Конус усеченный конус кратко

Обновлено: 04.07.2024

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Круг – основание конуса; точка - вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого - образующая конуса, а длина дуги - длина окружности основания конуса.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные определения

В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.

Определение

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Определение

Круг называют основанием конуса.

Определение

Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Определение

Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.

Конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Тогда этот катет (вокруг которого происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, гипотенуза станет образующей и будет образовывать боковую поверхность, а оставшийся катет образует основание, одновременно являясь его радиусом.

2. Сечения конуса различными плоскостями

Пусть секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса, а его основанием является диаметр основания конуса.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром, расположенном на оси.

Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

3. Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

4. Усеченный конус

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Определение

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Определение

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Определение

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Определение

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольной трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.

Его высота SO является высотой конуса.

OB - радиус основания.

Его найдем из равенства: S_осн=πR 2 .

R===OB.

Теперь найдем высоту:

6=SO·OB=SO·.

Ответ: 3.

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.

Радиус меньшего основания

Радиус большего основания

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь осевого сечения

Площадь полной поверхности конуса

Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.

AD – высота усеченного конуса, AD=4.

АВ – радиус меньшего основания, AB=4.

DC – радиус большего основания, DC=7.

Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.

Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна 55π.

Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.

Рассмотрим произвольную плоскость α , точку S, не лежащую на плоскости α , и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α .

Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).

Точку S называют вершиной конуса.

Отрезок SO называют осью конуса.

Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса.

Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса.

Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.

Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна

Усеченные конусы

Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO₁ и радиусом основания r₁ , а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Усеченный конус ограничен двумя основаниями : кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O₁ радиуса r₁ на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса , которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса . Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA₁ .

Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h₁ .

В общеобразовательных школах на уроках геометрии учеников знакомят со свойствами объектов не только на плоскости, но и в трехмерном пространстве. Одним из них является усеченный конус. Знание характеристик этой фигуры и соответствующих формул позволяет использовать их при решении практических задач.

Исходный полный конус

Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.

Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса. Если теперь ее перемещать вдоль замкнутой кривой одним своим концом, в то время как другой конец будет зафиксированным в точке, то она опишет коническую поверхность.

Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:

Вершина — зафиксированная точка в пространстве, которая не лежит в плоскости замкнутой кривой.
Коническая поверхность, образованная в результате перемещения отрезка — образующей, или генератрисы.
Основание — часть плоскости, ограниченная исходной замкнутой кривой. Последняя является направляющей, или директрисой, для образующей.

Существующие виды

В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:

Круглый прямой. В его основании лежит круг, а высота (длина перпендикуляра, опущенного из вершины) соединяет центр окружности и вершину.
Эллиптический прямой. В его основании находится эллипс, а проекция вершины попадает точно в центр основания.
Наклонный произвольного вида. Высота в этом конусе всегда меньше, чем длина отрезка, соединяющего вершину и геометрический центр основания.

Круглая прямая фигура

Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.

С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.

Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r 2 + pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.

Объем рассматриваемого конуса выражается следующей формулой: V = 1/3*pi*r 2 *h. Здесь h — высота фигуры. Можно заметить, что величина V ровно в три раза меньше аналогичной для цилиндра, имеющего то же основание, что и конус. Записанную формулу может вывести любой школьник, который знаком с интегральными вычислениями.

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

из круглого прямого конуса;
с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной. Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Второй способ получения усеченного конического объекта связан с использованием фигуры трапеции прямоугольного типа. Такая трапеция представляет собой два параллельных отрезка, которые имеют длины a и b. Они соединены одним перпендикуляром h и косым отрезком g.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r 2 . Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую. В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r1 2 + pi*r2 2 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r1 2 *H — 1/3*pi*r2 2 *(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r1 2 + r2 2 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Пример решения задачи

Известно, что сумма площадей двух оснований усеченного прямого круглого конуса составляет 100 см 2 . При этом радиус большего основания в 2 раза превышает радиус меньшего. Необходимо найти площадь боковой поверхности фигуры, высота которой составляет 15 см.

Из данных задачи можно определить значение каждого радиуса. Для этого необходимо ввести следующее равенство: r1 = 2*r2. Тогда для суммы площадей оснований можно записать выражение:

S = S1 + S2 = pi*r1 2 + pi*r2 2 = 4*pi*r2 2 + pi*r2 2 = 5*pi*r2 2 .

Откуда получается:

r2 = (S/(5*pi))^0,5 = (100/(5*3,14))^0,5 = 2,52 см.

Тогда радиус большего основания будет равен r1 = 2*r2 = 5,04 см.

Чтобы найти генератрису g усеченного конуса, следует рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован двумя катетами: высотой h и отрезком r1-r2. Его гипотенуза является генератрисой, она равна:

g = ((r1-r2)^2 + h 2 )^0,5 = (2,52 2 + 15 2 )^0,5 = 15,21 см.

Поскольку известны все необходимые линейные параметры усеченной фигуры, можно воспользоваться известной формулой для площади ее боковой поверхности:

Sb = pi*g*(r1 + r2) = 3,14*15,21*(2,52 + 5,04) = 361,1 см 2 .

Таким образом, усеченный конус является фигурой вращения, поверхность которой состоит из оснований и боковой части. Чтобы воспользоваться формулами для определения его площади и объема, необходимо знать любые три его линейных параметра.

На этом уроке мы познакомимся с понятием усеченного конуса. Дадим его определение. Назовем и рассмотрим основные элементы усеченного конуса. А затем выведем формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченного конуса.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Усеченный конус"

На этом уроке мы познакомимся с понятием усеченного конуса. Дадим определение усеченного конуса. Назовем и рассмотрим его основные элементы. А затем выведем формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченного конуса.

Итак, рассмотрим понятие усечённого конуса.

Вообще вокруг нас существует множество предметов, имеющих форму усечённого конуса. Вафельные стаканчики для мороженного имеют форму усечённого конуса, некоторые стаканы, светильники, ведра обладают формой очень близкой к форме усечённого конуса.

Некоторые архитектурные сооружения также имеют форму усечённого конуса. И многое другое.

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, параллельную его основанию. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая (нижняя) называется усечённым конусом.

Определение:

Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Назовём элементы усечённого конуса.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса.

Высотой усечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований.

Прямая называется его осью.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса.

Все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус может быть получен вращением на прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

На экране вы видите усечённый конус, полученный вращением прямоугольной трапеции вокруг стороны , перпендикулярной к основаниям и . При этом основания усечённого конуса образуются вращением оснований и трапеции, а боковая поверхность – вращением боковой стороны .

Выведем формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса.

Для этого нам нужно доказать, что площадь боковой поверхности усечённого конуса равна , где и – радиусы оснований, – образующая усечённого конуса.

Доказательство. Пусть – вершина конуса, из которого получен усечённый конус, – одна из образующих усечённого конуса, а точки и – центры его оснований. Причём, . Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна разности боковых поверхностей двух конусов, т.е. . Преобразуем это выражение.

Заметим, что длина образующей исходного конуса состоит из суммы отрезков . Используя формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса, получаем: .

Отсюда, учитывая, что , получим следующее выражение .

Теперь выразим через , и . Прямоугольные треугольники подобны по двум углам. Отсюда следует, что , или .

Значит, получаем, что .

Подставим это выражение в формулу.

В итоге приходим к следующей формуле: .

Этим мы с вами вывели формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса.

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на длину образующей, где и – радиусы оснований, – образующая усечённого конуса.

Площадью полной поверхности усечённого конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и площади двух его оснований. Формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса мы с вами вывели выше. Площадь нижнего основания усеченного конуса равна , а площадь меньшего основания – . Подставим все данные в формулу.

Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности усеченного конуса можно вычислить по следующей формуле: .

Теперь давайте решим несколько задач.

Задача: длины радиусов оснований и образующей усечённого конуса равны соответственно см, см и см. Вычислите его высоту.

Решение: рассмотрим четырехугольник .

Это есть прямоугольная трапеция с основаниями и . Высота этой трапеции и будет высотой нашего усечённого конуса . Для того чтобы её найти, проведём из точки меньшего основания перпендикуляр на большее основание трапеции . Фигура является прямоугольником, значит противоположные стороны равны, т.е. (см), .

Рассмотрим . Он прямоугольный (по построению). Катет (см). Применим теорему Пифагора и найдём длину катета . Получаем, что (см). Запишем ответ.

Задача: длины радиусов оснований усечённого конуса равны см и см. Вычислите площадь боковой поверхности этого конуса, если угол между образующей и плоскостью его основания равен .

Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса.

Рассмотрим четырёхугольник .

Это есть прямоугольная трапеция с основаниями и . Высота этой трапеции и будет высотой нашего усечённого конуса .

Проведём из точки меньшего основания перпендикуляр на большее основание трапеции . Фигура является прямоугольником, значит, противоположные стороны равны, т.е. (см), .

Рассмотрим . Он прямоугольный (по построению). По условию задачи образующая усечённого конуса наклонена к его основанию под углом . Следовательно, катет . В свою очередь, . Применим теорему Пифагора и найдём длину гипотенузы треугольника . Получаем, что (см). Значит, образующая нашего усечённого конуса равна (см).

Подставим длины радиусов и образующей усечённого конуса в формулу для вычисления площади боковой поверхности. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна (см 2 ).

Не забудем записать ответ.

На этом уроке мы познакомились с понятием усечённого конуса. Узнали, что усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Назвали основные элементы усечённого конуса. А также вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности усечённого конуса.

Читайте также: