Кратко умножение многочлена на многочлен

Обновлено: 19.05.2024

Ключевые слова конспекта: произведение многочленов, умножение одночлена на многочлен, умножение многочлена на многочлен.

1. Умножение одночлена на многочлен

Пусть требуется умножить одночлен 2а 3 на многочлен 3а 4 – 4а 2 + а.
Составим произведение 2а 3 (3а 4 – 4а 2 + а).

Из распределительного свойства умножения следует: для того чтобы число умножить на сумму, надо умножить его на каждое слагаемое и результаты сложить. Воспользовавшись распределительным свойством умножения, преобразуем составленное произведение:
2а 3 (3а 4 – 4а 2 + а) = 2а 3 • 3а 4 – 2а 3 • 4а 2 + 2а 3 • а = 6а 7 – 8а 5 + 2а 4 .

При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:

чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

В рассмотренном примере мы представили произведение одночлена и многочлена в виде многочлена. Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. Причём степень произведения будет равна сумме степеней одночлена и данного многочлена.

Пример 1. Умножим одночлен –3ху на многочлен 2х 2 у + 4ху 2 – 1.
Имеем:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –3ху • 2х 2 у + (–3ху) • 4ху 2 + (–3ху) • (–1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.

Запись можно вести короче, не выписывая промежуточные результаты:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.

Пример 2 . Упростим выражение 4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4).

Каждое из произведений преобразуем в многочлен и сложим полученные многочлены:
4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4) = 8а 2 + 20а + 6а 2 – 2а – 3а 2 + 6а = 11а 2 + 24а.

2. Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется умножить многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
(а + b)(c + d).

Обозначим двучлен а + b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.

В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)c + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.

Этот же результат для положительных а, b, с, d можно увидеть на рисунке, интерпретируя, вслед за Евклидом, произведение двучленов как площадь прямоугольника.

Произведение (а + b)(с + d) мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, которые получаются при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.

Мы пришли к следующему правилу:

чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении многочлена а + b на многочлен с + d мы снова получили многочлен. Вообще произведение двух любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом если многочлен, содержащий m членов, умножается на многочлен, содержащий n членов, то в произведении получается многочлен, состоящий из mn членов (до приведения подобных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.

Пример 1. Умножим 3а 2 – 4аb + b 2 на многочлен 2а – b.

Составим произведение этих многочленов и преобразуем его в многочлен, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго. Получим:
(3а 2 – 4аb + b 3 ) • (2а – b) = 3а 2 • 2а – 4аb • 2а + b 2 • 2а + 3а 2 • (–6) + (–4аb)(–b) + b 2 • (–b) =
= 6а 3 – 8а 2 b + 2аb 2 – 3а 2 b + 4ab 2 – b 3 = 6а 3 – 11а 2 b + 6ab 2 – b 3 .

Умножение многочленов можно выполнять в столбик.

Из приведённого примера можно сделать полезный вывод: степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов–множителей. Действительно, первый множитель – многочлен степени 2, второй – двучлен степени 1, а их произведение – многочлен степени 2 + 1 = 3.

Рассмотрим пример умножения двух многочленов с одной переменной.

Пример 2. Представим в виде многочлена стандартного вида произведение многочленов 2x 2 – 3х + 1 и 5x + 4.

(2х 2 – 3х + 1)(5х + 4) = 10х 3 + 8х 2 – 15х 2 – 12х + 5х + 4 = 10х 3 – 7х 2 – 7х + 4.

Старшие коэффициенты многочленов–множителей равны 2 и 5, а старший коэффициент произведения равен 10. Свободные члены многочленов–множителей равны 1 и 4, а свободный член произведения многочленов равен 4. Легко видеть, что старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей. Аналогично, свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов многочленов–множителей.

Пример 3. Упростим выражение (3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3).
Умножим многочлен 3х – 4 на многочлен 2х + 1, а многочлен х – 2 – на многочлен 6х + 3 и вычтем из первого произведения второе:
(3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3) = (6х 2 – 8х + 3х – 4) – (6х 2 + 3х – 12х – 6) =
= 6х 2 – 8х + 3х – 4 – 6х 2 – 3х + 12х + 6 = 4х + 2.

Многоточие, многолетие, многоножка, многочлен — такие разные слова с одним началом. Одно из этих понятий активно изучают на алгебре в 7 классе. Эта статья как раз про него: умножение многочлена на многочлен.

О чем эта статья:

Определение многочлена

Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.

Как привести многочлен к стандартному виду:

Привести к стандартному виду все одночлены, которые входят в многочлен.
Привести подобные члены.

Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.

(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.

Правило умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:

Возьмем два многочлена (a + b) и (c + d) и выполним их умножение.
Сначала составим их произведение: (a + b)(c + d).
Теперь обозначим (c + d) как x. После этой замены произведение примет вид: (a + b)x.
Выполним умножение многочлена на одночлен: (a + b)x = ax + bx.
Проведем обратную замену x на (c + d):
a(c + d) + b(c + d). Преобразуем: ac + ad + bc + bd.
Как изменилось произведение исходных многочленов:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Как раз так и выглядит формула умножения многочлена на многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:

Первый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. Второй член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. И так далее.
Сложить полученные произведения.
Преобразовать полученную сумму в многочлен стандартного вида.

Умножение трех, четырех и большего количества многочленов нужно свести к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаем первые два многочлена, затем результат умножаем на третий многочлен, и этот результат умножаем на четвертый многочлен и так далее.

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).

Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.

Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).

Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.

Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.

Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).

Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:

2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1 = 2x 2 − 14 x + 2 − 3x 3 + 21x 2 − 3x = (2x 2 + 21x 2 ) + (−14x − 3x) + 2 − 3x 3 = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Получается, что (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1) = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Ответ: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1) = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.

Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).

Умножим первые два многочлена:

(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.

Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).

Снова выполним умножение двух многочленов:

(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее сумму нескольких одночленов. В свою очередь, одночлены, составляющие многочлен, называются членами многочлена.

Примеры многочленов: a – 3b 2 + c; 2x + 6y; 6 – 3ac

Любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Так, например, многочлен 2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 состоит из следующих одночленов:

2a 2 b — первый одночлен;
4ac — второй одночлен;
6xy — третий одночлен;
8 — четвертый одночлен.

По правилу знаков любой многочлен можно представить как сумму одночленов:

2a 2 b + 4ac – 6xy + 8 = 2a 2 b + 4ac + (-6xy) + 8

Любой знак, будь то минус или плюс, стоящий слева от одночлена, относится к его числовому коэффициенту. Соответственно, минус относится к коэффициенту 6 (то есть -6).

Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7–11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.

Как умножить многочлен на многочлен?

Для операции умножения многочлена на многочлен необходимо:

каждый одночлен первого многочлена умножить на каждый одночлен второго многочлена;
сложить полученные произведения.

Рассмотрим правило на конкретном примере.

Следует произвести умножение многочленов: (6y – 2b) * (4 – 3y).

Для этого последовательно умножим первый одночлен 6y, находящийся в первой скобке, на многочлены во второй скобке. После этого сделаем то же самое и со вторым одночленом -2b из первой скобки. При раскрытии скобок и решении примера важно помнить и соблюдать правило знаков:

(6y – 2b) * (4 – 3y) = 6y * 4 + 6y * (-3y) – 2b * 4 + (-2b) * (-3y) = 24y – 18y 1+1 – 8b + 6by = 24y – 18y 2 – 8b + 6by

Результатом умножения многочлена на многочлен так же всегда будет многочлен.

Для нахождения произведения многочленов умножь каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и найди сумму результатов:

a + b ⋅ c + d = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d = ac + ad + bc + bd .

x + 11 ⋅ 3 y 8 + 4y = x ⋅ 3 y 8 + x ⋅ 4 y + 11 ⋅ 3 y 8 + 11 ⋅ 4 y = 3 x y 8 + 4 xy + 33 y 8 + 44 y .

4 a 2 b − 8 b 3 ⋅ 3a 5 b 3 + 5 b 4 = 4 a 2 b ⋅ 3 a 5 b 3 + 4 a 2 b ⋅ 5 b 4 − 8 b 3 ⋅ 3 a 5 b 3 − 8 b 3 ⋅ 5 b 4 = 12 a 2 + 5 b 1 + 3 + 20 a 2 b 1 + 4 − 24 a 5 b 3 + 3 − 40 b 3 + 4 = 12 a 7 b 4 + 20 a 2 b 5 − 24 a 5 b 6 − 40 b 7 .

Читайте также: