Квазигруппа это кратко и понятно

Обновлено: 02.07.2024

Квазигруппа с элементом идентичности называется петлей .

СОДЕРЖАНИЕ

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой. [1] Начнем с первого определения.

Квазигруппа ( Q *) является непустым множество Q с бинарной операцией * (то есть, магма ), повинуясь латинским квадратом собственности . Это означает, что для каждого a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = Ь , y ∗ a = b

держать. (Другими словами: каждый элемент набора встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечной группа, представляет собой латинский квадрат .) Требование уникальности может быть заменено требованием, чтобы магма была компенсирующей . [2]

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым и правым делением .

Пустое множество оснащены порожней бинарной операция удовлетворяет это определение квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее. [3] [4]

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество - это уравнение, в котором все переменные неявно универсально определены количественно и в котором все операции относятся к примитивным операциям, свойственным структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются многообразиями . Многие стандартные результаты универсальной алгебры верны только для многообразий. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

Квазигруппа ( Q , *, \, /) представляет собой тип (2,2,2) алгебры (т.е. оборудовано три бинарных операций) , удовлетворяющие тождества:

у = х * ( х \ у ), у = х \ ( х * у ), у = ( у / х ) * х , у = ( у * х ) / х .

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, с одной и той же стороны одним и тем же элементом, не имеют общего эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) - квазигруппа согласно первому определению, то ( Q , ∗, \, /) - та же квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) - квазигруппа в смысле универсальной алгебры, то ( Q , ∗) - квазигруппа в соответствии с первым определением.

Петля является квазигруппой с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

х * е = х и е * х = х для всех х в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левый и правый обратные (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Ассоциативный цикл - это группа. Группа может иметь неассоциативный изотоп пике, но не может иметь неассоциативный петлевой изотоп.

Есть более слабые свойства ассоциативности, которым были даны специальные имена.

Например, петля Бола - это петля, удовлетворяющая либо:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z для любых x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для любых x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Петля, которая является как левой, так и правой петлей Бола, называется петлей Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих единственных тождеств Муфанг, выполняемых для всех x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z , z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x , ( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), или ( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Смит (2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Квазигруппа полусимметрична, если выполняются следующие эквивалентные тождества:

ху = у / х , ух = х \ у , х = ( ух ) у , х = у ( ху ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q Δ на кубе прямого произведения Q 3 с помощью следующей операции:

Более узкий класс, который является полностью симметричной квазигруппой (иногда сокращенно TS-квазигруппой ), в которой все сопряженные элементы совпадают как одна операция: xy = x / y = x \ y . Другой способ определения (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы - это полусимметричная квазигруппа, которая также является коммутативной, т.е. xy = yx .

Идемпотентный всего симметричные квазигруппы точно (т.е. в биекции с) Steiner троек , поэтому такой квазигруппой также называют квазигруппу Steiner , а иногда и последний даже сокращенно squag ; термин sloop определяется аналогично для квазигруппы Штейнера, которая также является петлей. Без идемпотентности полные симметрические квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера , также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Квазигруппа ( Q , ∗) называется вполне антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q выполняются обе следующие импликации: [5]

Он называется слабо тотально антисимметричным, если выполняется только первая импликация. [5]

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Каждая группа является петлей, потому что a ∗ x = bтогда и только тогда, когдаx = a −1 ∗ b , и y ∗ a = b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a −1 .
Целые числаZ с вычитанием (-) образуют квазигруппу.
Ненулевые рациональные числаQ × (или ненулевые действительные числаR × ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
Любое векторное пространство над полем из характеристики не равно 2 образует идемпотент , коммутативную квазигруппу при операции х * Y = ( х + у ) / 2 .
Каждая тройная система Штейнера определяет идемпотент , коммутативное квазигруппу: * Ь является третьим элементом тройного содержащим и б . Эти квазигруппы также удовлетворяют ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера . [6]
Множество , где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими продуктами, такими как в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. Применение гиперболических кватернионов . (Сами по себе гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы - это особый тип петель, известный как петля Муфанг .
Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если есть хотя бы один элемент, существование инверсии и ассоциативности подразумевает существование идентичности.
Следующая конструкция принадлежит Гансу Цассенхаусу . На нижележащем множестве четырехмерного векторного пространстваF 4 над 3-элементным полем ГалуаF = Z / 3 Z определим

В более общем смысле, множество ненулевых элементов любой алгебры с делением образуют квазигруппу.

Квазигруппы обладают свойством отмены : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L ( x ), R ( y ): Q → Q , определенные формулой

Определение говорит , что оба отображения биекциями от Q к себе. Магма Q является квазигруппой в точности тогда, когда все эти операторы для любого x из Q взаимно однозначны. Обратные отображения - это левое и правое деление, то есть

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (указанные в разделе об универсальной алгебре ) следующие:

где 1 обозначает тождественное отображение Q .

Латинский квадрат, таблица умножения без границ для квазигруппы, 10 элементов которой представляют собой цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы - это латинский квадрат : таблица размера n × n, заполненная n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат может быть взят как таблица умножения квазигруппы многими способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничный столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любой перестановкой элементов. См. Маленькие латинские квадраты и квазигруппы .

Для счетно бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствует некоторому элементу q из Q , и где элемент a * b находится в строке, соответствующей a, а столбец отвечает на b . В этой ситуации свойство Latin Square также говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будет содержать все возможные значения ровно один раз.

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

Говорят, что цикл имеет ( двусторонний ) обратный, если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается . x λ = x ρ =x^> x − 1 >

Есть несколько более сильных понятий инверсии в циклах, которые часто полезны:

Цикл имеет левое обратное свойство if для всех и . Эквивалентно, или . x λ ( x y ) = y (xy)=y> x y L ( x ) − 1 = L ( x λ ) =L(x^<\lambda >)> x ∖ y = x λ y y>
Цикл имеет право обратное свойство, если для всех и . Эквивалентно, или . ( y x ) x ρ = y =y> x y R ( x ) − 1 = R ( x ρ ) =R(x^)> y / x = y x ρ <\displaystyle y/x=yx^>
Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством if или, что то же самое, if . ( x y ) λ = y λ x λ =y^<\lambda >x^<\lambda >> ( x y ) ρ = y ρ x ρ <\displaystyle (xy)^=y^x^>
Цикл имеет слабое обратное свойство , когда тогда и только тогда . Это может быть указано в обратном порядке или эквивалентно . ( x y ) z = e x ( y z ) = e ( x y ) λ x = y λ x=y^<\lambda >> x ( y x ) ρ = y ρ <\displaystyle x(yx)^=y^>

Цикл имеет обратное свойство, если он имеет как левое, так и правое обратное свойство. Петли с обратными свойствами также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любая петля, удовлетворяющая любым двум из четырех тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет левым, правым или антиавтоморфным обратным свойствам, автоматически имеет двусторонние обратные.

Квазигруппа или гомоморфизм петель - это отображение f : Q → P между двумя квазигруппами такое, что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также элементы идентичности (если они существуют).

Пусть Q и P - квазигруппы. Квазигруппой Гомотопический из Q в Р есть тройка (α, β, γ) отображений из Q в Р такой , что

α ( x ) β ( y ) = γ ( x y )

для всех х , у в Q . Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия гомотопия , для которой каждая из трех карт (α, β, у) является взаимно однозначное соответствие . Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия (α, β, γ) задается перестановкой строк α, перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ.

Autotopy изотопия от квазигруппы к себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, таким образом, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на R с умножением ( x + y ) / 2 изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама не является группой. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брука – Тойоды .

П - ичная квазигруппа представляет собой набор с п -ичными операциями , ( Q , е ) с ф : Q п → Q , таким , что уравнение F ( х ₁ , . х _п ) = у имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадическое или множественное число означает n -аричное для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арна или нульарная , квазигруппа просто постоянный элемент Q . 1-арная или унарная квазигруппа - это биекция Q самой себе. Бинарная , или 2-ичный, квазигруппа является обычной квазигруппой.

Примером множественной квазигруппы является итерационная групповая операция y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Можно также сформировать многоарную квазигруппу, выполнив любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют многомерные квазигруппы, которые нельзя представить ни одним из этих способов. П -ичный квазигруппа неприводимым , если его работа не может быть учтены в составе двух операций следующим образом:

где 1 ≤ i j ≤ n и ( i, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; см. подробности в Akivis and Goldberg (2001).

П -ичная квазигруппа с п -ичной версией ассоциативности называется п-арной группы .

Правая квазигруппа ( Q , *, /) представляет собой тип (2,2) алгебра , удовлетворяющие оба тождество: у = ( у / х ) * х ; у = ( у * х ) / х .

Аналогично, левая квазигруппа ( Q , ∗, \) - это алгебра типа (2,2), удовлетворяющая обоим тождествам: y = x ∗ ( x \ y ); у = х \ ( х * у ).

Количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ) указано здесь: [8]

Квазигруппа возникающая непреднамеренно и Спонтанно социальная группа, в которой отсутствуют устойчивые ожидания и осознанное понимание противоположности своих интересов и целей интересам и целям другой (других) группы.

Энциклопедический словарь по психологии и педагогике . 2013 .

Смотреть что такое "Квазигруппа" в других словарях:

Квазигруппа — (социология) Квазигруппа (математика) Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из … Википедия

КВАЗИГРУППА — англ. quasi group; нем. quasi Gruppe. Бесструктурное, неорганизованное скопление людей, к рое при определенных условиях может превратиться в группу, но в данный момент таковой не является. см. АГРЕГАТ, ТОЛПА. Antinazi. Энциклопедия социологии,… … Энциклопедия социологии

КВАЗИГРУППА — множество с одной бинарной операцией (наз. обычно умножением), в к ром каждое из уравнений ах=Ь и уа=Ь имеет единственное решение для любых элементов а, b этого множества. К. с единицей наз. лупой. К. естественное обобщение понятия группы. К.… … Математическая энциклопедия

КВАЗИГРУППА — англ. quasi group; нем. quasi Gruppe. Бесструктурное, неорганизованное скопление людей, к рое при определенных условиях может превратиться в группу, но в данный момент таковой не является. См. АГРЕГАТ, ТОЛПА … Толковый словарь по социологии

Квазигруппа (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Квазигруппа. Квазигруппа магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной[1]. Определения и свойства Квазигруппой называют пару (Q, *) … Википедия

Правая квазигруппа — В абстрактной алгебре, квазигруппа это алгебраическая структура, напоминающая группу тем, что в ней всегда возможно деление. В отличие от групп, квазигруппа не обязана быть ассоциативной. Определения и свойства Квазигруппой называют пару (Q, *)… … Википедия

ЛУПА — квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом е, что хе=ех=х для любого элемента хиз квазигруппы. Значение Л. в теории квазигрупп определяется следующей теоремой: всякая квазигруппа изотопна (см. Изотония).нек рой Л. Поэтому одной из основных… … Математическая энциклопедия

ДИСТАЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — такая динамическая система с метрич. фазовым пространством X, что для любых точек нижняя грань расстояний Если в нек рой динамич. системе какая либо пара точек обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким… … Математическая энциклопедия

Алгебраическая система — (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений… … Википедия

Лупа (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Лупа (значения). Лупа квазигруппа с единицей, то есть с таким элементом , что для любого элемента из квазигруппы. Значение луп в теории квазигрупп определяется следующей теоремой: всякая… … Википедия

В математика, особенно в абстрактная алгебра, а квазигруппа является алгебраическая структура напоминающий группа в том смысле, что "разделение"всегда возможно. Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что они не обязательно ассоциативный.

Квазигруппа с единичным элементом называется петля.

Содержание

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Квазигруппу определяют как набор с одним бинарная операция, а другой - от универсальная алгебра, определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. В гомоморфный изображение квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, однако, не обязательно должна быть квазигруппой. [1] Начнем с первого определения.

Алгебра

А квазигруппа (Q, ∗) непустой набор Q с бинарной операцией ∗ (т.е. магма), подчиняясь Латинская площадь собственности. В нем говорится, что для каждого а и б в Q, существуют уникальные элементы Икс и у в Q так что оба

а ∗ Икс = б, у ∗ а = б

держать. (Другими словами: каждый элемент набора встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы, или Стол Кэли. Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечной группы, является Латинский квадрат.) Требование уникальности можно заменить требованием, чтобы магма была отменяющий. [2]

Единственные решения этих уравнений записываются Икс = а \ б и у = б / а . Операции '' и '/' называются соответственно оставили и верно разделение.

В пустой набор оснащен пустая двоичная операция удовлетворяет этому определению квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее. [3] [4]

Универсальная алгебра

Учитывая некоторые алгебраическая структура, личность это уравнение, в котором все переменные неявно универсально определяемый, и в котором все операции относятся к числу примитивных операций, присущих структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются разновидности. Многие стандартные результаты в универсальная алгебра держаться только за разновидности. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

А квазигруппа (Q, ∗, \, /) является алгеброй типа (2,2,2) (т.е. оснащенной тремя бинарными операциями), удовлетворяющей тождествам:

у = Икс ∗ (Икс \ у), у = Икс \ (Икс ∗ у), у = (у / Икс) ∗ Икс, у = (у ∗ Икс) / Икс.

Следовательно, если (Q, ∗) является квазигруппой согласно первому определению, то (Q, ∗, \, /) та же квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если (Q, ∗, \, /) является квазигруппой в смысле универсальной алгебры, то (Q, ∗) является квазигруппой согласно первому определению.

Квазигруппа с элементом идентичности называется петлей .

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой. Начнем с первого определения.

Алгебра

Квазигруппа ( Q , *) является непустым множеством Q с бинарной операцией * (то есть, магма , указывая , что quasigoup должен удовлетворять замкнутости), повинуясь латинским квадратом собственности . Это означает, что для каждого a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = Ь , y ∗ a = b

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым делением и правым делением .

Универсальная алгебра

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество - это уравнение, в котором все переменные неявно универсально количественно определены и в котором все операции относятся к примитивным операциям, свойственным структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются многообразиями . Многие стандартные результаты универсальной алгебры верны только для многообразий. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

у = х * ( х \ у ), у = х \ ( х * у ), у = ( у / х ) * х , у = ( у * х ) / х .

Петли

Петля является квазигруппой с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

х * е = х и е * х = х для всех х в Q .

Есть более слабые свойства ассоциативности, которым были даны специальные имена.

Например, петля Бола - это петля, удовлетворяющая либо:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z для любых x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для любых x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Симметрии

Смит (2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа полусимметрична, если выполняются следующие эквивалентные тождества:

х * у = у / х , у * х = х \ у , х = ( у * х ) * у , х = у * ( х * у ).

Триальность

Полная симметрия

Более узкий класс - это полностью симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа ), в которой все сопряженные совпадают как одна операция: x ∗ y = x / y = x \ y . Другой способ определения (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы - это полусимметричная квазигруппа, которая также является коммутативной, т. Е. X ∗ y = y ∗ x .

Идемпотентные тотальные симметрические квазигруппы - это в точности (т. Е. В биекции с) тройки Штейнера , поэтому такую квазигруппу также называют квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают как сквог ; термин sloop определяется аналогично для квазигруппы Штейнера, которая также является петлей. Без идемпотентности полные симметрические квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера , также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа ( Q , ∗) называется вполне антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q выполняются обе следующие импликации:

Он называется слабо тотально антисимметричным, если выполняется только первая импликация.

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры

Каждая группа является петлей, потому что a ∗ x = bтогда и только тогда, когдаx = a −1 ∗ b , и y ∗ a = b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a −1 .
Целые числаZ (или рациональныеQ или действительные числаR ) с вычитанием (-) образует квазигруппа. Эти quasiqroups не являются петли , так как не существует единичный элемент (0 является правой единицей , так как - 0 = , но не потому , что левая единица, в общем, 0 - ≠ ).
Ненулевые рациональные числа Q × (или ненулевые действительные числа R × ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
Любое векторное пространство над полем из характеристики не равно 2 образует идемпотент , коммутативную квазигруппу при операции х * Y = ( х + у ) / 2 .
Каждая тройная система Штейнера определяет идемпотент , коммутативное квазигруппу: * Ь является третьим элементом тройного содержащим и б . Эти квазигруппы также удовлетворяют ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера .
Множество , где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими продуктами, такими как в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. Применение гиперболических кватернионов . (Сами по себе гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы - это особый тип петель, известный как петля Муфанг .
Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если существует хотя бы один элемент, обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование элемента идентичности, который затем подразумевает существование обратных элементов, таким образом удовлетворяя всем трем параметрам. требования группы.
Следующая конструкция принадлежит Гансу Цассенхаусу . На нижележащем множестве четырехмерного векторного пространстваF 4 над 3-элементным полем ГалуаF = Z / 3 Z определим

В более общем смысле ненулевые элементы любой алгебры с делением образуют квазигруппу.

Характеристики

Свойство латинского квадрата квазигрупп означает, что для любых двух из трех переменных в xy = z третья переменная определяется однозначно.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L _x , R _x : Q → Q , определенные формулой

L Икс L Икс - 1 знак равно 1 соответствующий Икс ( Икс ∖ у ) знак равно у L Икс - 1 L Икс знак равно 1 соответствующий Икс ∖ ( Икс у ) знак равно у р Икс р Икс - 1 знак равно 1 соответствующий ( у / Икс ) Икс знак равно у р Икс - 1 р Икс знак равно 1 соответствующий ( у Икс ) / Икс знак равно у L_ L_ ^ & = 1 \ qquad & > \ qquad x (x \ backslash y) & = y \\ L_ ^ L_ & = 1 \ qquad & > \ qquad x \ backslash (xy) & = y \\ R_ R_ ^ < -1>& = 1 \ qquad & > \ qquad (y / x) x & = y \\ R_ ^ R_ & = 1 \ qquad & > \ qquad (yx) / x & = y \ end >>

где 1 обозначает тождественное отображение Q .

Латинские квадраты

Бесконечные квазигруппы

Для несчетно бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата все еще сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, для которого бесконечный массив расширяется, поскольку действительные числа не могут быть записаны последовательно . (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа могут быть записаны в виде последовательности длины , предполагая теорему о правильном упорядочивании.) c >>

Обратные свойства

Бинарная операция квазигруппы обратима в том смысле, что оба и , левый и правый операторы умножения биективны и, следовательно, обратимы . L Икс > р Икс >

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

Говорят, что цикл имеет ( двусторонний ) обратный, если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается . Икс λ знак равно Икс ρ = х ^ > Икс - 1 >

Есть несколько более сильных понятий инверсии в циклах, которые часто бывают полезны:

Цикл имеет левое обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или . Икс λ ( Икс у ) знак равно у (ху) = у> Икс у L Икс - 1 знак равно L Икс λ ^ = L_ >> Икс ∖ у знак равно Икс λ у y>
Цикл имеет право обратное свойство if для всех и . Эквивалентно или . ( у Икс ) Икс ρ знак равно у = y> Икс у р Икс - 1 знак равно р Икс ρ ^ = R_ >> у / Икс знак равно у Икс ρ >
Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством if или, что то же самое, if . ( Икс у ) λ знак равно у λ Икс λ = у ^ х ^ > ( Икс у ) ρ знак равно у ρ Икс ρ = у ^ х ^ >
Цикл имеет слабое обратное свойство , когда тогда и только тогда . Это может быть указано в обратном порядке или эквивалентно . ( Икс у ) z знак равно е Икс ( у z ) знак равно е ( Икс у ) λ Икс знак равно у λ х = у ^ > Икс ( у Икс ) ρ знак равно у ρ = y ^ >

Цикл имеет обратное свойство, если он имеет как левое, так и правое обратное свойство. Петли с обратными свойствами также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любая петля, удовлетворяющая любым двум из четырех приведенных выше тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Морфизмы

Гомотопия и изотопия

α ( Икс ) β ( у ) знак равно γ ( Икс у )

для всех х , у в Q . Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Спряжение (парастроф)

Изострофа (паратопия)

Обобщения

Полиадические или многомерные квазигруппы

П - ичная квазигруппа представляет собой набор с п -ичными операциями , ( Q , е ) с ф : Q п → Q , таким , что уравнение F ( х ₁ , . х _п ) = у имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадический или множественный означает n -аричный для некоторого неотрицательного целого числа n .

ж ( Икс 1 , … , Икс п ) знак равно грамм ( Икс 1 , … , Икс я - 1 , час ( Икс я , … , Икс j ) , Икс j + 1 , … , Икс п ) , , \ dots, x_ ) = g (x_ , \ dots, x_ , \, h (x_ , \ dots, x_ < j>), \, x_ , \ dots, x_ ),>

где 1 ≤ i и ( i, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; см. подробности в Akivis and Goldberg (2001).

П -ичная квазигруппа с п -ичной версией ассоциативности называется п -ичной группы .

Правые и левые квазигруппы

Количество малых квазигрупп и петель

Здесь указано количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ):

Читайте также: