Магический квадрат дюрера кратко
Обновлено: 05.07.2024
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1 . Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+ n 2 .
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
эта считается основополагающей для искусства североевропейского Возрождения.
… Кэтрин быстро подсчитала в уме , сложив числа в нескольких строках и столбцах дюрерова квадрата.
— Тридцать четыре, — огласила она результат. — В любом направлении.
— Правильно, — подтвердил Лэнгдон. — А ты знаешь , чем знаменит именно этот квадрат? Тем , что Дюреру удалось осуществить , казалось бы , невозможное. — И он наглядно продемонстрировал Кэтрин , что сумма тридцать четыре получается не только при сложении чисел по вертикали , горизонтали и диагонали , но также во всех четырех четвертях , в центральном четырехугольнике и даже при суммировании четырех угловых клеток. — А самое удивительное , что Дюрер к тому же умудрился вписать в нижний ряд 15 и 14 , обозначив год совершения этого невероятного подвига!
Художник и его работа
Альбрехт Дюрер – один из величайших художников не только эпохи Возрождения, но и всего западного искусства. Его талант и ум шли рука об руку: почти всю жизнь он учился – как самостоятельно, так и у других мастеров. Он отлично владел ремеслом ювелира, резчика, гравера по дереву и меди, писал картины углем, акварелью, гуашью и маслом, работал с витражами и фортификационными проектами.
Помимо этого, Дюрер является первым художником-теоретиком Северной Европы, после него остались труды по математике, нумерологии и антропометрии, руководства для художников и подробные звездные и географические карты.
Сбивает с толку и обилие образов, каждый из которых может быть прочитан по-разному. Все это в итоге оставляет неясным и послание данной картины. Ценил ли Дюрер меланхолию, осуждал или считал естественным явлением? Сегодня мы попробуем разобрать эти спорные моменты.
Загадка меланхолии
Вынесенная в заглавие меланхолия в период Ренессанса очень живо интересует мыслителей. Еще с Аристотеля сохраняется двойственность в понимании этого слова: с одной стороны, это тип темперамента, склонность характера, а с другой – болезнь, вызываемая разлитием черной желчи в организме. В Средние века меланхолия ассоциировалась с пороком безделья и даже со смертными грехами (уныние, лень).
Начиная с XIII-XIV веков появляются другие версии, объясняющие причины меланхолии и ее сущность. Популярным среди мыслителей, интересующихся астрологией и герметическими знаниями, становится представление о том, что только меланхолики способны познать высшие истины о мироздании (т. к. их ум может восходить от земного к небесному, а их покровитель Сатурн – носитель мудрости и мирового порядка).
Дракон, держащий баннер с названием гравюры
Четвертая версия напротив полагает, что разгадка банальна – все дело в ошибке Дюрера. При создании гравюры рисунок делается с помощью резца в зеркальном отображении. С этим было бы сложно согласиться (все-таки Дюрер занимался гравировкой едва ли не с детства), однако на это указывает тот факт, что существует несколько копий оригинальной гравюры, в которых действительно видно, что мастер кое-что исправлял при изображении цифр. Так что некоторые считают, что I – это фрагмент буквы M, который успел нанести Дюрер, прежде чем понял, что неверно располагает надпись на баннере.
Персонажи гравюры
Существо, находящееся на переднем плане скорее всего является олицетворением самой меланхолии, это ее дух или даже муза. Оно сидит на ступенях дома с циркулем в руках со взглядом, устремленным в никуда. Споры о половой принадлежности этого существа вряд ли закончатся, и все же, скорее всего, это именно Гений или Ангел-хранитель, крылатое существо, выступающее спутником и покровителем человека (особенно если это талантливый человек).
К тому же данное произведение было предназначено эрцгерцогу Максимилиану, при дворе которого служил Дюрер. Максимилиан, по свидетельствам современников, очень сильно боялся приступов меланхолической апатии, поэтому гравюра должна была служить чем-то вроде средства, отводящего ее (на картине есть несколько символов защиты – об этом ниже).
Второй персонаж этой композиции – маленький мальчик с крыльями, или Путто. Путто является предвестником духов (обычно ангелов). Этот образ часто появляется в живописи Ренессанса и Барокко и восходит к античным фигурам амуров и купидонов (поэтому еще этот образ называют Аморетто). Ангелок что-то чертит или пишет стилусом на восковой доске, однако лицо его скорее скучающее, чем увлеченное.
Магический квадрат
Дюрер – первый европейский художник, составивший и изобразивший магический квадрат. Согласно пифагорейской традиции, числа и их комбинации могли иметь силу воздействия на мир. Этот магический квадрат связан с силами и свойствами планеты Юпитер.
Третий персонаж гравюры – борзая
Традиционно такие квадраты использовались как обереги и талисманы на удачу, в других случаях их чертили или читали (особым способом) для исполнения желаний. В математическом отношении это довольно любопытная система, где сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали и даже угле будет всегда одна и та же – 34. В этих числах Дюрер зашифровал год написания картины (1514), дату смерти матери и, возможно, много чего еще.
На картине присутствуют и другие образы познания высших тайн (тигель алхимика, ключи, закрытая книга, лестница в небо). Как отмечает искусствовед Паола Дмитриевна Волкова, на гравюре Дюрера хорошо читается намек на три уровня познания: чувственное (связанное с ремеслом), интеллектуальное и интуитивно-мистическое.
Аллегории, символы, детали
Детальность, подробность и аллегоричность – самая узнаваемая черта стиля художника. Он буквально одержим попытками познать все то, что стремится изобразить. По примеру Альберти (итальянский теоретик живописи, способствовавший использованию прямой перспективы и измерений тела), он делит человеческое тело на части и ищет их соотношения. Но если у Альберти рост человека был поделен на 600 частей, то у Дюрера – на 1800.
Как минимум явным дополнительным значением обладают следующие образы: (1) колокол с веревкой идущей за пределы картины, (2) мельничный жернов, (3) город-порт у моря, (4) ремесленные инструменты (пила, рубанок, гвозди, молоток, тигель, циркуль, клещи, линейка), (5) странной формы камень и идеально выструганный шар, (6) существо с баннером, (7) лестница, приставленная к дому, (8) венок на голове Гения, (9) песочные часы, (10) весы, (11) закрытая на замки книга, (12) кошели и ключи на поясе Гения (всего 7 ключей), (13) радуга и комета в небе, (14) странный предмет возле собаки, (15) стилус и восковая дощечка у Путто.
Часть этих предметов можно сгруппировать тематически (при этом часть предметов пересекается, т. к. может иметь два и более значений).
Ярче всего представлена серия предметов, символизирующих или отсылающих к Сатурну (покровитель меланхоликов): весы, камни, жернов и циркуль (все, что связано с земледелием римляне относили к Сатурну), возможно, кости (отчетливо видные у собаки) и холод (некоторые борзые часто дрожат как от холода), песочные часы, возможно, ключи (тайны и ограничения сперва относились к богу Янусу, но со временем перешли к символике Сатурна).
Идеально выструганный шар, ремесленные инструменты, кошель с деньгами
Другая серия предметов напрямую связана с деятельностью – ремеслом или интеллектуальным трудом: плотницкий инструмент, вещи алхимика и проектировщика.
Эти предметы вместе с несколькими другими создают ощущение незаконченности. Брошенные инструменты, недостроенный дом, жернов без мельницы, непонятно для чего поставленная лестница, песочные часы, неправильной формы глыба и сама фигура Гения словно застыли в ожидании – в ожидании, когда зазвонит колокол и стряхнет наваждение бездействия.
Самый яркий образ в этой серии: мельничный жернов, который ничего не мелет. Жернова – один из символов космического циклического времени. Приставленный к стене, лишенный пары мельничный камень становится метафорой ощущения застывшего времени, свойственного меланхолическому припадку.
Третья серия предметов тесно пересекается со второй, но на этот раз отсылает уже к познанию, и прежде всего – к познанию высших материй, которые доступны меланхолику. Дюрер не считал меланхолию болезнью – скорее напротив, в тяжести, апатии и горечи меланхолии он видел плату за дар, которую требует с меланхолика его покровитель (Сатурн часто символизирует дисциплину, справедливую плату, тяжелый труд и воздаяние).
Помимо этих групп, можно сделать еще несколько отдельных замечаний.
Весы, как известно, это астрологический знак, а потому их появление здесь не случайно. Во-первых, Весы считаются знаком экзальтации Сатурна, т. е. знаком, в котором планета проявляет себя максимально сильно и свободно. И во-вторых, ряд исследователей указывают, что в конце 1513 – начале 1514 гг. многие (в т. ч. и Дюрер) наблюдали движение кометы, которая двигалась в сторону Сатурна, как раз находившегося в то время в знаке Весов.
Некоторые споры вызывает и оскаленное крылатое существо с баннером. Многие искусствоведы называют его летучей мышью (видимо, за сходство головы с головой крысы). Однако, судя по изображению, Дюрер рисовал дракона. В своих представлениях он опирался на то, как его изображали на средневековых иллюстрациях (и там очень много схожих образов).
Пейзаж прибрежного города
Неясной остается и причина, по которой Дюрер изобразил пейзаж прибрежного города, а не привычные леса и горы Баварии или башни родного Нюрнберга. Возможно, художник решил создать контраст с нагруженной деталями частью гравюры, но, быть может, за изображением воды и города стоит сложная символика. Например, идея внутреннего путешествия или намек на то, что меланхолия в чем-то сродни безумию.
Безумец заперт на его борту, словно в тюрьме, побег из которой невозможен; он – всецело во власти реки с тысячью её рукавов, моря с тысячью его путей, их великой переменчивости, неподначальной ничему. Неважно, ритуал ли отплытия с присущей ему системой значений находится у истоков этой связи помешательства и воды, которая прослеживается в сфере воображаемого западноевропейской культуры на протяжении всего ее существования, – или же, наоборот, именно их сближение вызывает из глубины веков этот ритуал и закрепляет его в сознании. Одно бесспорно: в восприятии европейца вода надолго связывается с безумием.
челн души обречён оставаться во власти великого моря безумия, если не удастся ему бросить надежный якорь веры либо поднять свои духовные паруса, дабы веяние духа Божьего направило его в порт. В конце XVI в. Деланкр был убежден: именно море причиной тому, что всё племя мореплавателей служит дьяволу: неверная пашня, по которой, полагаясь лишь на звёзды, ведут борозду корабли; секреты, передающиеся из уст в уста; удалённость от женщин; наконец, самый вид этой бескрайней волнующейся равнины лишают человека веры в Бога и сколько-нибудь прочных связей с родиной; и тогда он вверяет себя дьяволу и безбрежному океану его происков.
Уже после Дюрера, в XVI-XVII веке, меланхолию станут связывать не только с холодом, но и с влажностью (по Гиппократу, она холодная и сухая). Так именно морским климатом будут объяснять склонность англичан к меланхолии.
Стоит обратить внимание и на венок Гения. Он составлен не из привычных растений (лавр, олива, дуб), а из водяных (что-то вроде водяного лютика и водяного кресса). Существует версия, что именно эти растения использовались как средство против опасного влияния Сатурна, т. е. от уныния, беспокойства, депрессии.
Вполне возможно, что другим защитным образом была глыба неправильной формы, занимающая весомое место в композиции. По одной из версий, Дюрер увидел однажды минерал подобной формы, добытый недалеко от Нюрнберга. Его поразило, что сама природы придала столь причудливую, почти рукотворную форму камню, именно поэтому он решил его изобразить. Вероятнее всего, это был плавиковый шпат (флюорит), этот минерал часто образует кубические, октаэдрические и более сложные формы кристаллов. Их до сих пор добывают в Южной Германии.
Среди образов можно выделить и два довольно явно отсылающих к христианской символике. Первый – это колокол, который служит не только голосом, созывающим христиан, но и выполняет магические функции (ободряет сердца, прогоняет злых духов, успокаивает бури). Кроме того, колокол в христианстве является символом музыки.
Если продолжить эту логику, то 7 ключей на поясе ангела – это указание на семь свободных искусств. И при желании мы найдем предмет, отсылающий к каждому из них: колокол (музыка), комета (астрономия), циркуль (геометрия), магический квадрат с цифрами (арифметика), книга (диалектика), восковая табличка и стилус (грамматика).
Единственным неочевидным свободным искусством оказывается риторика. Ее аллегорические изображения обычно делали акцент на свитке, позе говорящего, трубах, привлекающих внимание, пере и иногда клинке (рифмуя слово с оружием, как, например, на картине Джентилески). Однако можно предположить, что отсылкой к риторике служат песочные часы, которые часто использовались для обучения говорить ровно положенное время. Впрочем, связка из 7 ключей – пожалуй, более сложный символ, несущий и другие смыслы.
Вторым библейским символом является лестница. Лестница Иакова очень часто использовалась в искусстве Средних веков, поскольку соответствовала иерархичному мировоззрению эпохи. Помимо упоминания лестницы, соединяющей небо и землю во сне пророка Иакова, существует также апокрифический текст с таким названием (который запрещен у католиков). В каком-то смысле Дюрер вновь отсылает нас к идее уровней как в нашем познании, так и в самом мироздании.
Однако, как бы мы ни старались, значение многих образов остается неясным. Так, например, комета и радуга, одновременно находящиеся на небе. Возможно, они просто противопоставлены друг другу: кометы всегда считались предвестниками дурного, радуга – напротив, знак доброй воли богов (например, в истории о Всемирном потопе). Но может быть, что здесь зашифровано что-то большее, например, указание на шестой день творения мира (именно тогда создана радуга).
Для нас остаются загадкой книга и ее содержание, идеальный шар у ног или что пишет стилусом маленький ангел. Что ж, наличие загадок не только не портит впечатления от этой гравюры, но и подогревает интерес к ней, который не угасает вот уже 500 с лишним лет.
Альбрехт Дюрер (нем. Albrecht Dürer, 1471—1528) — немецкий живописец и график, первый теоретик искусства, один из величайших мастеров Северного Ренессанса, был третьим ребенком в семье из восемнадцати рожденных и восьми выживших детей. Отец, золотых дел мастер, пытался с детства приобщить сына к ювелирному ремеслу,которым сам зарабатывал на жизнь.
Но вопреки его ожиданиям, в пятнадцать лет юный Альбрехт становится учеником Михаэля Вольгемута – ведущего нюрнбергского художника, живописца и великолепного гравера. От него то прилежный ученик и получил те познания и умения, которые использовал на протяжении своего творческого пути. К тому же, первый успех юному художнику принесли именно деревянные и медные гравюры. Впоследствии он стал новатором в этой технике. А о живописных работах Дюрера и говорить не приходится - это шедевры мирового искусства.
Познания Дюрера в астрономии, математических и естественных науках были потрясающими. Он создавал карты звездного неба, следя за небесными светилами с крыши собственного дома, на которой располагалась небольшая обсерватория. Он рассчитал значения, для впервые созданного в Европе, магического квадрата, создал теоретические труды об искусстве.
В центре композиции видим женщину с крыльями и в венке, олицетворяющую собой Логику – это Муза Дюрера. Неподвижно сидящая на крыльце, она погружена в меланхолическую задумчивость и печаль: женщина хоть имеет крылья, но не может проникнуть за завесу тайны Вселенной. Все, что вокруг происходит - проходит без ее участия. Это ее угнетает и навевает меланхолическое настроение.
Угрюмый мальчик с крыльями, рядышком сидящий на мельничном жернове, что-то задумчиво пишет на восковой дощечке. Это Путто, символизирующий предвестника ангельского духа.
Вокруг героев гравюры разбросаны измерительные и строительные инструменты. А у ног, свернувшись в клубок, спит борзая собака, символизирующая меланхолический темперамент.
Гравюра размерами 23,9 х 18,8 сантиметров перенасыщена деталями и предметами. Здесь можно увидеть песочные и солнечные часы, весы, колокол, циркуль, сферу, многогранник, высеченный магический квадрат, а так же строительные инструменты.
А самым интереснейшим предположением российского искусствоведа Паолы Волковой является версия: на гравюре изображена не крылатая женщина, а сам Альбрехт Дюрер с крыльями ангела, что впрочем вполне закономерно.
Магический квадрат
На стене видим таблицу с числами, заключенными в магический квадрат, где их сумма на каждой горизонтальной, и вертикальной линиях, а так же по диагоналям равна числу тридцать четыре.
До сих пор среди искусствоведов ведутся споры на тему: сам ли Дюрер составил этот квадрат, или же взял за основу квадрат Корнелия Агриппы, видоизменив порядок чисел. Как бы там ни было, но в своем магическом квадрате Дюрер зашифровал год создания гравюры (два средних числа снизу), дату смерти матери и несколько других знаковых дат для самого художника.
Также считают, что магический квадрат был позаимствован Европой у Индии в начале 16 века. А в самой Индии он стал известен в I веке нашей эры. Ученые предполагают, что идея магического квадрата принадлежит китайцами, ибо в китайских рукописях, написанных 4000-5000 лет до нашей эры, впервые упоминается о них. Вот такой древнейший возраст у магического квадрата!
Загадка в названии гравюры
Первая из версий: художник задумал создать несколько работ, отображающих меланхолию, поэтому и начал нумеровать свои произведения. Но как известно, продолжения серии гравюр, посвященных Меланхолии, у Дюрера больше не было.
Вторая версия опиралась на психологические учения того времени, которые гласили, что существуют три вида меланхоликов. Одни из них были творческими людьми, с развитой фантазией, другие – политики и ученые, с развитым умом, и третьи - люди религии и философы, с развитой интуицией. Поэтому Дюрер, считавший себя меланхоликом, пишет на гравюре: MELENCOLIA I.
Читайте также: