 2-3; 3-4; 4-1. Тогда циркуляция вектора по выбранному нами контуру L будет равна

;

, т.к. и, следовательно, ,

, т.к. мы выбрали участок 3-4 достаточно далеко от соленоида и можно считать, что поле вдали от соленоида равно нулю,

, т.к. и, следовательно, .

L охватывает N токов, где N – число витков соленоида, тогда по закону полного тока

;

- магнитное поле бесконечно длинного соленоида

n – плотность намотки – число витков на единицу длины .

Напряженность поля внутри соленоида равна числу витков, приходящихся на единицу длины соленоида, умноженному на силу тока.

Тороид – тор, с намотанными на него витками проволоки. В отличие от соленоида, у которого магнитное поле имеется как внутри, так и снаружи, у тороида магнитное поле полностью сосредоточено внутри витков, т.е. нет рассеивания энергии магнитного поля.

где .

– магнитное поле тороида.

§5 Сила Ампера

Ампер изучал действие магнитного поля на проводники с током и установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током ? , находящимся в магнитном поле , прямо пропорциональна силе тока ? и векторному произведению элемента проводника на магнитную индукцию

– Сила Ампера (или закон Ампера)

Направление силы Ампера находится по правилу векторного произведения – по правилу левой руки: четыре вытянутых пальца левой руки расположить по направлению тока, вектор входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током. (Можно также определить направление с помощью правой руки: вращаем четыре пальца правой руки от первого сомножителя ко второму , большой палец укажет направление .)

Модуль силы Ампера

где α – угол между векторами и .

Если поле однородно, а проводник с током конечных размеров, то

При перпендикулярном

Любой проводник с током создает вокруг себя магнитное поле. Если поместить в это поле другой проводник с током, то между этими проводниками возникают силы взаимодействия. При этом параллельные сонаправленные токи притягиваются, противоположно направленные - отталкиваются.

Рассмотрим два бесконечно длинных параллельных проводника с токами I ₁ и I _2, находящимися в вакууме на расстоянии d (для вакуума µ = 1). В соответствии с законом Ампера

Магнитное поле прямого тока равно

сила, действующая на единицу длины проводника

Сила, действующая на единицу длины проводника между двумя бесконечно длинными проводниками с током, прямо пропорциональна силе тока в каждом из проводников и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Определение единицы измерения силы тока – Ампера:

За единицу силы тока в системе СИ принята такая сила постоянного тока, который протекая по двум бесконечно длинным параллельным проводникам бесконечно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызывает силу, действующую на единицу длины проводника, равную 2·10 -7 Н.

§6 Сила Лоренца

В соответствии с законом Ампера сила, действующая на элемент тока , определяется по формуле

Учтём, что элементарный ток есть не что иное, как направленное движение электрических зарядов

где V – объём, n – концентрация носителей, j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника, e – заряд электрона ( e = 1,6·10 -19 Кл), dl - длина элемента проводника, – скорость направленного движения электронов.

;

Силу Ампера, действующую на элементарный ток можно рассматривать, как результирующую силу действия всех сил со стороны магнитного поля на каждый заряд в отдельности. Тогда, силу, действующую на движущийся заряд в магнитном поле, мы найдём, разделив силу Ампера на число зарядов в рассматриваемом элементе объёма проводника

Эта сила называется силой Лоренца:

– модуль силы Лоренца

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: четыре пальца левой руки – по скорости, вектор входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы Лоренца для положительного заряда. Для отрицательного заряда – четыре пальца против скорости, дальше тоже, что и для положительного заряда.

Соленоид представляет цилиндрический каркас, на который намотаны витки проволоки. Рассмотрим бесконечно длинный соленоид, т.е. соленоид у которого ? >> d, где ? - длина, d – диаметр соленоида. Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Однороднымназывается поле, силовые линии которого параллельны и густота их постоянна.

Применим закон полного тока для вычисления напряженности магнитного поля соленоида. Представим контур L, по которому рассматривается циркуляция вектора , состоящим из четырех связанных участков 1-2; 2-3; 3-4; 4-1. Тогда циркуляция вектора по выбранному нами контуру L будет равна

, т.к. и, следовательно, ,

, т.к. и, следовательно, .

LохватываетN токов, где N – число витков соленоида, тогда по закону полного тока

- магнитное поле бесконечно длинного соленоида

n – плотность намотки – число витков на единицу длины .

– магнитное поле тороида.

Если R>>R_витка, то R≈rи H=n?.

Если по проводнику течет ток, то вокруг проводника создаётся МП. Мы пока рассматривали провода, по которым текли токи, находящиеся в вакууме. Если провода, несущие ток, находятся в некоторой среде, то м.п. изменяется. Это объясняется тем, что под действием м.п. всякое вещество способно приобретать магнитный момент, или намагничиваться (вещество становится магнетиком).

Вещества, намагничивающиеся во внешнем м.п. против направления поля называются диамагнетиками.

Вещества, слабо намагничивающиеся во внешнем м.п. по направлению поля называются парамагнетиками

Намагниченное в-во создаёт м.п. – , это м.п. накладывается на м.п., обусловленное токами – .

Тогда результирующее поле:

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. – усреднённое макроскопическое поле.

Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создаёт в окружающем пространстве м.п.

Если внешнее поле отсутствует, то молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и обусловленное ими результирующее поле равно 0.

Магнитные моменты отдельных молекул в отсутствии внешнего поля ориентированы хаотично. Суммарный магнитный момент тела равен 0.

, где S-площадь орбиты.

Под действием поля магнитные моменты ( ) молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, магнетик намагничивается , его суммарный магнитный момент становится отличным от 0. Поля отдельных молекулярных токов не компенсируют друг друга и возникает поле .

Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объёма.

Намагниченностью называют векторную величину, равную магнитному моменту единицы объёма магнетика:

где - физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки; - магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме (вспомним где, - поляризованность диэлектрика , - дипольный элемент ).

Намагниченность можно представить так:

где - средний магнитный момент одной молекулы , n - концентрация молекул. Тогда .

В дальнейшем для упрощения будем считать, что все молекулы в пределах объёма имеют одинаковый магнитный момент . Тогда, если , то .

Если во всех точках вещества вектор одинаков, то говорят, что вещество намагничено однородно.

Вопрос 34:

Парамагнетики — вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении внешнего магнитного поля и имеют положительную магнитную восприимчивость. Парамагнетики относятся к слабомагнитным веществам. Атомы (молекулы или ионы) парамагнетика обладают собственными магнитными моментами, которые под действием внешних полей ориентируются по полю и тем самым создают результирующее поле, превышающее внешнее. Парамагнетики втягиваются в магнитное поле. В отсутствии внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за теплового движения собственные магнитные моменты атомов ориентированы совершенно беспорядочно.

Диамагне́тики — вещества, намагничивающиеся против направления внешнего магнитного поля. В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетики немагнитны. Под действием внешнего магнитного поля каждый атом диамагнетика приобретает магнитный момент I (а каждая единица объёма — намагниченность M), пропорциональный магнитной индукции B и направленный навстречу полю. Поэтому магнитная восприимчивость = M/H у диамагнетиков всегда отрицательна. По абсолютной величине диамагнитная восприимчивость мала и слабо зависит как от напряжённости магнитного поля, так и от температуры.

Другими словами, магнитная проницаемость и слабо зависит как от напряжённости магнитного поля, так и от температуры.

Ферромагнетики — вещества (как правило, в твёрдом кристаллическом или аморфном состоянии), в которых ниже определённой критической температуры (точки Кюри) устанавливается дальний ферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов (в неметаллических кристаллах) или моментов коллективизированных электронов (в металлических кристаллах). Иными словами, ферромагнетик — такое вещество, которое при температуре ниже точки Кюри, способно обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля.

Соленоид представляет цилиндрический каркас, на который намотаны витки проволоки. Рассмотрим бесконечно длинный соленоид, т.е. соленоид у которого ? >> d, где ? - длина, d – диаметр соленоида. Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Однороднымназывается поле, силовые линии которого параллельны и густота их постоянна.

Применим закон полного тока для вычисления напряженности магнитного поля соленоида. Представим контур L, по которому рассматривается циркуляция вектора , состоящим из четырех связанных участков 1-2; 2-3; 3-4; 4-1. Тогда циркуляция вектора по выбранному нами контуру L будет равна

, т.к. и, следовательно, ,

, т.к. и, следовательно, .

LохватываетN токов, где N – число витков соленоида, тогда по закону полного тока

- магнитное поле бесконечно длинного соленоида

n – плотность намотки – число витков на единицу длины .

– магнитное поле тороида.

Если R>>R_витка, то R≈rи H=n?.

Вещества, намагничивающиеся во внешнем м.п. против направления поля называются диамагнетиками.

Вещества, слабо намагничивающиеся во внешнем м.п. по направлению поля называются парамагнетиками

Намагниченное в-во создаёт м.п. – , это м.п. накладывается на м.п., обусловленное токами – .

Тогда результирующее поле:

, где S-площадь орбиты.

Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объёма.

Намагниченностью называют векторную величину, равную магнитному моменту единицы объёма магнетика:

Намагниченность можно представить так:

где - средний магнитный момент одной молекулы , n - концентрация молекул. Тогда .

Если во всех точках вещества вектор одинаков, то говорят, что вещество намагничено однородно.

Вопрос 34:

Соленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на сердечник. Тороид можно рассматривать как длинный соленоид, свернутый в кольцо (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Магнитное поле соленоида

Длина соленоида l содержит N витков и по нему протекает ток I. Считаем соленоид бесконечно длинным. Эксперимент показал, что внутри соленоида поле однородно, а вне соленоида не однородно и очень слабое (можно считать, равным нулю).

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, охватывающему все N витков, согласно (4.12) равна:

. (4.14)

Интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: по внутренней части контура: и по внешней: , тогда из (4.14) получим:

, (4.15)

или , (4.16)

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида; – число витков на единицу длины соленоида.

Магнитное поле внутри тороида, так же, как в соленоиде, однородно, сосредоточено внутри; вне тороида магнитное поле, создаваемое круговыми токами тороида, равно нулю. Величина магнитного поля в тороиде определяется выражением (4.16), причем длина тороида l берется по средней длине тороида (среднему диаметру).

Отметим любопытный факт. Во всех учебниках по физике остался не отмеченным факт существования у соленоида и тороида второго магнитного поля, которое появляется из-за того, что, например, в соленоиде по отношению к средней линии соленоида витки направлены не точно перпендикулярно, а под углом меньше 90°. Это приводит к появлению тока (эффективного, но равного току I, протекающему через соленоид), вдоль соленоида (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Второе магнитное поле соленоида

То есть соленоид создает дополнительное магнитное поле, такое же, как и прямолинейный бесконечно длинный проводник с током. Точно так же и для тороида: вдоль средней линии протекает эффективный ток I. У тороида второе магнитное поле эквивалентно магнитному полю витка с током (рис.4.3). Диаметр этого витка равен диаметру тороида (его средней линии), а магнитное поле тороида (R – радиус тороида).

Рис. 4.3. Второе магнитное поле тороида

§ 3. Поток вектора магнитной индукции

Магнитным потоком Ф через площадку S называется скалярная величина

Ф = В ∙ S (4.17)

(4.18)

где – проекция вектора В на направление нормали n к площадке S;  – угол между векторамиВ и n.

Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos. Если рассматривать магнитный поток через контур с током, то положительное направление нормали уже определено правилом правого винта (правило буравчика). Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную этим контуром, всегда положителен. Единица измерения магнитного потока: 1 Вб (Вебер) = 1 Тл 1 м 2 .

Теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

, (4.19)

где dS – элемент замкнутой поверхности S, В_n – проекция В на нормаль к этой поверхности.

Эта теорема говорит о том, что в природе отсутствуют магнитные заряды, а линии магнитной индукции замкнуты, то есть магнитное поле является вихревым (соленоидальным).

Магнитный поток через соленоид:

(4.20)

где . Отметим, что ВS умножено на N, т. е. каждый виток соленоида создает магнитный поток ВS, а витков N, т. е. магнитный поток увеличивается в N раз.

Читайте также: