Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами кратко
Обновлено: 05.07.2024
Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков:
Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.
Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.
Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!
Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:
– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.
Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
, где – константы.
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .
Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
,
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же выполнить проверку, подставив корни в уравнение).
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой
Ответ: общее решение:
Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот: , но хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.
Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.
Теперь неплохо бы освежить базовые понятия урока Дифференциальные уравнения. Примеры решений. А что значит вообще решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.
Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение должно удовлетворять исходному уравнению . Точно так же, как и у диффуров 1-го порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку:
Берем наш ответ и находим производную:
Находим вторую производную:
Подставляем , и в левую часть уравнения :
Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).
Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
На самом деле проверка таких простейших примеров практически никогда не выполняется, но, дело в том, что навык и сама техника проверки очень пригодятся, когда вы будете решать более сложные неоднородные уравнения второго порядка. Поэтому было целесообразно сразу же ознакомить вас с алгоритмом.
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается: . Кстати, является общим решением того самого примитивного уравнения , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение: – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .
Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:
(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)
Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Желающие могут потренироваться и выполнить проверку, но она здесь будет труднее.
Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел.
Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
, где – константы.
Косинус с синусом можно поменять местами, это не принципиально, но обычно первым записывают косинус.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ,
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
,
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант , чтобы выполнялись ОБА условия.
Алгоритм нахождения частного решения следующий:
Сначала используем начальное условие :
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение: или просто
Далее берём наше общее решение и находим производную:
Используем второе начальное условие :
Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение: или просто
Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:
Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант в общее решение :
Ответ: частное решение:
Проверка осуществляется по следующей схеме:
Сначала проверим, выполняется ли начальное условие :
– начальное условие выполнено.
Находим первую производную от ответа:
– второе начальное условие тоже выполнено.
Находим вторую производную:
Подставим и в левую часть исходного дифференциального уравнения :
, что и требовалось проверить.
Таким образом, частное решение найдено верно.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , . Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграф Извлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйте Тригонометрические таблицы.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.
Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .
То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.
Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеет ровно четыре корня.
Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
.
Тривиальное уравнение имеет общее решение:
Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:
Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка
Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.
После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений 2-го, а затем и высших порядков.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: Найдем производную:
Найдем вторую производную:
Подставим и в левую часть исходного уравнения :
, таким образом, общее решение найдено правильно.
Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
(так получилось, что сначала я записал синус)
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть , (значение константы получилось сразу же).
.
То есть .
Составим и решим систему:
Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.
– второе начальное условие выполнено.
Подставим и в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.
Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Уравнение (9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; ak - постоянные вещественные числа. Если функция f(x) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.
Уравнение (9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; ak- постоянные вещественные числа.Т. к. функция f(x) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части.
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).
Система функций y1, y2, y3. yn-1, ynназывается линейно независимой в интервале (a, b), если тождество (c1, c2, c3. cn - постоянные числа)
может выполняться только когда все ck=0. Если к тому же каждая из функций yk является частным решением однородного уравнения(9.2), то система решений однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает общее решение однородного уравнения (9.2),( все Ck- константы ).
Однородное дифференциальное уравнение
Рассмотрим три случая.
Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
Функция дает общее решение однородного уравнения (9.2) (все Ck- константы ).
Записываем характеристическое уравнение Его корни ,
фундаментальная система решений
П. 9.2 Начальные данные при .
Корни характеристического уравнения . Общее решение . Т. к. , то для определения костант
имеем два уравнения: . Значит, - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным.
Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные
Каждому вещественному корню λ по-прежнему соответствует частное решения y = e λx , а каждой паре комплексных сопряженных корней соответствуют два линейно-независимых частных решения :
Т.о.,фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами Ck.
Находим корни характеристического уравнения или
. Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней (a = 0, b = 3, т. е. корни чисто мнимые) Фундаментальная система решений :. Записываем общее решение
, (a = 3, b = 2 ). Фундаментальная система решений :.
П. 9.5 . Начальные данные: .
Корни характеристического уравнения
Фундаментальная система решений : .
Общее решение . Для определения констант находим
При . Т.о. , частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:
Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни
В этом случае каждому вещественному корню λ кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами Ck.
Корни характеристического уравнения кратны, . Кратность вещественного корня . Фундаментальная система
решений : . Общее решение .
Корни характеристического уравнения комплексны и кратны, . Кратность пары комплексно-сопря-женных корней , (a=0, b=2, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаментальная систе-ма решений : .
Характеристическое уравнение имеет двукратный вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней , . Фундаментальная система решений : .
Характеристическое уравнение имеет простой вещественный корень и двукратную пару комплексно-сопряжен-ных корней , корни чисто мнимые).
Фундаментальная система решений : .
Неоднородное дифференциальное уравнение
можно найти по формуле (формула верна и в том случае, когда коэффициенты не являются константами) , где - частное решение неоднородного уравнения, а
- общее решение однородного уравнения .
Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо
найти общее решение однородного уравнения и частное решение
Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид.
Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкретные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.
(♠) f(x) = Pn(x)где Pn(x) - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).
Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Число 0 не является корнем характеристи-ческого уравнения частное решение ищем в виде . Теперь согласно рецепту следует подставить в исходное уравнение, однако обычно при-держиваются нижеследующей схеме.
| -1 | yч=Ax 2 +Bx+C |
| 0 | |
| 1 |
Из третьего столбца получим A=-1, B=1, C=-3 неопределенные коэффициенты.
Во втором столбце стоят и производные, в первом - коэффициенты, с которыми входят в уравнение; в третьем столбце приравнены коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения. Т.о., частное решение
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.
| 0 | yч=x(Ax 2 +Bx+C) |
| -4 | y ' ч=3Ax 2 +Bx+C |
| 1 |
Из третьего столбца найдем A=1, B=0, C=1.
Т.о., . Общее решение
Корни характеристического уравнения .Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности .Общее решение одно-родного уравнения . Частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.
Из третьго столбца получим A=1/2, B=1.
Т.о., . Общее решение .
(♠♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю); - вещественное число.
Если число не является кратным корнем, то следует искать
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
П. 9.13 .
Начальные данные: при .
Число не является корнем характеристического уравнения ,
. Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .
| 0 | yч=(Ax 2 +Bx+C) | e x x 2 :-2A+A=1 |
| -2 | y ' ч=e x [Ax 2+ (2A+B)x+B+C] | e x x:-4A-4B+B+4A=1 |
| 1 | y '' ч=e x [Ax 2 +(B+4A)x+2A+ 2B+C] | e x :-2B-2C+2A+2B+C=-3 |
Решая уравнения, находим . Т.о., .
Общее решение . Решаем задачу Коши.
. Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид: .
Число является простым корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде
Из третьего столбца таблицы находим A=2.
Число является двукратным корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .
Т.о., . Общее решение .
(♠♠♠) , где - полиномы от (которые, в частности, могут быть константами и один из них может быть равным нулю); - вещественные числа.
Пусть - наибольшая из степеней полиномов .
Если число не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
где - полиномы степени с неопределенными коэффициентами.
Если число является корнем кратности , то следует искать в виде
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Т.к. ; число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .
| -1 | yч= Acosx+Bsinx | cosx:-A-A=-4 |
| 0 | y ' ч=-Asinx+Bcosx | sinx:-B-B=2 |
| 1 | y '' ч= -Acosx-Bsinx |
Из третьего столбца найдем A=2, B=-1.
Значит,; oбщее решение .
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Т.к. и число не является корнем характеристического уравнения ,то частное решение ищем в виде .
| -1 | yч=(Ax+B)cosx+ (Cx+D)sinx | xcosx : -A-A=4 |
| 0 | y'ч=(Cx+A+D)+ (-Ax-B+C)sinx | xsinx : -C-C=0 |
| 1 | y''ч=(-Ax-B+2C)cosx- (Cx+2A+D)sinx | cosx : -B-B+2C=0 |
| sinx : -D-D+2A=0 |
Решая уравнения, находим ; .
Корни характеристического уравнения .Общее решение од-нородного уравнения . Т.к. ; и число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .
В данном случае пользоваться обычной схемой неудобно. Вначале находим производные .
Теперь следуем привычной схеме.
| 1 | y ч =e x [(Ax+B)cosx+ Cx+D)sinx] | e x xcosx:A+2C=0 |
| 1 | y''ч=e x [2Cxcosx +2(A+C+D)c0sx -2Axsinx-2(A+B-C)sinx] | e x xsinx:C-2A=30 |
| e x cosx:B+2A+2C +2D=0 | ||
| e x sinx:D-2A-2B +2C=0 |
Из уравнений в последний колонки найдем константы A=-12, C=6, D=12, B=-12.
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .
Т.к. и число является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде :
Из системы уравнений найдем С=0, A=0, D=0, B=-3.
Т.о. ; общее решение .
Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения
Т.к. и число является двукратным
корнем характеристического уравнения , точастное решение имеет вид :
где - функции стандартного вида.
где - частное решение, отвечающее функции .
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .
Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения , точастное решение ; функции отвечает .
Далее, поступаем по рецепту:
| 1 | yч=x(Acosx+Bsinx)+ Ce -x | xcosx:A-A=0 |
| y'ч=Acosx+Bsinx+ x(-Asinx+Bcosx)-Ce -x | xsinx:B-B=0 | |
| 0 | =(A+Bx)cosx+(B-Ax)· sinx-Ce -x | cosx:2B=0 |
| y''ч=Bcosx-(A+Bx)sinx-Asinx+(B-Ax)cosx+Ce -x = | sinx:-2A=6 | |
| 1 | =(2B-Ax)cosx-(2A+Bx)sinx | e -x :2C=-2 |
Отсюда найдем A=-3, B=0, C=-1.
Итак, . Общее решение .
Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.
Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к. , то
. Теперь правая часть имеет стандартный вид.
Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .
Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения , точастное решение ; функции отвечает .
| 4 | yч=x(Acos2x+Bsin2x)+C | xcosx:4A-4A=0 |
| y'ч=Acos2x+2Axsin2x+ +Bsin2x+2Bxcos2x= | xsinx:4B-4B=0 | |
| 0 | =(A+2Bx)cos2x+(B-2Ax)sin2x | cosx:4B=4 |
| y''ч=2Bcos2x-(2A+4Bx)*sin2x-2Asin2x+(2B-4Ax)c0s2x= | sinx:-4A=0 | |
| 1 | =(4B-4Ax)cos2x-(4A+4Bx)sin2x | x 0 :4C=4 свободный член |
Из уравнений найдем A=0, B=1, C=1.
Таким образом, частное решение yч=xcos2x+1, а общее y=C1cos2x+C2sin2x+1.
П. 9.23 . Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения .
Поэтому, yч=yч1+ yч2=Acos4x + Bsin4x + Ccos2x + Dsin2x. .
Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = f ( x ) , в которых f 0 , f 1 , . . . , f n - 1 - являются действительными числами, а функция f ( x ) является непрерывной на интервале интегрирования X .
Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.
Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ
Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ n -ого порядка следует искать.
Общим решением y 0 ЛОДУ y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = 0 на интервале
X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n - 1 ( x ) непрерывны на X ) будет линейная комбинация
n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , содержащая произвольные постоянные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .
Общим решением y ЛНДУ y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = f ( x ) на интервале X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n - 1 ( x ) непрерывны на X ) и функцией f ( x ) будет являться сумма y = y 0 + y ~ , где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = 0 , а y ~ - некоторое частное решение исходного ЛНДУ.
Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = f ( x ) , нужно искать, как y = y 0 + y ~ , где y ~ - некоторое его частное решение, а y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = 0 .
В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j - общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение y ~ линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах.
Алгебраическое уравнение n -ого порядка k n + f n - 1 · k n - 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 носит название характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка, содержащего постоянные коэффициенты, записи y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = 0 .
Возможно определить n частных линейно независимых решений y 1 , y 2 , . . . , y n исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных n корней характеристического уравнения k 1 , k 2 , . . . , k n .
Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ
Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.
- Когда все решения k 1 , k 2 , . . . , k n характеристического уравнения k n + f n - 1 · k n - 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
y 1 = e k 1 · x , y 2 = e k 2 · x , . . . , y n = e k n · x . Общее же решение ЛОДУ n -ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x + . . . + C n · e k n · x .
Задано ЛОДУ третьего порядка, содержащее постоянные коэффициенты y ' ' ' - 3 y '' - y ' + 3 y = 0 . Определите его общее решение.
Решение
Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни, разложив предварительно многочлен из левой части равенства на множители, используя метод группировки:
k 3 - 3 k 2 - k + 3 = 0 k 2 ( k - 3 ) - ( k - 3 ) = 0 ( k 2 - 1 ) ( k - 3 ) = 0 k 1 = - 1 , k 2 = 1 , k 3 = 3
Ответ: найденные корни являются действительными и различными, значит общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами запишем как: y 0 = C 1 · e - x + C 2 e x + C 3 · e 3 x .
- Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми ( k 1 = k 2 = . . . = k n = k 0 ) , линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: y 1 = e k 0 · x , y 2 = x · e k 0 · x , . . . , y n = x n - 1 · e k 0 · x .
Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · e k 0 · x + . . . + C n · x n - 1 · e k 0 · x = = e k 0 · x · C 1 + C 2 · x + . . . + C n · x n - 1
Задано дифференциальное уравнение: y ( 4 ) - 8 k ( 3 ) + 24 y '' - 32 y ' + 16 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 - 8 k 3 + 24 k 2 - 32 k + 16 = 0 .
Преобразуем данное характеристическое уравнение, используя формулу бинома Ньютона, оно примет вид: k - 2 4 = 0 . Отсюда мы выделим его четырехкратный корень k 0 = 2 .
Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 · x + C 3 · x 2 + C 4 · x 3
- Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах - различные комплексно сопряженные пары α 1 ± i · β 1 , α 2 ± i · β 2 , . . . , α m ± i · β m , n = 2 m , линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
y 1 = e α 1 x · cos β 1 x , y 2 = e α 1 x · sin β 1 x , y 3 = e α 2 x · cos β 2 x , y 4 = e α 2 x · sin β 2 x , … y n - 1 = e α m x · cos β m x , y n = e α m x · sin β m x
Общее же решение запишем так:
y 0 = e α 1 x · C 1 · cos β 1 x + C 2 · sin β 1 x + + e α 2 x · C 3 · cos β 2 x + C 4 · sin β 2 x + . . . + + e α m x · C n - 1 · cos β m x + C n · sin β m x
Задано ЛОДУ четвертого порядка при постоянных коэффициентах y ( 4 ) - 6 y ( 3 ) + 14 y '' - 6 y ' + 13 y = 0 . Необходимо его проинтегрировать.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 - 6 k 3 + 14 k 2 - 6 k + 13 = 0 . Осуществим преобразования и группировки:
k 4 - 6 k 3 + 14 k 2 - 6 k + 13 = 0 k 4 + k 2 - 6 k 3 + k + 13 k 2 + 1 = 0 k 2 + 1 k 2 - 6 k + 13 = 0
Из полученного результата несложно записать две пары комплексно сопряженных корней k 1 , 2 = ± i и k 3 , 4 = 3 ± 2 · i .
Ответ: общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами запишется как:
y 0 = e 0 · C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x = = C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x
- Когда решения характеристического уравнения - это совпадающие комплексно сопряженные пары α ± i · β , линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
y 1 = e α · x · cos β x , y 2 = e α · x · sin β x , y 3 = e α · x · x · cos β x , y 4 = e α · x · x · sin β x , … y n - 1 = e α · x · x m - 1 · cos β x , y n = e α · x · x m - 1 · sin β x
Общим решением ЛОДУ будет:
y 0 = e α · x · C 1 · cos β x + C 2 · sin β x + + e α · x · x · C 4 · cos β x + C 3 · sin β x + . . . + + e α · x · x m - 1 · C n - 1 · cos β x + C n · sin β x = = e α · x · cos β x · C 1 + C 3 · x + . . . + C n - 1 · x m - 1 + + e α · x · sin β x · C 2 + C 4 · x + . . . + C n · x m - 1
Задано линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y ( 4 ) - 4 y ( 3 ) + 14 y '' - 20 y ' + 25 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:
k 4 - 4 k 3 + 14 k 2 - 20 k + 25 = 0 k 4 - 4 k 3 + 4 k 2 + 10 k 2 - 20 k + 25 = 0 ( k 2 - 2 k ) 2 + 10 ( k 2 - 2 k ) + 25 = 0 ( k 2 - 2 k + 5 ) 2 = 0 D = - 2 2 - 4 · 1 · 5 = - 16 k 1 , 2 = k 3 , 4 = 2 ± - 16 2 = 1 ± 2 · i
Таким образом, решением характеристического уравнения будет двукратная комплексно сопряженная пара α ± β · i = 1 ± 2 · i .
Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y 0 = e x · cos 2 x · ( C 1 + C 3 · x ) + e x · sin 2 x · ( C 2 + C 4 · x )
- Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые - действительными и совпадающими, а какие-то - комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.
Задано дифференциальное уравнение y ( 5 ) - 9 y ( 4 ) + 41 ( 3 ) + 35 y '' - 424 y ' + 492 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 5 - 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 - 424 k + 492 = 0 .
Левая часть содержит многочлен, который возможно разложить на множители. В числе делителей свободного члена определяем двукратный корень k 1 = k 2 = 2 и корень k 3 = - 3 .
На основе схемы Горнера получим разложение: k 5 - 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 - 424 k + 492 = k + 3 k - 2 2 k 2 - 8 k + 41 .
Квадратное уравнение k 2 - 8 k + 41 = 0 дает нам оставшиеся корни k 4 , 5 = 4 ± 5 · i .
Ответ: общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 x + C 3 · e - 3 x + e 4 x · C 4 · cos 5 x + C 5 · sin 5 x
Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить y 0 - общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами.
Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -ого порядка с постоянными коэффициентами записи y ( n ) + f n - 1 · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 · y ' + f 0 · y = f ( x ) .
Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y = y 0 + y ~ . Поскольку мы уже умеем определять y 0 , остается разобраться с нахождением y ~ , т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.
Приведем все способы нахождения y ~ согласно тому, какой вид имеет функция f ( x ) , находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.
- Когда f ( x ) представлена в виде многочлена n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , частным решением ЛНДУ станет: y ~ = Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом степени n , а r – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
- Когда функция f ( x ) представлена в виде произведения многочлена степени n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e α · x , частным решением ЛНДУ второго порядка станет: y ~ = e α · x · Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, r указывает, сколько корней характеристического уравнения равно α .
- Когда функция f ( x ) записана как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin ( β x ) , где А 1 и В 1 – числа, частным решением ЛНДУ станет запись y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ . Здесь где А и В являются неопределенными коэффициентами, r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно ± i β .
- Когда f ( x ) = e α x · P n ( x ) sin β x + Q k x cos β x , то y ~ = e α x · L m x sin β x + N m x cos β x · x γ , где r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно α ± i β , P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , m и m соответственно, m = m a x ( n , k ) .
Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y ~ ( n ) + f n - 1 · y ~ ( n - 1 ) + . . . + f 1 y ~ ' + f 0 · y ~ = f ( x )
Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.
Когда функция f ( x ) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.
Пусть нам заданы y j , j = 1 , 2 , . . . , n - n линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
n -ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: н = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j . В нахождении производных функций C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n поможет система уравнений:
∑ j = 1 n C j ' ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ' ( x ) · y ' j = 0 ∑ j = 1 n C j ' ( x ) · y '' j = 0 … ∑ j = 1 n C j ' ( x ) · y j ( n - 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ' ( x ) · y j ( n - 1 ) = 0
а собственно функции C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n найдем при последующем интегрировании.
Задано ЛНДУ с постоянными коэффициентами: y ' ' ' - 5 y '' + 6 y ' = 2 x . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение: k 3 - 5 k 2 + 6 k = 0 . Корни данного уравнения: k 1 = 0 , k 2 = 2 и k 3 = 3 . Таким образом, общим решением ЛОДУ будет запись: y 0 = C 1 + C 2 · e 2 x + C 3 · e 3 x , а частные линейно независимые решения это: y 1 = 1 , y 2 = e 2 x , y 3 = e 3 x .
Варьируем произвольные постоянные: y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x .
Чтобы определить C 1 ( x ) , C 2 ( x ) и C 3 ( x ) , составим систему уравнений:
C ' 1 ( x ) · y 1 + C ' 2 ( x ) · y 2 + C ' 3 ( x ) · y 3 = 0 C ' 1 ( x ) · y ' 1 + C ' 2 ( x ) · y ' 2 + C ' 3 ( x ) · y ' 3 = 0 C ' 1 ( x ) · y '' 1 + C ' 2 ( x ) · y '' 2 + C ' 3 ( x ) · y '' 3 = 2 x ⇔ C ' 1 ( x ) · 1 + C ' 2 x · e 2 x ' + C ' 3 ( x ) · y 3 = 0 C ' 1 ( x ) · 1 ' + C ' 2 x · e 2 x ' + C ' 3 ( x ) · e 3 x ' = 0 C ' 1 ( x ) · 1 ' ' + C ' 2 x · e 2 x ' ' + C ' 3 ( x ) · e 3 x ' ' = 2 x ⇔ C ' 1 ( x ) · 1 + C ' 2 x · e 2 x + C ' 3 ( x ) · e 3 x = 0 C ' 1 ( x ) · 0 + C ' 2 ( x ) · 2 e 2 x + C ' 3 ( x ) · 3 e 3 x = 0 C ' 1 ( x ) · 0 + C ' 2 ( x ) · 4 e 2 x + C ' 3 ( x ) · 9 e 3 x = 2 x
Решаем, используя метод Крамера:
∆ = 1 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 0 4 e 2 x 9 e 3 x = 18 e 2 x · e 3 x - 12 e 2 x · e 3 x = 6 e 5 x ∆ C 1 ' ( x ) = 0 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 2 x 4 e 2 x 9 e 3 x = e 5 x · 2 x ⇒ C ' 1 ( x ) = ∆ C 1 ' ( x ) ∆ = e 5 x · 2 x 6 e 5 x = 1 6 · 2 x ∆ C 2 ' ( x ) = 1 0 e 3 x 0 0 3 e 3 x 0 2 x 9 e 3 x = - 3 e x · 2 x ⇒ C ' 2 ( x ) = ∆ C 2 ' ( x ) ∆ = - 3 e 3 x · 2 x 6 e 5 x = - 1 2 · e - 2 x · 2 x ∆ C 3 ' ( x ) = 1 e 2 x 0 0 2 e 2 x 0 0 4 e 2 x 2 x = 2 e 2 x · 2 x ⇒ C ' 3 ( x ) = ∆ C 3 ' ( x ) ∆ = 2 e 2 x · 2 x 6 e 5 x = 1 3 · e - 3 x · 2 x
Интегрируем C ' 1 ( x ) = 1 6 · 2 x с помощью таблицы первообразных, а
C ' 2 ( x ) = - 1 2 · e - 2 x · 2 x и C ' 3 ( x ) = 1 3 · e - 3 x · 2 x при помощи метода интегрирования по частям, получим:
C 1 ( x ) = 1 6 · ∫ 2 x d x = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 C 2 ( x ) = - 1 2 · ∫ e - 2 x · 2 x d x = - 1 2 · e - 2 x · 2 x ln 2 - 2 + C 5 C 3 ( x ) = 1 3 · ∫ e - 3 x · 2 x d x = 1 3 · e - 3 x · 2 x ln 2 - 3 + C 6
Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:
y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x = = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 + - 1 2 · e - 2 x · 2 x ln 2 - 2 + C 5 · e 2 x + + 1 3 · e - 3 x · 2 x ln 2 - 3 + C 6 · e 3 x
Определение и формулы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида:
Если функция , то уравнение (1) называется однородным:
Решение линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2), называется уравнение
![\[a_</p>
<p> k^ +a_ k^ +. +a_ k+a_ =0 \qquad (3)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-898373d079d5b03fc35e3284fba72ef2_l3.jpg)
Пусть ,\; k_ . \; k_" width="103" height="17" />
– различные корни характеристического многочлена (3) кратностей ,\; m_ . \; m_" width="123" height="12" />
соответственно, то есть +m_ +. +m_ =n" width="194" height="15" />
. Тогда функции
![\[x^<t></p>
<p> e^ x> ,\; 1\le j\le r,\; 0\le t\le m_ -1\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-024e2517b50579c50c88ed7d5dd19ebe_l3.jpg)
являются линейно независимыми решениями однородного уравнения (2) и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение этого уравнения является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
– корни его характеристического уравнения
![\[a_</p>
<p> k^ +a_ k+a_ =0 \qquad (5)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e87b203fdc9453a8e32a23428280dd39_l3.jpg)
Решение этого уравнения зависит от значения дискриминанта
![\[D=a_<1></p>
<p>^ -4a_ a_ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2aee8dfae9039255b1cf43141004c5bf_l3.jpg)
Если , то уравнение имеет два различных действительных корня
![\[k_<1,\, 2></p>
<p> =\frac \pm \sqrt > > \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d69e32c0ba3838326f53e914442ef61_l3.jpg)
![\[y\left(x\right)=C_<1></p>
<p> e^ x> +C_ e^ <k_x> \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f179c411799b0ac9112d80f0936d6ca_l3.jpg)
Если , то характеристическое уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня
![\[k_<1></p>
<p> =k_ =k=-\frac > <2a_> \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42ab16466501fe3e226ecbe6e39ba52a_l3.jpg)
и тогда общее решение
![\[y\left(x\right)=\left(C_<1></p>
<p> +C_ x\right)e^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c331bc80c006d9c746dbaa07bc6ce2ef_l3.jpg)
В случае, когда , решением квадратного уравнения (5) есть два комплексно сопряженных корня
![\[k_<1,\, 2></p>
<p> =\alpha \pm \beta i=\frac > > \pm \frac <\sqrt<\left|D\right|>> > i\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b4492ae08c4bd30ffa6153f93bd8a9e_l3.jpg)
И общее решение имеет вид:
![\[y\left(x\right)=e^<\alpha x></p>
<p> \left(C_ \cos \beta x+C_ \sin \beta x\right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a328cd591d6c0beb75e2d88a74e1db3c_l3.jpg)
| Задание | Найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка |
| Решение | Составляем характеристическое уравнение: |
![\[k^<2></p>
<p> -3k-4=0\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b4481b001f68f9786897c25dcd89afd_l3.jpg)
Находим дискриминант полученного квадратного уравнения:
Поскольку дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
![\[k_<1></p>
<p> ,\, _ =\frac<3\pm 5> =\left[\begin \\ \end\right. \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cee6111e368d13149af658c879accf98_l3.jpg)
Тогда искомое решение
![\[y\left(x\right)=C_</p>
<p> e^ x> +C_ e^ <k_x> =C_ e^ +C_ e^ =C_ e^ +C_ e^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78bd8f864e350a893a0d228c1bac0a21_l3.jpg)
Если известно частное решение \left(x\right)" width="81" height="18" />
неоднородного уравнения (1) и \left(x\right),\; y_ \left(x\right). \; y_ \left(x\right)" width="195" height="18" />
– это фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение уравнения (1) задается формулой
![\[y\left(x\right)=y_<odn></p>
<p> \left(x\right)+y_ \left(x\right)=C_ y_ \left(x\right)+C_ y_ \left(x\right)+. +C_ y_ \left(x\right)+y_ \left(x\right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43510d4cf3d3c42f259f57fe0a471c8b_l3.jpg)
– произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции
Принцип суперпозиции. Если функция в правой части неоднородного уравнения (1) состоит из суммы, например, двух функций
![\[f\left(x\right)=f_<1></p>
<p> \left(x\right)+f_ \left(x\right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df425dbb0ee7d75e64f1575c1143b019_l3.jpg)
то и частное решение этого уравнения также состоит из суммы двух функций
![\[y_<chastn></p>
<p> \left(x\right)=y_ \left(x\right)+y_ \left(x\right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b6ba141d32f65007c55cada3a7db4f6_l3.jpg)
где \left(x\right),\; y_ \left(x\right)" width="199" height="18" />
являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями \left(x\right)" width="45" height="18" />
и \left(x\right)" width="45" height="18" />
соответственно.
В случае, когда правая часть является квазимногочленом, то есть имеет вид
![\[f\left(x\right)=e^<\alpha x></p>
<p> \left(P_ \left(x\right)\cos \beta x+Q_ \left(x\right)\sin \beta x\right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f1fbab63a04231366295e06b9c01bb3_l3.jpg)
– заданные многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
![\[y_<chastn></p>
<p> \left(x\right)=e^ \left(M_ \left(x\right)\cos \beta x+N_ \left(x\right)\cos \beta x\right)\cdot x^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-686ff7c53bb9aa6642fddf57bae52ae9_l3.jpg)
где \left(x\right),\; N_ \left(x\right)" width="124" height="18" />
– многочлены степени " width="131" height="19" />
с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой \left(x\right)" width="81" height="18" />
в заданное дифференциальное уравнение и применением метода неопределенных коэффициентов; s – кратностью комплексного числа как корня характеристического уравнения однородного уравнения (2).
В частности, когда правая часть уравнения (1)
![\[f\left(t\right)=P_<n></p>
<p> \left(x\right)e^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4f9b6bdb4b0de6b87d66e14d10259e3_l3.jpg)
то частное решение уравнения ищется в виде
![\[y_<chastn></p>
<p> \left(x\right)=Q_ \left(x\right)e^ \cdot x^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7aa8553f4bba3a45261915c09edbb5c2_l3.jpg)
Здесь \left(x\right)" width="52" height="18" />
– многочлен той же самой степени, что и заданный многочлен \left(x\right)" width="49" height="18" />
с неопределенными коэффициентами, s – кратность a как корня характеристического уравнения (3) однородного уравнения (2).
| Задание | Записать вид частного решения некоторого неоднородного дифференциального уравнения, если его правая часть  , а число есть корнем кратности 4 характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. |
| Решение | Поскольку правая часть представляет собой по структуре произведение экспоненты на многочлен первой степени, то частное решение будем искать в таком же виде. То есть |
![\[y_<chastn></p>
<p> \left(x\right)=\left(Ax+B\right)e^ \cdot x^ \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ffcb18b64c6bf5d12d6f608f1f1f9e03_l3.jpg)
В данном случае , поскольку значение – корень кратности 4 характеристического уравнения.
Читайте также: