Квантовая теория электропроводности металлов кратко
Обновлено: 02.07.2024
Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.
Электронная теория Друде-Лоренца
Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.
Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют "электронный газ".
Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ .
Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.
Приведем основные положения теории Друде:
- Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
- Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
- Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1 τ .
- Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.
Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.
В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.
Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.
Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.
Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.
Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:
Здесь k - постоянная Больцмана, T - температура металла, m - масса электрона.
При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц "электронного газа" накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u . Величину этой скорости можно оценить из соотношения:
где j - плотность тока, n - концентрация свободных электронов, q - заряд электрона.
При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз ( ≈ 10 8 ) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что
Формула Друде
Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:
Здесь m * - эффективная масса электрона, τ - время релаксации, то есть время, за которое электрон "забывает" о том, в какую сторону двигался после соударения.
Друде вывел закон Ома для токов в металле:
Опыт Толмена и Стюарта
В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.
Суть опыта была в следующем.
Опыт Толмена и Стюарта
Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.
Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v ' (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.
Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E = - m v ' q . Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:
ε = ∫ L E d l = - m v ' q ∫ L d l = - m v ' q L
Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время d t :
d q = I d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R
Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:
q = - m L q R ∫ v 0 0 d v = - m L v 0 q R
Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение q m соответствовало отношению заряда электрона к его массе.
При T = 300 К вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.
Процесс электропроводности металлов возможно рассмотреть с квантовой точки зрения. Известно, что при объединении атомов в определенную кристаллическую решетку наблюдается постепенное снижение высоты всех стенок основного барьера, расположенного вокруг ядра каждого атома. При этом динамично движущиеся валентные электроны начинают перемещаться по всему кристаллу, а элементы внутренних оболочек не покидают своих позиций и остаются на своих местах.
Рисунок 1. Электропроводимость металлов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Квантовая теория электропроводности металлов - гипотеза электропроводности, которая основывается на принципах квантовой механики и статистике Ферми - Дирака.
Такое предположение отодвинуло закон Больцмана на последнее место, так как его теория была абсолютно не применима к электронам проводимости металла. На самом деле, указанный закон гласит, что общее количество частиц газа, которые находятся в состоянии равновесия, определяется формулой, не имеющей никаких ограничений на число электронов. Все элементы этой системы должны иметь нулевую энергию.
Согласно научной работе Паули, каждый подуровень в электропроводности металлов может содержать только два электрона. Таким образом, надо отказаться от учений Больцмана и найти для электронов проводимости иной статистический закон.
Сверхпроводимость металлов в квантовой физике
В сфере действия низких температур возникает процесс сверхпроводимости в виде резкого падения общего сопротивления материала. Впервые данное явление было обнаружено в начале 1911 года Камерлингом-Оннесом для определения значения ртути при температуре 4.2 К.
Готовые работы на аналогичную тему
Экспериментально сверхпроводимость металлов осуществляется двумя способами:
- включив в металлическую цепь звено из сверхпроводника, где в момент перехода в сверхпроводящее условие отличие потенциалов на концах каждого участка будет равна нулю;
- разместив кольцо из сверхпроводника в параллельное к нему электромагнитное поле и охладив элемент ниже температуры перемещения в сверхпроводящее состояние, выключают поле.
В итоге в кольце начинает постепенно индуцироваться незатухающий электрический ток, циркуляция которого может длиться бесконечно долго. Такой научный эксперимент подтвердил, что кольцо необходимо поддерживать при определенной температуре, в результате чего ток в нем будет наблюдаться как минимум в течение двух лет.
Для сверхпроводящего состояния вещества, кроме отсутствия электрического сопротивления, присущ так называемый принцип Мейснера: вытеснение магнитного поля из общего объема действующего проводника.
Теория сверхпроводимости металлов была представлена общественности и научному миру в 1957 году Купером, Бардиным и Шиффером. Проведенные на сегодняшний день экспериментальные исследования только подтверждают эту гипотезу. Основная суть ее состоит в следующем: в металле между электронами появляется особый вид напряжение, помимо интенсивности работы кулоновского отталкивания. При крайне низких температурах эта гравитация оказывается значительно сильнее самого отодвигания. В итоге все свободные электроны объединяются в куперовские пары, представляющие собой бозон.
Распределение Ферми-Дирака
При температуре абсолютного нуля в каждом из возможных состояний, энергия которых ниже силы Ферми для определенного металла, можно обнаружить один электрон; в самих процессах электронов нет. Поэтому функция группирования электронов по энергиям равняется вероятности пребывания элемента в состоянии с конкретной энергией.
Для того, чтобы обнаружить эту функцию при температуре выше абсолютного нуля, необходимо изучить неупругие соединения электрона с атомом, расположенном в стабильном узле кристаллической решетки.
Вероятность столкновения электронов, в результате которого элемент трансформируется в состояние с энергией, а атом – в положение с нулевой энергией, пропорциональна:
- возможности пребывания электрона в состоянии с теплоэнергией;
- допустимость того, что положение электрона в атоме свободно;
- вероятности того, что атом металла находится в том же энергетическом состоянии.
Обратный процесс может возникнуть, если энергия атома начнет уменьшаться, а сила электрона увеличиваться при пребывании данного элемента в состоянии с нулевой энергией. Следовательно, в металлах средняя активность теплового движения электронов равна общей энергии Ферми, которая поглощается при температурах примерно 30000 К.
Поэтому коэффициент температуры плавления электронного газа в металлах можно считать вырожденным, так как в проводимых металлах концентрация свободных электронов будет значительно меньше, чем в других материалах. Из этого получается, что уже при комнатной температуре в полупроводниках электронный газ будет невырожденным, полностью подчиняющимся закону Больцмана.
Движение электронов в кристаллической решетке
В действительной кристаллической решетке часто имеются неоднородности, которыми могут быть разнообразные примеси, обусловленные тепловыми колебаниями.
Простейшая квантовая теория электропроводности металлов
В пределах квантово-механической теории перемещение электронов в металле представляет собой распространение их дебройлевских волн. При этом свет проходит исключительно через мутную среду и определяет сам процесс рассеяния, которое приводит к уменьшению интенсивности определенного пучка. Для возникновения распределения энергии необходимо, чтобы все частицы макросреды находились на расстояниях, сравнимых с длиной волны.
Длина дебройлевской волны электрона всегда участвует в токе проводимости. Расчеты ученых показывают, что общая скорость стабильного движения электронов в конкретном металлическом проводнике характеризуется величиной примерно в 0,1 мм/с. Определив количественные значения в формулу можно определить, что длина волны равняется приблизительно 7 м. другими словами, металлический проводник с наилучшей кристаллической решеткой не обладает электрическим сопротивлением.
Нарушение установленной и строгой периодичности размещения атомов напрямую связано с различного рода изъянами – вакансиями, бесконтрольными примесями других химических элементов, дислокациями и многочисленными тепловыми колебаниями атомов. Следует иметь в виду, что в классической теории электрическое внешнее поле приводит в урегулирование движение все свободные элементы металла, в то время как в квантовой гипотезе ток проводимости возникает только при действии тех электронов, энергия которых близка к уровню Ферми.
Электроны проводимости в металле образуют идеальный газ. Электроны являются фермионами с полуцелым спином, для них выполняется принцип Паули: в одном состоянии не может быть два электрона с четырьмя одинаковыми квантовыми числами. Эти электроны должны отличаться хотя бы магнитным спиновым квантовым числом, т.е. спины электронов направлены противоположно.
При температуре 0 К электроны занимают нижние квантовые состояния, по два электрона с одинаковой энергией, но противоположно направленными спинами.
Рис. 22.3.1 Рис. 22.3.2
Высший уровень, занятый электронами при Т = 0, называется уровнем Ферми, а соответствующая ему энергия – энергией Ферми. Энергией Ферми называется максимальная кинетическая энергия электронов в металле при температуре 0 К (рис. 21.3.1).
С ростом температуры выше 0 К энергия электронов увеличивается и они начинают переходить в состояния с большей энергией (рис. 21.3.2).
По квантовой теории электропроводимость металлов имеет почти такой же вид, как в классической физике
- средняя длина свободного пробега электронов, имеющих энергию Ферми; - средняя скорость теплового движения таких электронов.
По квантовой теории движению электронов можно сопоставить волновой процесс. В идеальной кристаллической решетке нет дефектов, т.е. существует идеальная периодичность в расположении атомов в узлах и атомы неподвижны. В этом случае электронные волны не рассеиваются, огибая узлы, поэтому нет сопротивления электрическому току.
В реальной кристаллической решетке всегда есть дефекты и тепловые колебания атомов в узлах. Происходит рассеяние электронных волн на неоднородностях и атомах, возникает сопротивление.
По классической теории скорость электронов пропорциональна
Удельное сопротивление равно , удельная проводимость обратно пропорциональна скорости электронов (22.3.1), поэтому сопротивление металла пропорционально , что не подтверждается экспериментально.
Сопротивление металла, как следует из эксперимента, зависит от температуры по шкале Цельсия линейно
или сопротивление металла пропорционально абсолютной температуре в первой степени
По квантовой теории средняя скорость электронов не зависит от температуры, т.к. уровень Ферми (энергия Ферми EF) не изменяется.
С ростом температуры усиливаются тепловые колебания атомов в узлах кристаллической решетки.
Поэтому увеличивается рассеяние электронных волн на решетке, уменьшается средняя длина пробега молекул , т.к. она обратно пропорциональна температуре
Уменьшение длины свободного пробега приводит в соответствии с формулой (22.3.1) к уменьшению проводимости значит, сопротивление металла возрастает. Таким образом получаем: сопротивление металла пропорционально его температуре в первойстепени Т, что совпадает с экспериментом.
Сверхпроводимость
При низких температурах у металлов наблюдается сверхпроводимость (сопротивление становится равным нулю). Явление сверхпроводимости открыл Г. Камерлинг-Оннес в 1911 году (нобелевская премия 1913 г.). Он наблюдал уменьшение до нуля сопротивления ртути при температуре Тс = 4,1 К (рис. 22.4.1).
Сверхпроводимость наблюдается у ртути, алюминия, олова, свинца, таллия и др.
При сверхпроводимости ток может идти миллионы лет.
Для золота, серебра, платины, меди, щелочных и щелочноземельных элементов, ферромагнетиков сверхпроводимость не наблюдается.
Квантовую теорию сверхпроводимости разработали Д. Бардин, Л. Купер и Д. Шриффер в 1957 г. (нобелевская премия 1972 г.).
При сверхпроводимости магнитное поле в проводник равно нулю, т.е. оно вытесняется из сверхпроводника. Это явление называется эффект В. Мейснера (1933 г.). Сверхпроводник является идеальным диамагнетиком с магнитной проницаемостью равной нулю μ = 0.
Сверхпроводимость получают двумя способами.
1. Подключают металл в электрическую цепь, а затем его температуру уменьшают до критической, когда наступает сверхпроводимость. Падение напряжения на сверхпроводнике становится равным нулю.
2. Во втором способе кольцо из сверхпроводника охлаждают до критической температуры и помещают в магнитное поле, которое затем выключают. Электромагнитная индукция приводит к возникновению тока.
Сильное магнитное поле или сильный ток разрушают сверхпроводимость.
По квантовой теории сверхпроводимости электроны тока деформируют кристаллическую решетку, т.е. смещают положительно заряженные узлы решетки.
В результате кроме кулоновских сил отталкивания между двумя электронами появляются силы притяжения и возникают куперовские пары. Размер куперовской пары составляет несколько межатомных расстояний. Спины электронов куперовской пары направлены противоположно, поэтому спин такой системы равен нулю.
Куперовская пара является бозоном. Эти пары движутся в металле без сопротивления, наблюдается сверхпроводимость. При температуре выше критической температуры энергии теплового движения становится достаточно для разрушения куперовских пар, появляется сопротивление.
В 1986 г. Дж. Беднорц и К. Мюллер открыли высокотемпературную сверхпроводимость у металлооксидных керамик при Т = 35 К (нобелевская премия 1987 г.).
Металлооксидные керамики изготовляют в лаборатории, в природе их нет. При температуре выше критической они могут проявлять свойства полупроводников или диэлектриков.
Сверхпроводимость удается получать при температуре 138 К, а при высоких давлениях даже при 166 К.
Эффект Джозефсона
В 1962 г. Б. Джозефсон предсказал явление, которое назвали эффектом Джозефсона (нобелевская премия 1973 г.).
В электрическую цепь с постоянной ЭДС включают два сверхпроводника, разделенных диэлектриком толщиной 1 нм. Ток проходит через диэлектрик. Это явление называется эффектом Джозефсона. Электроны проходят через диэлектрик благодаря туннельному эффекту.
Различают стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона.
А. При стационарном эффекте, когда сила тока не больше критического значения I ≤ Iкр, падение напряжения на контакте (диэлектрике) равно нулю.
Из соотношения = 0 следует, что сопротивление равно нулю, т.е. наблюдается сверхпроводимость.
Б. Эффект называется нестационарным, когда сила тока больше критического значения I > Iкр. В контакте возникает падение напряжения U, и контакт излучает электромагнитные волны.
Механизм излучения заключается в следующем.
При сверхпроводимости электроны образуют куперовские пары.
Эта пара зарядов проходит через контакт и получает дополнительную энергию . Возвращаясь в основное состояние, куперовская пара излучает полученную ранее энергию в виде кванта электромагнитной волны
Частота излучения равна
Эффект Джозефсона применяют для точного измерения очень слабых магнитных полей (10 - 18 Тл), токов (10 - 10 А) и напряжений (10 - 15 В).
Лекция 23
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.005)
Электрический ток в металлах – результат упорядоченного движения электронов. Электрическое сопротивление как в классической, так и в квантовой теории объясняется взаимодействием электронов проводимости с кристаллической решёткой, при котором электроны теряют часть своей энергии. Но характер взаимодействия в классической и квантовой теории рассматривается различным образом.
По классической теории:электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки и отдают ей часть своей энергии – этим обусловлено электрическое сопротивление металлов. Классическая теория принимает длину свободного пробега электронов равной параметру решеткиd(d 10 -10 м).
По квантовой теории:электроны обладают волновыми свойствами, а их упорядоченное движение рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля в периодической среде. Длина волны де Бройля определяется известной формулой:
. (3.27)
Электрическое сопротивление объясняется рассеиванием электронных волн.
Рассмотрим идеальную кристаллическую решётку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Так как длина волны де Бройля электронов больше периода решётки: , то такая решётка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление в этом случае должно быть равно нулю.
Рассеивание электронных волн происходит лишь на искажениях периодичности решётки. Такие искажения периодичности возникают в реальных кристаллах
за счёт тепловых колебания узлов решётки около положения равновесия при T > 0;
за счёт структурных дефектов: примесных атомов, вакансий, дислокаций и так далее.
Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания электронных волн и являются причиной электрического сопротивления.
Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.
Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме
, (3.28)
где - удельная проводимость;- плотность тока в данной точке;- напряженность электрического поля.
Для удельной проводимости было получено следующее выражение:
. (3.29)
Здесь - средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми,- скорость этого электрона,m - его масса.
Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов:
. (3.30)
В этом выражении - средняя длина свободного пробега электрона,- средняя скорость его теплового движения.
Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, апрактически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а следовательно, и скорость остаются практически неизменными.
Расчёт показывает, что средняя длина свободного пробега зависит от температуры по закону:
. (3.31)
Такие представления позволяют объяснить наблюдаемую экспериментально температурную зависимость удельной проводимостии удельного сопротивления:
,,
что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.
На рис.3.6 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлениюост , обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.
Читайте также: